【解説・採点基準付き】2007年九州大学理系数学の解答・解説

$f(x)=xe^x$ とおく。また $p$ を $p\geqq0$ を満たす数とし、曲線 $y=f(x)$ 上の点 $\mathrm{P}(p,\ f(p))$ における接線の方程式を $y=g(x)$ とおく。ただし、 $e$ は自然対数の底である。このとき、次の問いに答えよ。

(1) $x\geqq0$ において $f(x)\geqq g(x)$ が成り立つことを示せ。

(2) $L$ を正の数とする。曲線 $y=f(x)$、接線 $y=g(x)$、および2直線 $x=0$、 $x=L$ で囲まれた部分の面積を $S(p)$ とするとき、 $p\geqq0$ における $S(p)$ の最小値を与える $p$ の値を求めよ。

(1)　配点 20点

$f'(x)=(x+1)e^x$ なので、点Pにおける接線は

$$g(x)=f'(p)(x-p)+f(p)=(p+1)e^p(x-p)+pe^p$$

$h(x)=f(x)-g(x)$ とおくと、 $h(p)=0$ であり

$$h'(x)=f'(x)-f'(p)=(x+1)e^x-(p+1)e^p$$

$x\geqq0$ では $x+1$ と $e^x$ はともに正で増加するので、その積 $y=(x+1)e^x$ も増加する。よって、水平な直線 $y=(p+1)e^p$ との上下から（下の図）、 $p>0$ のときは $0\leqq x<p$ で $h'(x)<0$、 $x>p$ で $h'(x)>0$ である。 $p=0$ のときは $x>0$ で $h'(x)>0$ だけである。

したがって、 $h(x)$ は $0\leqq x\leqq p$ で減少し（ $p=0$ のときこの区間はない）、 $x\geqq p$ で増加するので、 $x\geqq0$ において最小値 $h(p)=0$ をとる（等号が成り立つのは $x=p$ のときだけ）。

よって、 $x\geqq0$ において $h(x)\geqq0$、すなわち $f(x)\geqq g(x)$ が成り立つ。

別解（下に凸で評価する）　 $f”(x)=(x+2)e^x>0$（ $x\geqq0$ ）なので、曲線 $y=f(x)$ は下に凸である。下に凸な曲線は接線より上にあるので、 $f(x)\geqq g(x)$ が成り立つ。接点を求めて差の符号を比べても、下に凸で評価してもよい。

(2)　配点 30点

$p\geqq0$、 $0\leqq x\leqq L$ なので、(1) より $f(x)\geqq g(x)$ である。よって、曲線が接線より上にあり（下の図）

$$S(p)=\int_0^L\{f(x)-g(x)\}\,dx=\int_0^Lf(x)\,dx-\int_0^Lg(x)\,dx$$

$p$ によらない値を先に求めておく。部分積分により

$$\int_0^Lf(x)\,dx=\Big[(x-1)e^x\Big]_0^L=(L-1)e^L+1$$

また、 $g(x)=(p+1)e^px-p^2e^p$ なので

$$\int_0^Lg(x)\,dx=\frac{L^2}{2}(p+1)e^p-Lp^2e^p$$

よって

$$S(p)=(L-1)e^L+1-\frac{L^2}{2}(p+1)e^p+Lp^2e^p$$

$p$ で微分すると

$$S'(p)=-\frac{L^2}{2}(p+2)e^p+L(p^2+2p)e^p=L(p+2)e^p\left(p-\frac L2\right)$$

$p\geqq0$ で $L(p+2)e^p>0$ なので、 $S'(p)$ の符号は $p-\dfrac L2$ の符号と一致する。よって、 $S(p)$ は $0\leqq p\leqq\dfrac L2$ で減少し、 $p\geqq\dfrac L2$ で増加するので、 $p=\dfrac L2$ で最小になる。

答　$p=\dfrac L2$

別解（(1) を使って中点の高さで比べる）　 $g(x)$ は1次関数なので、 $\displaystyle\int_0^Lg(x)\,dx=L\cdot g\left(\dfrac L2\right)$（台形の面積＝幅×中点の高さ）。(1) を $x=\dfrac L2$ に使うと $g\left(\dfrac L2\right)\leqq f\left(\dfrac L2\right)$ で、等号は $p=\dfrac L2$ のときだけ成り立つ（下の図。点線が点Pでの接線、実線が $x=\dfrac L2$ で接する接線）。よって $\displaystyle\int_0^Lg(x)\,dx$ は $p=\dfrac L2$ で最大、すなわち $S(p)$ は $p=\dfrac L2$ で最小になる。この解き方では $xe^x$ の具体的な形を使わず、曲線が下に凸であることだけで答えが決まる。

$a,b$ を正の数とし、空間内の3点 $\mathrm{A}(a,-a,b)$、 $\mathrm{B}(-a,a,b)$、 $\mathrm{C}(a,a,-b)$ を考える。A、B、Cを通る平面を $\alpha$、原点Oを中心としA、B、Cを通る球面を $S$ とおく。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 線分ABの中点をDとするとき、 $\overrightarrow{\mathrm{DC}}\perp\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ および $\overrightarrow{\mathrm{DO}}\perp\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ であることを示せ。また $\triangle\mathrm{ABC}$ の面積を求めよ。

(2) ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{DC}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{DO}}$ のなす角を $\theta$ とするとき $\sin\theta$ を求めよ。また、平面 $\alpha$ に垂直で原点Oを通る直線と平面 $\alpha$ との交点をHとするとき、線分OHの長さを求めよ。

(3) 点Pが球面 $S$ 上を動くとき、四面体ABCPの体積の最大値を求めよ。ただし、Pは平面 $\alpha$ 上にはないものとする。

(1)　配点 15点

Dは線分ABの中点なので $\mathrm{D}(0,0,b)$。

$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-2a,\ 2a,\ 0),\qquad\overrightarrow{\mathrm{DC}}=(a,\ a,\ -2b),\qquad\overrightarrow{\mathrm{DO}}=(0,\ 0,\ -b)$$

$$\overrightarrow{\mathrm{DC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=-2a^2+2a^2+0=0,\qquad\overrightarrow{\mathrm{DO}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=0+0+0=0$$

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\neq\vec0$、 $\overrightarrow{\mathrm{DC}}\neq\vec0$、 $\overrightarrow{\mathrm{DO}}\neq\vec0$ なので、 $\overrightarrow{\mathrm{DC}}\perp\overrightarrow{\mathrm{AB}}$、 $\overrightarrow{\mathrm{DO}}\perp\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ である。

DはAB上にあり $\mathrm{DC}\perp\mathrm{AB}$ なので、ABを底辺とみると高さはDCである。 $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=2\sqrt2\,a$、 $|\overrightarrow{\mathrm{DC}}|=\sqrt{2a^2+4b^2}=\sqrt2\sqrt{a^2+2b^2}$ より

$$\triangle\mathrm{ABC}=\frac12\cdot2\sqrt2\,a\cdot\sqrt2\sqrt{a^2+2b^2}=2a\sqrt{a^2+2b^2}$$

答　$\triangle\mathrm{ABC}=2a\sqrt{a^2+2b^2}$

(2)　配点 15点

$\overrightarrow{\mathrm{DC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DO}}=2b^2$、 $|\overrightarrow{\mathrm{DO}}|=b$ より

$$\cos\theta=\frac{2b^2}{\sqrt2\sqrt{a^2+2b^2}\cdot b}=\frac{\sqrt2\,b}{\sqrt{a^2+2b^2}}$$

$0<\theta<\pi$ より $\sin\theta>0$ なので

$$\sin\theta=\sqrt{1-\frac{2b^2}{a^2+2b^2}}=\frac{a}{\sqrt{a^2+2b^2}}$$

平面 $\alpha$ に垂直なベクトルを $\vec n=(p,q,r)$ とおく。 $\vec n$ は平面 $\alpha$ 上の2つのベクトル $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$、 $\overrightarrow{\mathrm{DC}}$ に垂直なので

$$\vec n\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=-2ap+2aq=0,\qquad\vec n\cdot\overrightarrow{\mathrm{DC}}=ap+aq-2br=0$$

よって $q=p$、 $r=\dfrac{a}{b}p$ で、 $\vec n=\dfrac pb(b,\ b,\ a)$。大きさは何でもよいので、 $\vec n=(b,\ b,\ a)$ をとる（ $|\vec n|=\sqrt{a^2+2b^2}$）。

Hは原点Oを通り平面 $\alpha$ に垂直な直線上にあるので、 $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=k\vec n=(kb,\ kb,\ ka)$ とおける。Dも平面 $\alpha$ 上の点なので $\overrightarrow{\mathrm{DH}}\perp\vec n$、すなわち $\overrightarrow{\mathrm{DH}}\cdot\vec n=0$ である。 $\overrightarrow{\mathrm{DH}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}-\overrightarrow{\mathrm{OD}}=(kb,\ kb,\ ka-b)$ より

$$kb^2+kb^2+(ka-b)a=0\iff k=\frac{ab}{a^2+2b^2}$$

$k>0$ なので

$$\mathrm{OH}=k|\vec n|=\frac{ab}{a^2+2b^2}\cdot\sqrt{a^2+2b^2}=\frac{ab}{\sqrt{a^2+2b^2}}$$

答　$\sin\theta=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+2b^2}}$、 $\mathrm{OH}=\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+2b^2}}$

図は平面ODC（平面 $x=y$）での切り口で、横軸は原点から $(1,1,0)$ の向きにとった $u$ 軸である。ABはDでこの面に垂直に交わり、平面 $\alpha$ はこの面と直線DCで交わる。

別解（誘導どおり $\theta$ を使う）　(1) より、ABは平面ODC上の平行でない2つのベクトル $\overrightarrow{\mathrm{DC}}$、 $\overrightarrow{\mathrm{DO}}$ に垂直なので、平面ODCに垂直である。平面 $\alpha$ はABを含むので平面ODCに垂直で、2つの平面の交線は直線DCである。よって、Oから平面 $\alpha$ に下ろした垂線は平面ODCの中にあり、Hは平面ODC内でOから直線DCに下ろした垂線の足である。直角三角形ODHで $\angle\mathrm{ODH}=\theta$ なので

$$\mathrm{OH}=\mathrm{DO}\sin\theta=b\cdot\frac{a}{\sqrt{a^2+2b^2}}=\frac{ab}{\sqrt{a^2+2b^2}}$$

別解（四面体OABCの体積を2通りに表す）　O、A、Bはどれも $x+y=0$ をみたすので、平面OABは $x+y=0$ である。 $\mathrm{OD}\perp\mathrm{AB}$ より $\triangle\mathrm{OAB}=\dfrac12\cdot2\sqrt2\,a\cdot b=\sqrt2\,ab$。Cと平面OABの距離は $\dfrac{|a+a|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt2\,a$ なので、四面体OABCの体積は $\dfrac13\cdot\sqrt2\,ab\cdot\sqrt2\,a=\dfrac23a^2b$。これを底面 $\triangle\mathrm{ABC}$、高さOHとみると

$$\frac13\cdot2a\sqrt{a^2+2b^2}\cdot\mathrm{OH}=\frac23a^2b\iff\mathrm{OH}=\frac{ab}{\sqrt{a^2+2b^2}}$$

(3)　配点 20点

球面 $S$ の半径を $R$ とすると

$$R=\mathrm{OA}=\sqrt{a^2+a^2+b^2}=\sqrt{2a^2+b^2}$$

Pから平面 $\alpha$ に下ろした垂線の足をQとし、四面体ABCPの高さを $h=\mathrm{PQ}$ とする。Hは平面 $\alpha$ 上の点なので、平面 $\alpha$ 上の点の中でPにいちばん近い点がQであることから $\mathrm{PQ}\leqq\mathrm{PH}$。さらに三角形の辺の関係（P、O、Hが一直線上のときも含めて）から

$$h=\mathrm{PQ}\leqq\mathrm{PH}\leqq\mathrm{PO}+\mathrm{OH}=R+\mathrm{OH}$$

等号が成り立つのは、 $\mathrm{PQ}=\mathrm{PH}$（QがHに一致し、直線PHが平面 $\alpha$ に垂直）かつOが線分PH上にあるとき、すなわちPが、直線HOをOの側へ延ばして球面 $S$ と交わる点（平面 $\alpha$ に関してOと同じ側の点）のときである。このPは $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=-\dfrac{R}{|\vec n|}\vec n$ で、 $h=R+\mathrm{OH}>0$ なので平面 $\alpha$ 上にはない。

図の点Pが、平面 $\alpha$ からいちばん遠い点である。球面 $S$ の切り口は、中心O・半径 $R$ の円になる。

よって、四面体ABCPの体積を $V$ とすると

$$V=\frac13\cdot\triangle\mathrm{ABC}\cdot h\leqq\frac13\cdot2a\sqrt{a^2+2b^2}\left(\sqrt{2a^2+b^2}+\frac{ab}{\sqrt{a^2+2b^2}}\right)=\frac{2a}{3}\left(\sqrt{(a^2+2b^2)(2a^2+b^2)}+ab\right)$$

答　$\dfrac{2a}{3}\left(\sqrt{(a^2+2b^2)(2a^2+b^2)}+ab\right)$

さいころを3回続けて投げて出た目を順に $a,b,c$ とする。これらの数 $a,b,c$ に対して2次方程式

$$(*)\qquad ax^2+bx+c=0$$

を考える。ただし、さいころはどの目も同様に確からしく出るものとする。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 2次方程式 $(*)$ が異なる二つの実数の解をもつとき、積 $ac$ の取りうる値を求め、積 $ac$ の各値ごとに可能な $a$ と $c$ の組 $(a,c)$ がそれぞれ何通りあるかを求めよ。

(2) 2次方程式 $(*)$ が異なる二つの有理数の解をもつ確率を求めよ。ただし、一般に自然数 $n$ が自然数の2乗でなければ $\sqrt n$ は無理数であることを用いてよい。

(1)　配点 20点

$a\geqq1$ より $a\neq0$ なので、 $(*)$ は2次方程式である。 $(*)$ が異なる2つの実数の解をもつ条件は

$$b^2-4ac>0$$

$b$ はさいころの目なので $b\leqq6$ であり、 $4ac<b^2\leqq36$ より $ac<9$。 $ac$ は整数なので $ac\leqq8$ である。

逆に、 $ac\leqq8$ ならば $b=6$ のとき $b^2-4ac=36-4ac\geqq36-32>0$ となり、条件をみたす。よって、 $ac$ の取りうる値は「さいころの目 $a$、 $c$ の積として現れる8以下の数」すべてである。

$a$ と $c$ の積の表は次のとおりで、色のマスが $ac\leqq8$ である。7は素数で6より大きいので、目の積には現れない。

表から、組 $(a,c)$ は

・$ac=1$： $(1,1)$

・$ac=2$： $(1,2),(2,1)$

・$ac=3$： $(1,3),(3,1)$

・$ac=4$： $(1,4),(2,2),(4,1)$

・$ac=5$： $(1,5),(5,1)$

・$ac=6$： $(1,6),(2,3),(3,2),(6,1)$

・$ac=8$： $(2,4),(4,2)$

答　$ac$ の取りうる値は $1,2,3,4,5,6,8$。組 $(a,c)$ の数は、 $ac=1$：1通り、 $ac=2$：2通り、 $ac=3$：2通り、 $ac=4$：3通り、 $ac=5$：2通り、 $ac=6$：4通り、 $ac=8$：2通り

(2)　配点 30点

目の出方は、 $(a,b,c)$ の順も区別して全部で $6^3=216$ 通りあり、どれも同様に確からしい。

$D=b^2-4ac$ とおくと、 $(*)$ の解は

$$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$$

である。異なる2つの実数の解をもつのは $D>0$ のときで、このとき

・$D$ が自然数の2乗 $k^2$（ $k$ は自然数）ならば、解 $x=\dfrac{-b\pm k}{2a}$ はどちらも有理数である。

・$D$ が自然数の2乗でなければ、ただし書きより $\sqrt D$ は無理数である。もし解 $x$ が有理数なら、 $\sqrt D=\pm(2ax+b)$ の右辺は有理数になり矛盾する。よって解は無理数である。

したがって、異なる2つの有理数の解をもつ $\iff$ $D=b^2-4ac$ が自然数の2乗。

$b$ ごとに、(1) の $ac$ の値で $D=b^2-4ac$ を調べる。

・$b=1,2$ のとき　 $D\leqq4-4=0$ なので、 $D>0$ となる $ac$ はない

・$b=3$ のとき　 $D=9-4ac>0$ より $ac=1,2$ で、 $D=5,1$。自然数の2乗は $ac=2$（ $D=1$ ）で、組 $(a,c)$ は2通り

・$b=4$ のとき　 $D=16-4ac>0$ より $ac=1,2,3$ で、 $D=12,8,4$。自然数の2乗は $ac=3$（ $D=4$ ）で、2通り（ $ac=4$ は $D=0$ の重解なので除く）

・$b=5$ のとき　 $D=25-4ac>0$ より $ac=1,\dots,6$ で、 $D=21,17,13,9,5,1$。自然数の2乗は $ac=4$（ $D=9$ ）と $ac=6$（ $D=1$ ）で、 $3+4=7$ 通り

・$b=6$ のとき　 $D=36-4ac$ で、 $ac=1,2,3,4,5,6,8$ に対して $D=32,28,24,20,16,12,4$。自然数の2乗は $ac=5$（ $D=16$ ）と $ac=8$（ $D=4$ ）で、 $2+2=4$ 通り

条件をみたす $(a,b,c)$ は $2+2+7+4=15$ 通りなので、求める確率は

$$\dfrac{15}{216}=\dfrac{5}{72}$$

答　$\dfrac{5}{72}$

補足（調べる値を減らす）　 $D=b^2-4ac$ と $b^2$ は4で割った余りが等しいので、 $D=k^2$ のとき $k$ と $b$ の偶奇は一致する。たとえば $b=5$ なら $k=1,3$、 $b=6$ なら $k=2,4$ だけを調べればよい。また、見つけた組は因数分解で確かめられる（例： $(a,b,c)=(2,5,3)$ なら $2x^2+5x+3=(x+1)(2x+3)$ で、解は $-1$、 $-\dfrac32$ ）。

別解（ $X=ax$ とおいて整数解に直す）　 $(*)$ の両辺に $a$ をかけて $X=ax$ とおくと

$$X^2+bX+ac=0$$

$x$ が有理数 $\iff$ $X$ が有理数である。 $X=\dfrac pq$（ $p,q$ は互いに素な整数、 $q\geqq1$ ）が解なら、 $p^2=-q(bp+acq)$ より $p^2$ は $q$ の倍数で、 $p$ と $q$ は互いに素なので $q=1$。よって有理数の解は整数の解に限られる。 $b>0$、 $ac>0$ より整数の解はどちらも負なので、異なる2つの解を $-u$、 $-v$（ $u,v$ は自然数、 $u<v$ ）とおくと、解と係数の関係から

$$b=u+v,\qquad ac=uv$$

$b\leqq6$ より $u+v\leqq6$ をみたす $(u,v)$ は $(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4)$ の6組で、それぞれ $ac=2,3,4,5,6,8$（ $b$ は $u+v$ で1つに決まる）。(1) の組 $(a,c)$ の数を足して $2+2+3+2+4+2=15$ 通りとなり、同じ答え $\dfrac{5}{72}$ が求まる。判別式が自然数の2乗かを1つずつ調べなくてよい。

関数 $f(x)$ が0でない定数 $p$ に対して、つねに $f(x+p)=f(x)$ を満たすとき $f(x)$ は周期関数であるといい、 $p$ を周期という。正の周期のうちで最小のものを特に基本周期という。たとえば、関数 $\sin x$ の基本周期は $2\pi$ である。このとき、次の問いに答えよ。

(1) $y=|\sin x|$ のグラフをかき、関数 $|\sin x|$ の基本周期を求めよ。

(2) 自然数 $m,n$ に対して関数 $f(x)$ を $f(x)=|\sin mx|\sin nx$ とおく。 $p$ が関数 $f(x)$ の周期ならば $f\left(\dfrac p2\right)=f\left(-\dfrac p2\right)=0$ が成り立つことを示せ。また、このとき $mp$ は $\pi$ の整数倍であり、 $np$ は $2\pi$ の整数倍であることを示せ。

(3) $m,n$ は1以外の公約数をもたない自然数とする。(2) の結果を用いて関数 $|\sin mx|\sin nx$ の基本周期を求めよ。

(1)　配点 10点

グラフは $y=\sin x$ の $x$ 軸より下の部分を $x$ 軸について折り返したもので、山が $\pi$ ごとに同じ形でくり返す（下の図）。

すべての $x$ で $|\sin(x+\pi)|=|-\sin x|=|\sin x|$ なので、 $\pi$ は周期である。

$0<p<\pi$ のとき、 $x=0$ で $|\sin(0+p)|=\sin p>0=|\sin0|$ なので、 $p$ は周期でない。よって $\pi$ より小さい正の周期はない。

答　基本周期は $\pi$

(2)　配点 25点

$f(-x)=|\sin(-mx)|\sin(-nx)=-|\sin mx|\sin nx=-f(x)$ なので、 $f(x)$ は奇関数である。

$p$ は周期なので、すべての $x$ で $f(x+p)=f(x)$。左辺を $f\left(\dfrac p2\right)$ にするために $x=-\dfrac p2$ を代入すると、奇関数であることとあわせて

$$f\left(\frac p2\right)=f\left(-\frac p2\right)=-f\left(\frac p2\right)$$

よって $2f\left(\dfrac p2\right)=0$ で、 $f\left(\dfrac p2\right)=f\left(-\dfrac p2\right)=0$ である（下の図）。

$f\left(\dfrac p2\right)=\left|\sin\dfrac{mp}{2}\right|\sin\dfrac{np}{2}=0$ より、 $\sin\dfrac{np}{2}=0$ または $\sin\dfrac{mp}{2}=0$ である。

(i) $\sin\dfrac{np}{2}=0$ のとき　$\dfrac{np}{2}$ は $\pi$ の整数倍なので、 $np$ は $2\pi$ の整数倍である。よって $\sin(nx+np)=\sin nx$ で、 $f(x+p)=f(x)$ は、すべての $x$ で

$$|\sin(mx+mp)|\sin nx=|\sin mx|\sin nx$$

となる。 $0<x<\dfrac{\pi}{n}$ では $\sin nx>0$ なので、両辺を $\sin nx$ で割って

$$|\sin(mx+mp)|=|\sin mx|\qquad\left(0<x<\frac{\pi}{n}\right)$$

両辺は $x$ の連続関数なので、 $x\to+0$ とすると $|\sin mp|=|\sin0|=0$。よって $\sin mp=0$ で、 $mp$ は $\pi$ の整数倍である。

(ii) $\sin\dfrac{mp}{2}=0$ のとき　$\dfrac{mp}{2}$ は $\pi$ の整数倍なので、 $mp$ は $2\pi$ の整数倍で、特に $\pi$ の整数倍である。よって $|\sin(mx+mp)|=|\sin mx|$ で、 $f(x+p)=f(x)$ は、すべての $x$ で

$$|\sin mx|\sin(nx+np)=|\sin mx|\sin nx$$

となる。 $0<x<\dfrac{\pi}{m}$ では $|\sin mx|>0$ なので、両辺を $|\sin mx|$ で割って

$$\sin(nx+np)=\sin nx\qquad\left(0<x<\frac{\pi}{m}\right)\quad\cdots①$$

$x\to+0$ とすると $\sin np=0$ なので、 $np=l\pi$（ $l$ は整数）とおける。このとき $\sin(nx+l\pi)=(-1)^l\sin nx$ なので、①は $(-1)^l\sin nx=\sin nx$ となる。 $0<x<\dfrac{\pi}{m}$ かつ $0<x<\dfrac{\pi}{n}$ をみたす $x$ をとると $\sin nx>0$ なので $(-1)^l=1$、すなわち $l$ は偶数で、 $np$ は $2\pi$ の整数倍である。

(i)(ii) のどちらでも、 $mp$ は $\pi$ の整数倍であり、 $np$ は $2\pi$ の整数倍である。

補足　(i) で $x=0$ をそのまま代入すると、 $\sin nx=0$ となって両辺とも0になり、何も分からない。0でない因数で割れる範囲（ $0<x<\dfrac{\pi}{n}$）で式を作ってから $x\to+0$ とするのは、「都合のいい値」を $x=0$ のすぐ近くの値にしたものである。

(3)　配点 15点

逆に、 $mp$ が $\pi$ の整数倍かつ $np$ が $2\pi$ の整数倍ならば、すべての $x$ で $|\sin(mx+mp)|=|\sin mx|$、 $\sin(nx+np)=\sin nx$ なので $f(x+p)=f(x)$ となり、 $p$ は周期である。(2) とあわせて、正の数 $p$ について

$$p\text{ が周期}\iff mp=k\pi,\ np=2l\pi\quad(k,l\text{ は自然数})$$

$p=\dfrac{k\pi}{m}$ を $np=2l\pi$ に代入して $nk=2lm$。 $m$ と $n$ は互いに素より、 $k$ は $m$ の倍数である。 $k=mj$（ $j$ は自然数）とおくと $p=j\pi$ で、条件 $np=2l\pi$ は $nj=2l$、すなわち「 $nj$ が偶数」となる。

・$n$ が偶数のとき　$j=1$ で $nj$ は偶数なので、最小の正の周期は $p=\pi$

・$n$ が奇数のとき　$nj$ が偶数 $\iff$ $j$ が偶数なので、 $j=2$ が最小で $p=2\pi$

答　$n$ が偶数のとき $\pi$、 $n$ が奇数のとき $2\pi$

たとえば $m=1$、 $n=2$ の $|\sin x|\sin2x$ は $\pi$ ごとに同じ形をくり返すが、 $m=2$、 $n=1$ の $|\sin2x|\sin x$ は $\pi$ ずらすと符号が逆になり、基本周期は $2\pi$ になる（下の図）。答えを決めるのは $m$ ではなく $n$ の偶奇である。

実際、 $f(x+\pi)=|\sin(mx+m\pi)|\sin(nx+n\pi)=|\sin mx|\cdot(-1)^n\sin nx=(-1)^nf(x)$ なので、 $n$ が偶数なら $\pi$ ずらすと重なり、 $n$ が奇数なら $\pi$ ずらすと上下が逆になる。