【解説・採点基準付き】2022年九州大学文系数学の解答・解説

$a$ を $-3<a<13$ をみたす実数とし、次の曲線 $C$ と直線 $l$ が接しているとする。

$$C:y=\left|x^2+(3-a)x-3a\right|,\quad l:y=-x+13$$

以下の問いに答えよ。

(1) $a$ の値を求めよ。

(2) 曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた2つの図形のうち、点 $(a,0)$ が境界線上にある図形の面積を求めよ。

(1)　配点 20点

$x^2+(3-a)x-3a=(x+3)(x-a)$ で、 $-3<a$ なので

・$x\leqq-3,\ a\leqq x$ のとき $C:y=(x+3)(x-a)$

・$-3\leqq x\leqq a$ のとき $C:y=-(x+3)(x-a)$

$C$ は放物線 $y=(x+3)(x-a)$ の $x$ 軸より下の部分を折り返したグラフになる。

また、 $l$ の $x=-3$ での値は $16>0$、 $x=a$ での値は $13-a>0$（ $a<13$ より）なので、 $l$ は2点 $(-3,0)$、 $(a,0)$ より上を通る。

(i) 外側の部分（ $x\leqq-3,\ a\leqq x$ ）

$(x+3)(x-a)=-x+13$ を整理すると

$$g(x)=x^2+(4-a)x-3a-13=0$$

$g(-3)=9-3(4-a)-3a-13=-16<0$、 $g(a)=a^2+(4-a)a-3a-13=a-13<0$ である。 $y=g(x)$ は下に凸の放物線なので、 $g(x)=0$ は $x<-3$ と $x>a$ に1つずつ解をもち、どちらも重解ではない。よって、 $l$ は外側の部分とは交わるだけで接しない。

(ii) 折り返した部分（ $-3\leqq x\leqq a$ ）

$-(x+3)(x-a)=-x+13$ を整理すると

$$x^2+(2-a)x+13-3a=0\quad\cdots①$$

$l$ が $C$ に接するのは、①が $-3<x<a$ に重解をもつときである。①の判別式を $D$ とすると

$$D=(2-a)^2-4(13-3a)=a^2+8a-48=(a+12)(a-4)=0$$

$-3<a<13$ より $a=4$ である（ $a=-12$ は範囲に入らない）。

このとき①の重解は $x=-\dfrac{2-a}{2}=1$ で、 $-3<1<4$ なので折り返した部分の上にある。よって、 $l$ は $C$ に点 $(1,\ 12)$ で接する。

答　$a=4$

(2)　配点 30点

$a=4$ のとき $C:y=|(x+3)(x-4)|$ である。

(1) の (i) で $a=4$ とすると $g(x)=x^2-25=0$ より $x=\pm5$（ $-5\leqq-3$、 $5\geqq4$ なので範囲に入る）。(ii) より、 $l$ は $C$ に点 $(1,\ 12)$ で接する。

$-5\leqq x\leqq5$ では

・$x\leqq-3,\ 4\leqq x$ ： $(-x+13)-(x+3)(x-4)=25-x^2\geqq0$

・$-3\leqq x\leqq4$ ： $(-x+13)-\{-(x+3)(x-4)\}=x^2-2x+1=(x-1)^2\geqq0$

なので、 $l$ が $C$ の上にある。 $C$ と $l$ で囲まれた2つの図形は $-5\leqq x\leqq1$ の部分と $1\leqq x\leqq5$ の部分で、点 $(4,\ 0)$ が境界線上にあるのは $1\leqq x\leqq5$ の部分である。この面積を $S$ とする。

$C$ の式は $x=4$ で変わるので、 $S$ を $1\leqq x\leqq4$ の部分 $S_1$ と $4\leqq x\leqq5$ の部分 $S_2$ に分ける。

$$S_1=\int_1^4\bigl[(-x+13)-\{-(x+3)(x-4)\}\bigr]\,dx,\qquad S_2=\int_4^5\{(-x+13)-(x+3)(x-4)\}\,dx$$

$l$ は折り返した部分に $x=1$ で接するので、 $S_1$ の上 $-$ 下は2次の係数が $1$ の完全平方 $(x-1)^2$ になる。

$$S_1=\int_1^4(x-1)^2\,dx=\left[\dfrac{(x-1)^3}{3}\right]_1^4=\dfrac{27}{3}=9$$

$$S_2=\int_4^5(25-x^2)\,dx=\left[25x-\dfrac{x^3}{3}\right]_4^5=25-\dfrac{125-64}{3}=25-\dfrac{61}{3}=\dfrac{14}{3}$$

よって

$$S=S_1+S_2=9+\dfrac{14}{3}=\dfrac{41}{3}$$

答　$\dfrac{41}{3}$

検算（ $\dfrac16$ 公式で左右の合計を求める）　左右の2つの図形の合計は、「 $l$ と放物線 $y=(x+3)(x-4)$ で囲まれる部分（ $-5\leqq x\leqq5$ ）」から「2つの放物線 $y=\pm(x+3)(x-4)$ で囲まれる部分（ $-3\leqq x\leqq4$ ）」を引いたものなので

$$\int_{-5}^{5}(-1)(x+5)(x-5)\,dx-\int_{-3}^{4}(-2)(x+3)(x-4)\,dx=\dfrac16\cdot10^3-2\cdot\dfrac16\cdot7^3=\dfrac{500}{3}-\dfrac{343}{3}=\dfrac{157}{3}$$

一方、左の図形の面積は $\displaystyle\int_{-5}^{-3}(25-x^2)\,dx+\int_{-3}^{1}(x-1)^2\,dx=\dfrac{52}{3}+\dfrac{64}{3}=\dfrac{116}{3}$ で、 $\dfrac{116}{3}+\dfrac{41}{3}=\dfrac{157}{3}$ となり一致する。

座標空間内の4点 $\mathrm{O}(0,0,0)$、 $\mathrm{A}(1,1,0)$、 $\mathrm{B}(2,1,2)$、 $\mathrm{P}(4,0,-1)$ を考える。3点O、A、Bを通る平面を $\alpha$ とし、 $\vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$、 $\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ とおく。以下の問いに答えよ。

(1) ベクトル $\vec a,\vec b$ の両方に垂直であり、 $x$ 成分が正であるような、大きさが1のベクトル $\vec n$ を求めよ。

(2) 点Pから平面 $\alpha$ に垂線を下ろし、その交点をQとおく。線分PQの長さを求めよ。

(3) 平面 $\alpha$ に関して点Pと対称な点 $\mathrm{P}’$ の座標を求めよ。

(1)　配点 15点

$\vec a=(1,1,0)$、 $\vec b=(2,1,2)$。 $\vec a$、 $\vec b$ の両方に垂直なベクトルを $(p,q,r)$ とおくと

$$p+q=0,\qquad 2p+q+2r=0$$

1つめの式から $q=-p$、これを2つめの式に代入して $r=-\dfrac p2$。よって、垂直なベクトルは $\left(p,\ -p,\ -\dfrac p2\right)=\dfrac p2(2,-2,-1)$ と表せる。大きさは何でもよいので、垂直なベクトルとして $\vec{n’}=(2,-2,-1)$ をとる。

$|\vec{n’}|=\sqrt{4+4+1}=3$ なので、大きさが1で $\vec a$、 $\vec b$ の両方に垂直なベクトルは $\pm\dfrac13(2,-2,-1)$（逆向きもあるので $\pm$ がつく）。 $x$ 成分が正なので

答　$\vec n=\left(\dfrac23,\ -\dfrac23,\ -\dfrac13\right)$

(2)　配点 20点

$\vec{n’}=(2,-2,-1)$ は平面 $\alpha$ 上の平行でない2つのベクトル $\vec a$、 $\vec b$ に垂直なので、 $\alpha$ に垂直である。PQは $\alpha$ に垂直なので、 $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=k\vec{n’}$（ $k$ は実数）とおける。PまでたどってからQへ進むと

$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+k\vec{n’}=(4+2k,\ -2k,\ -1-k)$$

QとOはどちらも $\alpha$ 上の点なので $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\perp\vec{n’}$、すなわち $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\cdot\vec{n’}=0$。

$$2(4+2k)-2(-2k)-(-1-k)=0\iff9k+9=0\iff k=-1$$

よって $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(2,\ 2,\ 0)$、 $\mathrm{Q}(2,\ 2,\ 0)$。

（確かめ： $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=2\vec a$ なので、Qは確かに $\alpha$ 上にある）

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-\vec{n’}$ なので

$$\mathrm{PQ}=|-1|\,|\vec{n’}|=3$$

答　$\mathrm{PQ}=3$

別解（点と平面の距離の公式）　 $\alpha$ は原点を通り $\vec{n’}=(2,-2,-1)$ に垂直なので、方程式は $2x-2y-z=0$。 $\mathrm{P}(4,0,-1)$ との距離は $\dfrac{|2\cdot4-2\cdot0-(-1)|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+(-1)^2}}=\dfrac93=3$ で、同じ値になる。ただし (3) で使うQの位置（ $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-\vec{n’}$ ）はこの解き方では求まらないので、(3) では本解の $k$ が必要になる。

(3)　配点 15点

Pと $\mathrm{P’}$ は $\alpha$ に関して対称なので、線分 $\mathrm{PP’}$ は $\alpha$ に垂直で、その中点は $\alpha$ 上にある。Pを通り $\alpha$ に垂直な直線と $\alpha$ の交点はQだけなので、Qは線分 $\mathrm{PP’}$ の中点である。

図のように、Pから見て $\mathrm{P’}$ はQのさらに先にあり、 $\mathrm{PP’}=2\mathrm{PQ}$。よって

$$\overrightarrow{\mathrm{OP’}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+2\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(4,0,-1)+2(-2,2,1)=(0,\ 4,\ 1)$$

答　$\mathrm{P’}(0,\ 4,\ 1)$

（確かめ：線分 $\mathrm{PP’}$ の中点は $\left(\dfrac{4+0}{2},\ \dfrac{0+4}{2},\ \dfrac{-1+1}{2}\right)=(2,\ 2,\ 0)$ で、Qと一致する）

別解（中点が $\alpha$ 上にあることを使う）　$\overrightarrow{\mathrm{OP’}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+t\vec n$ とおき、線分 $\mathrm{PP’}$ の中点Mについて $\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\dfrac t2\vec n$、 $\overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot\vec n=0$ から $t=-6$ を求め、 $\overrightarrow{\mathrm{OP’}}=(4,0,-1)-6\left(\dfrac23,-\dfrac23,-\dfrac13\right)=(0,4,1)$。

$k$ を実数とし、整式 $f(x)$ を、 $f(x)=x^4+6x^3-kx^2+2kx-64$ で定める。方程式 $f(x)=0$ が虚数解をもつとき、以下の問いに答えよ。

(1) $f(x)$ は $x-2$ で割り切れることを示せ。

(2) 方程式 $f(x)=0$ は負の実数解をもつことを示せ。

(3) 方程式 $f(x)=0$ のすべての実数解が整数であり、すべての虚数解の実部と虚部がともに整数であるとする。このような $k$ をすべて求めよ。

(1)　配点 10点

$$f(2)=16+48-4k+4k-64=0$$

よって、因数定理より $f(x)$ は $x-2$ で割り切れる。

実際に割ると（組立除法）、

$$f(x)=(x-2)\left\{x^3+8x^2+(16-k)x+32\right\}$$

となる。以下、 $g(x)=x^3+8x^2+(16-k)x+32$ とおく。

(2)　配点 15点

(1) より $f(x)=(x-2)g(x)$ である。 $f(x)=0$ の虚数解の1つを $\beta$ とすると、 $\beta\neq2$ なので $g(\beta)=0$ である。

$g(x)$ の係数はすべて実数なので、 $\beta$ と共役な複素数 $\overline{\beta}$ も $g(x)=0$ の解である。 $\beta$ は虚数なので $\beta\neq\overline{\beta}$ 。よって、3次方程式 $g(x)=0$ の残りの1つの解を $\alpha$ とおける。解と係数の関係より

$$\alpha+\beta+\overline{\beta}=-8$$

で、 $\beta+\overline{\beta}$ は実数なので、 $\alpha$ は実数である。

さらに、解と係数の関係（3つの解の積）より

$$\alpha\beta\overline{\beta}=-32$$

$\beta\overline{\beta}=|\beta|^2>0$ なので

$$\alpha=-\dfrac{32}{|\beta|^2}<0$$

$\alpha$ は $g(x)=0$ の解なので $f(\alpha)=0$ 。したがって、方程式 $f(x)=0$ は負の実数解 $\alpha$ をもつ。

別解（グラフ）　 $y=g(x)$ は $x^3$ の係数が正の3次関数なので、グラフは $x$ を小さくしていくといくらでも下がる。一方 $g(0)=32>0$ なので、グラフは $x<0$ の範囲で $x$ 軸と交わる。この交点の $x$ 座標が $g(x)=0$ の負の実数解で、 $f(x)=0$ の負の実数解でもある。（この解き方では「虚数解をもつ」という条件を使わない。本解の方が (3) にそのままつながる）

(3)　配点 25点

$f(x)=0$ の解は、 $x=2$ と $g(x)=0$ の3つの解である。(2) より $g(x)=0$ は実数解 $\alpha$ （ $\alpha<0$ ）と虚数解 $\beta$ 、 $\overline{\beta}$ をもつ。条件より $\alpha$ は整数で、 $\beta=p+qi$ （ $p,q$ は整数で $q\neq0$ 。 $\beta$ と $\overline{\beta}$ を入れかえて $q>0$ としてよい）とおける。このとき $\overline{\beta}=p-qi$ 。

$g(x)=0$ の解と係数の関係より

$$\alpha+2p=-8\quad\cdots\cdots①$$

$$2p\alpha+p^2+q^2=16-k\quad\cdots\cdots②$$

$$\alpha\left(p^2+q^2\right)=-32\quad\cdots\cdots③$$

$p^2+q^2$ は正の整数なので、③より $-\alpha$ は32の正の約数である。また、①より $\alpha=-8-2p$ は偶数である。よって

$$\alpha=-2,\ -4,\ -8,\ -16,\ -32$$

①より $p=\dfrac{-8-\alpha}{2}$ 、③より $p^2+q^2=-\dfrac{32}{\alpha}$ なので、それぞれ調べると次のようになる。

$q$ は正の整数なので、 $q^2$ が正の平方数になる $\alpha=-4$ （ $p=-2$ 、 $q=2$ ）と $\alpha=-8$ （ $p=0$ 、 $q=2$ ）だけが残る。

②より $k=16-\left(2p\alpha+p^2+q^2\right)$ なので

$\alpha=-4$ 、 $p=-2$ 、 $q=2$ のとき　 $k=16-(16+8)=-8$

$\alpha=-8$ 、 $p=0$ 、 $q=2$ のとき　 $k=16-(0+4)=12$

逆に、 $k=-8$ のとき $g(x)=x^3+8x^2+24x+32=(x+4)\left(x^2+4x+8\right)$ で、 $f(x)=0$ の解は $x=2,\ -4,\ -2\pm2i$ 。 $k=12$ のとき $g(x)=x^3+8x^2+4x+32=(x+8)\left(x^2+4\right)$ で、解は $x=2,\ -8,\ \pm2i$ 。どちらも虚数解をもち、条件をみたす。

答　$k=-8,\ 12$

別解（因数分解した形を置く）　(2) の結果から、 $g(x)=(x-\alpha)\left(x^2-2px+p^2+q^2\right)$ と置いて展開し、係数を比べても①〜③と同じ3式が得られる。以降は本解と同じ。

定積分について述べた次の文章を読んで、後の問いに答えよ。

$f(x)$ を整式とする。 $F'(x)=f(x)$ となる関数 $F(x)$ を1つ選び、 $f(x)$ の $a$ から $b$ までの定積分を

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\quad\cdots\cdots①$$

で定義する。定積分の値は $F(x)$ の選び方によらず定まる。定積分は次の性質(A)、(B)、(C)をもつ。

(A) $\displaystyle\int_a^b\{kf(x)+lg(x)\}\,dx=k\int_a^b f(x)\,dx+l\int_a^b g(x)\,dx$

(B) $a\leqq c\leqq b$ のとき、 $\displaystyle\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx$

(C) 区間 $a\leqq x\leqq b$ において $g(x)\geqq h(x)$ ならば、 $\displaystyle\int_a^b g(x)\,dx\geqq\int_a^b h(x)\,dx$

ただし、 $f(x)$、 $g(x)$、 $h(x)$ は整式、 $k,l$ は定数である。

以下、 $f(x)$ が区間 $0\leqq x\leqq1$ 上で増加関数になる場合を考える。 $n$ を自然数とする。定積分の性質［ア］を用い、定数関数に対する定積分の計算を行うと、

$$\frac1n f\left(\frac{i-1}{n}\right)\leqq\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac in}f(x)\,dx\leqq\frac1n f\left(\frac in\right)\quad(i=1,2,\cdots,n)\quad\cdots\cdots②$$

が成り立つことがわかる。 $S_n=\dfrac1n\displaystyle\sum_{i=1}^n f\left(\dfrac{i-1}{n}\right)$ とおくと、不等式②と定積分の性質［イ］より次の不等式が成り立つ。

$$0\leqq\int_0^1f(x)\,dx-S_n\leqq\frac{f(1)-f(0)}{n}\quad\cdots\cdots③$$

よって、 $n$ を限りなく大きくすると、 $S_n$ は $\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx$ に限りなく近づく。

(1) 関数 $F(x)$、 $G(x)$ が微分可能であるとき、 $\{F(x)+G(x)\}’=F'(x)+G'(x)$ が成り立つことと定積分の定義①を用いて、性質(A)で $k=l=1$ とした場合の等式 $\displaystyle\int_a^b\{f(x)+g(x)\}\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx$ を示せ。

(2) 定積分の定義①と、関数の増減と導関数の関係を用いて、次を示せ。

$a<b$ のとき、区間 $a\leqq x\leqq b$ において $g(x)>0$ ならば、 $\displaystyle\int_a^b g(x)\,dx>0$

(3) (A)、(B)、(C)のうち、空欄［ア］に入る記号として最もふさわしいものを1つ選び答えよ。また文章中の下線部の内容を詳しく説明することで、不等式②を示せ。

(4) (A)、(B)、(C)のうち、空欄［イ］に入る記号として最もふさわしいものを1つ選び答えよ。また、不等式③を示せ。

(1)　配点 12点

$f(x)$、 $g(x)$ は整式なので、 $F'(x)=f(x)$、 $G'(x)=g(x)$ となる関数 $F(x)$、 $G(x)$ がとれる（たとえば、各項を $x^k\to\dfrac{x^{k+1}}{k+1}$ と置きかえた整式）。

和の微分の公式より

$$\{F(x)+G(x)\}’=F'(x)+G'(x)=f(x)+g(x)$$

なので、 $F(x)+G(x)$ は「微分すると $f(x)+g(x)$ になる関数」の1つである。

$f(x)+g(x)$ も整式なので、定義①で $F(x)+G(x)$ を選ぶと（定積分の値は選び方によらない）

$$\begin{aligned}\int_a^b\{f(x)+g(x)\}\,dx&=\{F(b)+G(b)\}-\{F(a)+G(a)\}\\&=\{F(b)-F(a)\}+\{G(b)-G(a)\}\\&=\int_a^bf(x)\,dx+\int_a^bg(x)\,dx\end{aligned}$$

最後の等号は、定義①を $f(x)$ と $F(x)$、 $g(x)$ と $G(x)$ に当てはめたものである。（証明終）

(2)　配点 13点

$g(x)$ は整式なので、 $G'(x)=g(x)$ となる関数 $G(x)$ がとれる。定義①より

$$\int_a^bg(x)\,dx=G(b)-G(a)$$

区間 $a\leqq x\leqq b$ において $G'(x)=g(x)>0$ である。導関数が常に正である区間では関数は増加するので、 $G(x)$ は区間 $a\leqq x\leqq b$ で増加する。

$a<b$ より $G(a)<G(b)$。よって

$$\int_a^bg(x)\,dx=G(b)-G(a)>0$$

（証明終）

(3)　配点 12点

答　［ア］(C)

$f(x)$ は区間 $0\leqq x\leqq1$ で増加するので、どの小区間 $\dfrac{i-1}{n}\leqq x\leqq\dfrac in$ でも、値は左端の値以上、右端の値以下である。

$$f\left(\frac{i-1}{n}\right)\leqq f(x)\leqq f\left(\frac in\right)$$

両側の値は $x$ によらない定数である。性質(C)は「大小関係は積分しても保たれる」という性質なので、この小区間で3つの辺をそれぞれ積分する。定数 $c$ の積分は、$(cx)’=c$ と定義①から

$$\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac in}c\,dx=c\cdot\frac in-c\cdot\frac{i-1}{n}=\frac cn$$

となるので、②が得られる。

(4)　配点 13点

答　［イ］(B)

②を $i=1,\ 2,\ \cdots,\ n$ のすべてについて、辺ごとに加える。中辺は、性質(B)で小区間を左から順につないでいくと1つの積分になる。

$$\frac1n\sum_{i=1}^nf\left(\frac{i-1}{n}\right)\leqq\sum_{i=1}^n\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac in}f(x)\,dx=\int_0^1f(x)\,dx\leqq\frac1n\sum_{i=1}^nf\left(\frac in\right)$$

左端の和は $S_n$ そのものである。右端の和は、$S_n$ の和と比べて $f(0)$ の項が $f(1)$ の項に入れかわっただけなので

$$\frac1n\sum_{i=1}^nf\left(\frac in\right)=S_n+\frac{f(1)-f(0)}{n}$$

と書ける。全体から $S_n$ を引くと③になる。