【解説・採点基準付き】2021年九州大学文系数学の解答・解説

座標平面上の3点 $\mathrm{O}(0,0)$、 $\mathrm{A}(1,0)$、 $\mathrm{B}(0,2)$ を考える。以下の問いに答えよ。

(1) 三角形OABに内接する円の中心の座標を求めよ。

(2) 中心が第1象限にあり、 $x$ 軸と $y$ 軸の両方に接し、直線ABと異なる2つの交点をもつような円を考える。この2つの交点をP、Qとするとき、線分PQの長さの最大値を求めよ。

(1)　配点 20点

直線ABは $x$ 切片 $1$、 $y$ 切片 $2$ なので $\dfrac x1+\dfrac y2=1$、すなわち

$$2x+y-2=0$$

内接円の半径を $r\ (r>0)$ とする。内接円は辺OA（ $x$ 軸）と辺OB（ $y$ 軸）に接し、中心は三角形OABの内部（第1象限）にあるので、中心は $\mathrm{I}(r,r)$ とおける。

Iと直線ABの距離は、点と直線の距離の公式より

$$\frac{|2r+r-2|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{|3r-2|}{\sqrt5}$$

Iは三角形OABの内部にあるので、直線ABに関して原点Oと同じ側にある。 $2x+y-2$ に $\mathrm{O}(0,0)$ を代入した値は $-2<0$ なので、 $3r-2<0$ であり、距離は $\dfrac{2-3r}{\sqrt5}$ となる。

この距離が半径 $r$ に等しいので

$$\frac{2-3r}{\sqrt5}=r\iff(3+\sqrt5)r=2\iff r=\frac{2}{3+\sqrt5}=\frac{2(3-\sqrt5)}{(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)}=\frac{3-\sqrt5}{2}$$

（確かめ： $3r-2=\dfrac{5-3\sqrt5}{2}<0$ で、仮定どおり）

答　$\left(\dfrac{3-\sqrt5}{2},\ \dfrac{3-\sqrt5}{2}\right)$

符号を決めずに $|3r-2|=\sqrt5r$ を解くと、 $r=\dfrac{3+\sqrt5}{2}$ も出てくる。これは辺ABの外側で3本の直線に接する円（傍接円）の半径で、三角形の内部にないので内接円ではない。

別解（面積を2通りで表す）　 $\mathrm{AB}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5$。三角形OABを、内接円の中心Iと3つの頂点を結んで3つの三角形に分けると、どれも高さが $r$ なので

$$\triangle\mathrm{OAB}=\frac12r(\mathrm{OA}+\mathrm{OB}+\mathrm{AB})=\frac12r(3+\sqrt5)$$

一方 $\triangle\mathrm{OAB}=\dfrac12\cdot1\cdot2=1$ なので、 $\dfrac12r(3+\sqrt5)=1$ より $r=\dfrac{2}{3+\sqrt5}=\dfrac{3-\sqrt5}{2}$。内接円は $x$ 軸・ $y$ 軸に接するので、中心は $(r,r)$ で、本解と一致する。

（検算：直角三角形の内接円の半径は $r=\dfrac{\mathrm{OA}+\mathrm{OB}-\mathrm{AB}}{2}=\dfrac{3-\sqrt5}{2}$ で、これとも一致する）

(2)　配点 30点

円の中心をCとし、半径を $a\ (a>0)$ とする。中心が第1象限にあり、 $x$ 軸と $y$ 軸の両方に接するので、Cの $y$ 座標（ $x$ 軸までの距離）と $x$ 座標（ $y$ 軸までの距離）はどちらも半径 $a$ に等しい。よって中心は $\mathrm{C}(a,a)$、半径は $a$ である。

Cと直線AB： $2x+y-2=0$ の距離を $d$ とすると、(1) と同様に

$$d=\frac{|3a-2|}{\sqrt5}$$

円が直線ABと異なる2点で交わる条件は $d<a$ である。両辺とも0以上なので、2乗しても同値で

$$\frac{(3a-2)^2}{5}<a^2\iff4a^2-12a+4<0\iff a^2-3a+1<0\iff\frac{3-\sqrt5}{2}<a<\frac{3+\sqrt5}{2}\quad\cdots①$$

①の左端 $a=\dfrac{3-\sqrt5}{2}$ は (1) の内接円、右端 $a=\dfrac{3+\sqrt5}{2}$ は辺ABの外側で3本の直線に接する円（傍接円）で、どちらも直線ABに接する。 $a$ がその間にあるとき、円は直線ABと異なる2点で交わる。

Cから直線ABに下ろした垂線の足をHとする。三角形CPQは $\mathrm{CP}=\mathrm{CQ}=a$ の二等辺三角形なので、Hは線分PQの中点である。直角三角形CHPで三平方の定理より

$$\left(\frac{\mathrm{PQ}}{2}\right)^2=\mathrm{CP}^2-\mathrm{CH}^2=a^2-d^2=a^2-\frac{(3a-2)^2}{5}=\frac{-4a^2+12a-4}{5}$$

平方完成すると

$$\frac{-4a^2+12a-4}{5}=-\frac45\left(a-\frac32\right)^2+1$$

これは上に凸の2次関数で、軸 $a=\dfrac32$ は①の範囲に入る（ $a=\dfrac32$ のとき $a^2-3a+1=\dfrac94-\dfrac92+1=-\dfrac54<0$）。よって $a=\dfrac32$ のとき最大値 $1$ をとる。

$\mathrm{PQ}>0$ なので、 $\left(\dfrac{\mathrm{PQ}}{2}\right)^2$ が最大のとき PQ も最大で、 $\dfrac{\mathrm{PQ}}{2}=1$ より $\mathrm{PQ}=2$。

答　$2$（ $a=\dfrac32$ のとき）

（確かめ： $a=\dfrac32$ のとき $d=\dfrac{\left|\dfrac92-2\right|}{\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}{2}$ で、 $a^2-d^2=\dfrac94-\dfrac54=1$。 $\dfrac{\mathrm{PQ}}{2}=1$ と一致する）

別解（連立して交点の $x$ 座標の差から求める）　直線ABは $y=-2x+2$。円 $(x-a)^2+(y-a)^2=a^2$ に代入して整理すると

$$5x^2+(2a-8)x+(a-2)^2=0$$

この2次方程式の2つの解は、P、Qの $x$ 座標である。判別式を $D$ とすると $\dfrac D4=(a-4)^2-5(a-2)^2=-4a^2+12a-4$ で、異なる2点で交わる条件 $\dfrac D4>0$ は本解の①と同じになる。2つの解の差は $\dfrac{2\sqrt{D/4}}{5}$、直線ABの傾きは $-2$ なので

$$\mathrm{PQ}=\sqrt{1+(-2)^2}\times\frac{2\sqrt{-4a^2+12a-4}}{5}=2\sqrt{\frac{-4a^2+12a-4}{5}}$$

となり、本解と同じ式になる。

以下の問いに答えよ。

(1) 次の条件Aをみたす座標平面上の点 $(x,y)$ 全体の集合を図示せよ。

条件A：すべての実数 $t$ に対して $y\geqq xt-2t^2$ が成立する。

(2) 次の条件Bをみたす座標平面上の点 $(x,y)$ 全体の集合を図示せよ。

条件B： $|t|\leqq1$ をみたすすべての実数 $t$ に対して $y\geqq xt-2t^2$ が成立する。

(1)　配点 20点

$x$、 $y$ を定数と見て、 $t$ の関数

$$g(t)=xt-2t^2$$

を考える。条件Aは「すべての実数 $t$ で $y\geqq g(t)$」なので、「 $y$ が $g(t)$ の最大値以上」と同じである。

$$g(t)=-2t^2+xt=-2\left(t-\dfrac{x}{4}\right)^2+\dfrac{x^2}{8}$$

より、 $g(t)$ は $t=\dfrac{x}{4}$ で最大値 $\dfrac{x^2}{8}$ をとる。

よって、条件Aは

$$y\geqq\dfrac{x^2}{8}$$

である。求める集合は、放物線 $y=\dfrac{x^2}{8}$ とその上側の部分で、下の図の色をつけた部分（境界を含む）。

答　上の図の色をつけた部分（領域 $y\geqq\dfrac{x^2}{8}$ 。境界を含む）

別解（判別式）　条件Aは「すべての実数 $t$ で $2t^2-xt+y\geqq0$」と同じである。左辺は $t^2$ の係数が $2>0$ の2次式なので、すべての実数 $t$ で $0$ 以上になる条件は、判別式を $D$ として

$$D=x^2-8y\leqq0\quad\text{すなわち}\quad y\geqq\dfrac{x^2}{8}$$

本解と同じ答えになる。ただし、この解き方が使えるのは $t$ がすべての実数を動く (1) だけ。(2) のように $t$ の範囲が限られると判別式だけでは条件を表せず、最大値（最小値）を求める本解の解き方が必要になる。

(2)　配点 30点

(1) と同じく $g(t)=xt-2t^2=-2\left(t-\dfrac{x}{4}\right)^2+\dfrac{x^2}{8}$ とする。条件Bは「 $y$ が、 $-1\leqq t\leqq1$ における $g(t)$ の最大値以上」と同じである（区間は端を含むので、最大値が存在する）。

$g(t)$ は上に凸で軸は $t=\dfrac{x}{4}$ なので、最大値の候補は軸と区間の端 $t=\pm1$ である。軸が区間 $-1\leqq t\leqq1$ のどこにあるかで場合分けする。

(i) $-1\leqq\dfrac{x}{4}\leqq1$ すなわち $-4\leqq x\leqq4$ のとき　軸が区間に入るので、最大値は $g\!\left(\dfrac{x}{4}\right)=\dfrac{x^2}{8}$。条件は $y\geqq\dfrac{x^2}{8}$。

(ii) $\dfrac{x}{4}<-1$ すなわち $x<-4$ のとき　軸が区間の左にあるので、 $g(t)$ は $-1\leqq t\leqq1$ で単調に減少し、最大値は $g(-1)=-x-2$。条件は $y\geqq-x-2$。

(iii) $\dfrac{x}{4}>1$ すなわち $x>4$ のとき　軸が区間の右にあるので、 $g(t)$ は $-1\leqq t\leqq1$ で単調に増加し、最大値は $g(1)=x-2$。条件は $y\geqq x-2$。

$x=4$ のとき $\dfrac{x^2}{8}=2$、 $x-2=2$、 $x=-4$ のとき $\dfrac{x^2}{8}=2$、 $-x-2=2$ なので、境界は点 $(4,\ 2)$、 $(-4,\ 2)$ でつながる。さらに

$$\dfrac{x^2}{8}-(x-2)=\dfrac{(x-4)^2}{8}\geqq0,\qquad \dfrac{x^2}{8}-(-x-2)=\dfrac{(x+4)^2}{8}\geqq0$$

なので、直線 $y=x-2$ は放物線 $y=\dfrac{x^2}{8}$ に点 $(4,\ 2)$ で接し、直線 $y=-x-2$ は点 $(-4,\ 2)$ で接する。境界は、放物線から接線へなめらかにつながる。

以上より、求める集合は下の図の色をつけた部分（境界を含む）。破線は (1) の境界の放物線の続きで、(2) の集合は (1) の集合より広い。

答　上の図の色をつけた部分（境界を含む）

$x<-4$ のとき $y\geqq-x-2$、　 $-4\leqq x\leqq4$ のとき $y\geqq\dfrac{x^2}{8}$、　 $x>4$ のとき $y\geqq x-2$

検算（図形的な見方）　 $t$ を1つ決めると、 $y=tx-2t^2$ は $xy$ 平面上の直線になる。

$$\dfrac{x^2}{8}-(tx-2t^2)=\dfrac{(x-4t)^2}{8}\geqq0$$

なので、この直線は放物線 $y=\dfrac{x^2}{8}$ の点 $(4t,\ 2t^2)$ における接線である。条件は「点 $(x,y)$ が、これらの接線すべての上側（接線上も含む）にある」ことになる。(1) はすべての接線の上側なので放物線の上側、 (2) は接点の $x$ 座標が $-4\leqq x\leqq4$ の接線だけなので、その外側は両端の接線 $y=\pm x-2$（ $t=\pm1$ ）が境界になる。本解の答えと一致する。

$a$ を正の実数とし、放物線 $C:y=-x^2-2ax-a^3+10a$ を考える。以下の問いに答えよ。

(1) 放物線 $C$ と直線 $l:y=8x+6$ が接するような $a$ の値を求めよ。

(2) $a$ が(1)で求めた値のとき、放物線 $C$、直線 $l$、 $y$ 軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

(1)　配点 30点

$C$ と $l$ の式を連立すると、 $-x^2-2ax-a^3+10a=8x+6$ より

$$x^2+2(a+4)x+a^3-10a+6=0\quad\cdots①$$

$C$ と $l$ が接するのは、①が重解をもつときである。①の判別式を $D$ とすると

$$\dfrac{D}{4}=(a+4)^2-(a^3-10a+6)=-a^3+a^2+18a+10=0$$

すなわち

$$a^3-a^2-18a-10=0\quad\cdots②$$

②の解の候補は $\pm1,\ \pm2,\ \pm5,\ \pm10$。 $a=5$ を代入すると $125-25-90-10=0$ なので、②の左辺は $a-5$ で割り切れて

$$(a-5)(a^2+4a+2)=0$$

$a>0$ なので $a^2+4a+2>0$ であり、②をみたす正の実数は $a=5$ だけである（ $a^2+4a+2=0$ の解 $a=-2\pm\sqrt2$ はどちらも負で不適）。

答　$a=5$

このとき①は $x^2+18x+81=0$ で、重解は $x=-(a+4)=-9$。 $l$ は $C$ に点 $(-9,\ -66)$ で接する。

別解（接点で傾きが等しいことから微分で求める）　 $C$ と $l$ が $x=t$ で接するとすると、接点で $C$ の接線の傾きが $8$ になるので、 $(-x^2-2ax-a^3+10a)’=-2x-2a$ より $-2t-2a=8$、すなわち $t=-(a+4)$。さらに $x=t$ で $C$ と $l$ の $y$ 座標が等しいので

$$-(a+4)^2+2a(a+4)-a^3+10a=-8(a+4)+6$$

整理すると $-a^3+a^2+18a+10=0$ となり、本解の②と同じ式になる。あとは同じ。

(2)　配点 20点

$a=5$ のとき、 $C:y=-x^2-10x-75$ である。 $l$ は $C$ に $x=-9$ で接するので、 $l$ の式から $C$ の式を引いた2次式は、2次の係数が $1$ の完全平方になる。

$$(8x+6)-(-x^2-10x-75)=x^2+18x+81=(x+9)^2$$

これは $0$ 以上なので、 $l$ は $C$ の上にある。よって、求める図形は $-9\leqq x\leqq0$ で $l$ と $C$ の間の部分（図の網かけ部分）である。

求める面積を $S$ とすると

$$S=\int_{-9}^{0}\{(8x+6)-(-x^2-10x-75)\}\,dx=\int_{-9}^{0}(x+9)^2\,dx$$

$$S=\left[\dfrac13(x+9)^3\right]_{-9}^{0}=\dfrac13\cdot9^3=243$$

答　$243$

検算　 $\dfrac13(x+9)^3$ を微分すると $(x+9)^2$ に戻る。また、 $x=0$ での $l$ と $C$ の $y$ 座標の差は $6-(-75)=81=9^2$ で、 $(x+9)^2$ に $x=0$ を代入した値と一致する。

以下の問いに答えよ。

(1) $n$ を自然数とするとき、 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\,2^{k-1}$ を求めよ。

(2) 次のように定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

$$a_1=2$$

$$a_{n+1}=1+\frac12\sum_{k=1}^{n}(n+1-k)a_k$$

$$(n=1,2,3,\cdots\cdots)$$

(1)　配点 15点

$S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\,2^{k-1}$ とおく。 $k\,2^{k-1}$ は（等差数列）×（等比数列）の形なので、公比2を掛けて1つずらして並べる。

$$\begin{aligned}S_n&=1+2\cdot2+3\cdot2^2+\cdots+n\cdot2^{n-1}\\2S_n&=1\cdot2+2\cdot2^2+\cdots+(n-1)\cdot2^{n-1}+n\cdot2^n\end{aligned}$$

$S_n$ の式から $2S_n$ の式を引くと、同じ $2^{k-1}$ の項どうしで係数の差が1になるので

$$S_n-2S_n=\left(1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}\right)-n\cdot2^n$$

かっこの中は初項1、公比2、項数 $n$ の等比数列の和なので

$$-S_n=\frac{2^n-1}{2-1}-n\cdot2^n=2^n-1-n\cdot2^n$$

よって

$$S_n=n\cdot2^n-2^n+1=(n-1)\cdot2^n+1$$

答　$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\,2^{k-1}=(n-1)\cdot2^n+1$

（確かめ： $n=1$ で左辺 $1$、右辺 $0+1=1$。 $n=2$ で左辺 $1+4=5$、右辺 $4+1=5$）

(2)　配点 35点

Σを書き出すと、漸化式は

$$a_{n+1}=1+\frac12\left\{na_1+(n-1)a_2+\cdots+2a_{n-1}+1\cdot a_n\right\}\quad\cdots\cdots①$$

である。①の $n$ を $n+1$ にした式は

$$a_{n+2}=1+\frac12\left\{(n+1)a_1+na_2+\cdots+2a_n+1\cdot a_{n+1}\right\}\quad\cdots\cdots①’$$

①’から①を引く。 $a_1$ から $a_n$ までの係数はどれも1ずつ増え、 $a_{n+1}$ の係数は1だけ残るので、 $n\geqq1$ で

$$a_{n+2}-a_{n+1}=\frac12\left(a_1+a_2+\cdots+a_{n+1}\right)\quad\cdots\cdots②$$

②の $n$ を $n+1$ にした式から②を引くと、右辺は $\dfrac12a_{n+2}$ だけが残るので、 $n\geqq1$ で

$$a_{n+3}-a_{n+2}-\left(a_{n+2}-a_{n+1}\right)=\frac12a_{n+2}\iff a_{n+3}-\frac52a_{n+2}+a_{n+1}=0\quad\cdots\cdots③$$

③は $x^2-\dfrac52x+1=(x-2)\left(x-\dfrac12\right)$ に対応するので

$$a_{n+3}-2a_{n+2}=\frac12\left(a_{n+2}-2a_{n+1}\right)\quad(n\geqq1)$$

と変形できる。①で $n=1,\ 2$ とすると

$$a_2=1+\frac12\cdot1\cdot2=2,\qquad a_3=1+\frac12(2\cdot2+1\cdot2)=4$$

なので $a_3-2a_2=0$ 。よって数列 $\left\{a_{n+2}-2a_{n+1}\right\}$ は初項0、公比 $\dfrac12$ の等比数列で、すべて0になる。

$$a_{n+2}-2a_{n+1}=0\quad(n\geqq1)\qquad\text{すなわち}\qquad a_{n+1}=2a_n\quad(n\geqq2)$$

$a_2=2$ なので、 $n\geqq2$ で $a_n=2^{n-2}a_2=2^{n-1}$ となる。 $a_1=2$ はこの式に含まれないので、分けて書く。

答　$a_1=2$、 $n\geqq2$ のとき $a_n=2^{n-1}$

（確かめ： $a_4=2a_3=8$ は、①で $n=3$ として $1+\dfrac12(3\cdot2+2\cdot2+1\cdot4)=8$ と一致する。③は $a_{n+1}$ から始まるので $n\geqq1$ でだけ成り立つ。 $n=0$ とすると $a_3-\dfrac52a_2+a_1=1\neq0$ で成り立たない。 $n$ の範囲を書き落とさない）

別解（予想して帰納法）　解けないときの手として持っておく。①で $n=1,\ 2,\ 3$ とすると $a_2=2$、 $a_3=4$、 $a_4=1+\dfrac12(3\cdot2+2\cdot2+1\cdot4)=8$ 。 $2,\ 4,\ 8$ と2倍ずつなので、 $n\geqq2$ で $a_n=2^{n-1}$ …(☆) と予想する（ $a_1=2$ は $2^0=1$ と一致しないので除く）。①の右辺には $a_1$ から $a_n$ までがすべて入るので、前の項すべてで (☆) が成り立つと仮定する帰納法（累積帰納法）で示す。 $n=2$ では $a_2=2=2^1$ で成り立つ。 $m\geqq2$ とし、 $2\leqq k\leqq m$ のすべての $k$ で $a_k=2^{k-1}$ と仮定すると、 $a_1=2=2^0+1$ なので

$$\sum_{k=1}^{m}(m+1-k)a_k=\sum_{k=1}^{m}(m+1-k)2^{k-1}+m$$

右辺の和は、 $m+1$ がΣの外に出せて、(1) の結果より

$$(m+1)\sum_{k=1}^{m}2^{k-1}-\sum_{k=1}^{m}k\,2^{k-1}=(m+1)\left(2^m-1\right)-\left\{(m-1)\cdot2^m+1\right\}=2^{m+1}-m-2$$

よって和は $2^{m+1}-2$ で、①より $a_{m+1}=1+\dfrac12\left(2^{m+1}-2\right)=2^m$ となり、 $n=m+1$ でも (☆) は成り立つ。答えは本解と同じ、 $a_1=2$、 $n\geqq2$ のとき $a_n=2^{n-1}$ 。(1) の結果を使う解き方なので、(1) が解けていれば確実に進められる。