【解説・採点基準付き】2019年九州大学文系数学の解答・解説

表に3、裏に8が書かれた硬貨がある。この硬貨を10回投げるとき、出た数字10個の積が8桁になる確率を求めよ。ただし、 $\log_{10}2=0.3010$、 $\log_{10}3=0.4771$ とする。

硬貨を1回投げて、表（3）が出る確率と裏（8）が出る確率はどちらも $\dfrac12$ で、何回目でも変わらない。

10回のうち3が出る回数を $k$ （ $k=0,1,2,\cdots,10$ ）とすると、8が出る回数は $10-k$ なので、出た数字10個の積を $N$ とすると

$$N=3^k\cdot8^{10-k}$$

両辺の常用対数をとる。 $\log_{10}8=3\log_{10}2=3\times0.3010=0.9030$ なので

$$\log_{10}N=k\log_{10}3+(10-k)\log_{10}8=0.4771k+0.9030(10-k)=9.030-0.4259k$$

$\log_{10}N$ は、 $k$ が1増えるごとに $0.4259$ ずつ小さくなる。

$N$ が8桁の整数であるための条件は

$$10^7\leqq N<10^8$$

で、各辺の常用対数をとると

$$7\leqq\log_{10}N<8$$

よって $7\leqq9.030-0.4259k<8$、すなわち $1.030<0.4259k\leqq2.030$ なので

$$\dfrac{1.030}{0.4259}<k\leqq\dfrac{2.030}{0.4259}$$

$\dfrac{1.030}{0.4259}=2.41\cdots$、 $\dfrac{2.030}{0.4259}=4.76\cdots$ で、 $k$ は整数なので

$$k=3,\ 4$$

実際、 $k=3$ のとき $\log_{10}N=7.7523$、 $k=4$ のとき $\log_{10}N=7.3264$ で、どちらも $10^7<N<10^8$ を満たす。

3がちょうど $k$ 回出る確率は、反復試行の確率で

$${}_{10}\mathrm{C}_k\left(\dfrac12\right)^k\left(\dfrac12\right)^{10-k}={}_{10}\mathrm{C}_k\left(\dfrac12\right)^{10}$$

$k=3$ と $k=4$ は同時には起こらないので、求める確率は

$$\left({}_{10}\mathrm{C}_3+{}_{10}\mathrm{C}_4\right)\left(\dfrac12\right)^{10}=\dfrac{120+210}{1024}=\dfrac{330}{1024}=\dfrac{165}{512}$$

答　$\dfrac{165}{512}$

検算　 $k=2,3,4,5$ の積を実際に計算すると

・$k=2$ ： $3^2\cdot8^8=150994944$ （9桁）

・$k=3$ ： $3^3\cdot8^7=56623104$ （8桁）

・$k=4$ ： $3^4\cdot8^6=21233664$ （8桁）

・$k=5$ ： $3^5\cdot8^5=7962624$ （7桁）

で、8桁になるのは $k=3,\ 4$ だけ。本解と一致する。 $k=2,\ 5$ の $\log_{10}N$ はそれぞれ $8.1782$、 $6.9005$ で、7や8から十分離れているので、与えられた常用対数の値が近似値であっても判定は変わらない。

別解（8が出る回数で考える）　8が出る回数を $m$ とおくと、 $\log_{10}N=0.4771(10-m)+0.9030m=4.771+0.4259m$。 $7\leqq4.771+0.4259m<8$ より $5.23\cdots\leqq m<7.58\cdots$ で $m=6,\ 7$。確率は $\left({}_{10}\mathrm{C}_6+{}_{10}\mathrm{C}_7\right)\left(\dfrac12\right)^{10}=\dfrac{165}{512}$ で、本解と同じになる。

$k$ を実数とする。3次関数 $y=x^3-kx^2+kx+1$ が極大値と極小値をもち、極大値から極小値を引いた値が $4\lvert k\rvert^3$ になるとする。このとき、 $k$ の値を求めよ。

配点 50点

$f(x)=x^3-kx^2+kx+1$ とおくと

$$f'(x)=3x^2-2kx+k$$

$y=f'(x)$ は下に凸の放物線なので、 $f(x)$ が極大値と極小値をもつのは、 $f'(x)$ の符号が2回変わるとき、すなわち $f'(x)=0$ が異なる2つの実数解をもつときである。判別式を $D$ とすると

$$\dfrac{D}{4}=k^2-3k=k(k-3)>0$$

よって

$$k<0,\quad 3<k\quad\cdots①$$

①のとき、 $f'(x)=0$ の2つの実数解を $\alpha$、 $\beta$（ $\alpha<\beta$ ）とすると、 $f'(x)=3(x-\alpha)(x-\beta)$ である。 $f'(x)$ は $x=\alpha$ の前後で正から負に、 $x=\beta$ の前後で負から正に符号が変わるので、 $f(x)$ は $x=\alpha$ で極大、 $x=\beta$ で極小となる。

極大値から極小値を引いた値は

$$\small\begin{aligned}f(\alpha)-f(\beta)&=-\int_\alpha^\beta f'(x)\,dx\\&=-3\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)\,dx\\&=-3\cdot\left\{-\dfrac16(\beta-\alpha)^3\right\}\\&=\dfrac12(\beta-\alpha)^3\end{aligned}$$

$f'(x)=0$ を解の公式で解くと

$$x=\dfrac{k\pm\sqrt{k^2-3k}}{3}$$

なので、辺々引いて

$$\beta-\alpha=\dfrac23\sqrt{k^2-3k}$$

よって

$$f(\alpha)-f(\beta)=\dfrac12\cdot\dfrac{8}{27}\left(\sqrt{k^2-3k}\right)^3=\dfrac{4}{27}\left(\sqrt{k^2-3k}\right)^3$$

$|k|=\sqrt{k^2}$ なので、条件 $f(\alpha)-f(\beta)=4|k|^3$ は

$$\dfrac{4}{27}\left(\sqrt{k^2-3k}\right)^3=4\left(\sqrt{k^2}\right)^3$$

となる。両辺に $\dfrac{27}{4}$ をかけると

$$\left(\sqrt{k^2-3k}\right)^3=\left(3\sqrt{k^2}\right)^3$$

$\sqrt{k^2-3k}$ と $3\sqrt{k^2}$ はどちらも0以上の実数なので、3乗が等しければもとの数も等しく

$$\sqrt{k^2-3k}=3\sqrt{k^2}$$

両辺とも0以上なので、2乗して

$$k^2-3k=9k^2\qquad 8k^2+3k=0\qquad k(8k+3)=0$$

よって $k=0,\ -\dfrac38$

①を満たすのは $k=-\dfrac38$ だけである（ $k=0$ のときは $f'(x)=3x^2\geqq0$ で、 $f(x)$ は極値をもたない）。

答　$k=-\dfrac38$

検算　 $k=-\dfrac38$ のとき、 $f'(x)=3x^2+\dfrac34x-\dfrac38=\dfrac38(2x+1)(4x-1)$ なので、 $\alpha=-\dfrac12$、 $\beta=\dfrac14$。 $f(x)=x^3+\dfrac38x^2-\dfrac38x+1$ に代入すると

$$f\left(-\dfrac12\right)=\dfrac{37}{32},\qquad f\left(\dfrac14\right)=\dfrac{121}{128}$$

で、差は $\dfrac{148}{128}-\dfrac{121}{128}=\dfrac{27}{128}$。一方 $4|k|^3=4\cdot\dfrac{27}{512}=\dfrac{27}{128}$ で一致する。 $\dfrac12(\beta-\alpha)^3=\dfrac12\cdot\left(\dfrac34\right)^3=\dfrac{27}{128}$ とも一致する。

別解（ $\beta-\alpha$ を解と係数の関係で求める）　 $f'(x)=0$ で解と係数の関係より $\alpha+\beta=\dfrac{2k}{3}$、 $\alpha\beta=\dfrac{k}{3}$ なので

$$(\beta-\alpha)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=\dfrac{4k^2}{9}-\dfrac{4k}{3}=\dfrac49(k^2-3k)$$

$\beta-\alpha>0$ より $\beta-\alpha=\dfrac23\sqrt{k^2-3k}$ で、本解と同じになる。

別解（絶対値を場合分けで外す）　①の範囲で、 $k<0$ のときは $|k|=-k$、 $3<k$ のときは $|k|=k$ なので、どちらも $\left(\sqrt{k^2-3k}\right)^3=(3|k|)^3$ から $\sqrt{k^2-3k}=3|k|$ となり、2乗して $8k^2+3k=0$。 $3<k$ の範囲に解はなく、 $k<0$ の範囲の解は $k=-\dfrac38$ だけで、本解と同じ答えになる。

座標空間内の3点 $\mathrm{A}(1,2,3)$、 $\mathrm{B}(3,2,3)$、 $\mathrm{C}(4,5,6)$ を通る平面を $\alpha$ とし、平面 $\alpha$ 上にない点 $\mathrm{P}(6,p,q)$ を考える。以下の問いに答えよ。

(1) 点 $\mathrm{P}$ から平面 $\alpha$ に下ろした垂線と $\alpha$ との交点を $\mathrm{H}$ とする。線分 $\mathrm{PH}$ の長さを $p,q$ を用いて表せ。

(2) 点 $\mathrm{P}$ が $(p-9)^2+(q-7)^2=1$ を満たしながら動くとき、四面体 $\mathrm{ABCP}$ の体積の最大値と最小値を求めよ。

(1)　配点 20点

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(2,0,0)$、 $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(3,3,3)$。平面 $\alpha$ に垂直なベクトルを $\vec n=(a,b,c)$ とおく。 $\vec n$ は $\alpha$ 上の平行でない2つのベクトル $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$、 $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ に垂直なので

$$\vec n\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=2a=0,\qquad\vec n\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=3a+3b+3c=0$$

1つめの式から $a=0$、これを2つめの式に代入して $c=-b$。よって $\vec n=b(0,1,-1)$。大きさは何でもよいので、 $\vec n=(0,1,-1)$ をとる（ $|\vec n|=\sqrt2$）。

PHは $\alpha$ に垂直なので、 $\overrightarrow{\mathrm{PH}}=k\vec n$（ $k$ は実数）とおける。PまでたどってからHへ進むと

$$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+k\vec n=(6,\ p+k,\ q-k)$$

HとAはどちらも $\alpha$ 上の点なので $\overrightarrow{\mathrm{AH}}\perp\vec n$、すなわち $\overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot\vec n=0$。 $\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(5,\ p-2+k,\ q-3-k)$ より

$$(p-2+k)-(q-3-k)=0\iff2k+p-q+1=0\iff k=-\frac{p-q+1}{2}$$

図のように、PHは平面 $\alpha$ に垂直に下ろした線分で、その長さは $|k|$ と $|\vec n|$ の積である。よって

$$\mathrm{PH}=|k||\vec n|=\frac{|p-q+1|}{2}\cdot\sqrt2=\frac{|p-q+1|}{\sqrt2}$$

答　$\mathrm{PH}=\dfrac{|p-q+1|}{\sqrt2}$

（Pは $\alpha$ 上にないので $p-q+1\neq0$ で、PHは0にならない。また $\vec n$ の $x$ 成分が0なので、Hの $x$ 座標はPと同じ6で、Pの $x$ 座標6は答えに関係しない）

別解（点と平面の距離の公式）　平面 $\alpha$ は、Aを通り $\vec n=(0,1,-1)$ に垂直なので $(y-2)-(z-3)=0$、すなわち $y-z+1=0$。 $\mathrm{P}(6,p,q)$ との距離は $\dfrac{|p-q+1|}{\sqrt{0^2+1^2+(-1)^2}}=\dfrac{|p-q+1|}{\sqrt2}$ で、同じ値になる。

(2)　配点 30点

$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2=4$、 $|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^2=27$、 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=6$ より

$$\triangle\mathrm{ABC}=\frac12\sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^2-(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}})^2}=\frac12\sqrt{4\cdot27-6^2}=\frac12\sqrt{72}=3\sqrt2$$

（確かめ：ABは $x$ 軸に平行で長さ2。Cから直線ABまでの距離は $\sqrt{(5-2)^2+(6-3)^2}=3\sqrt2$ なので、面積は $\dfrac12\cdot2\cdot3\sqrt2=3\sqrt2$ で一致する）

四面体ABCPの底面を三角形ABCとみると、高さはPHである。体積を $V$ とすると、(1) より

$$V=\frac13\cdot\triangle\mathrm{ABC}\cdot\mathrm{PH}=\frac13\cdot3\sqrt2\cdot\frac{|p-q+1|}{\sqrt2}=|p-q+1|$$

点 $(p,q)$ は中心 $(9,7)$、半径1の円周上にあるので

$$p=9+\cos\theta,\qquad q=7+\sin\theta\qquad(0\leqq\theta<2\pi)$$

とおける。このとき

$$p-q+1=3+\cos\theta-\sin\theta$$

$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の1次式なので、sin合成する。横軸に $\sin\theta$ の係数 $-1$、縦軸に $\cos\theta$ の係数 $1$ をとると、原点からの長さは $\sqrt2$、角は $\dfrac34\pi$ なので

$$-\sin\theta+\cos\theta=\sqrt2\sin\left(\theta+\frac34\pi\right)\qquad\therefore\ p-q+1=3+\sqrt2\sin\left(\theta+\frac34\pi\right)$$

$0\leqq\theta<2\pi$ より $\dfrac34\pi\leqq\theta+\dfrac34\pi<\dfrac{11}{4}\pi$ なので、 $-1\leqq\sin\left(\theta+\dfrac34\pi\right)\leqq1$。よって

$$3-\sqrt2\leqq p-q+1\leqq3+\sqrt2$$

$3-\sqrt2>0$ なので $p-q+1$ はつねに正で（Pは確かに $\alpha$ 上にない）、絶対値をそのまま外して $V=3+\sqrt2\sin\left(\theta+\dfrac34\pi\right)$。

$V$ が最大となるのは $\theta+\dfrac34\pi=\dfrac52\pi$、すなわち $\theta=\dfrac74\pi$ のとき、最小となるのは $\theta+\dfrac34\pi=\dfrac32\pi$、すなわち $\theta=\dfrac34\pi$ のときで、どちらも $0\leqq\theta<2\pi$ の範囲にある。

答　最大値 $3+\sqrt2$、最小値 $3-\sqrt2$

最大となるのは $\mathrm{P}\left(6,\ 9+\dfrac{\sqrt2}{2},\ 7-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)$、最小となるのは $\mathrm{P}\left(6,\ 9-\dfrac{\sqrt2}{2},\ 7+\dfrac{\sqrt2}{2}\right)$ のときである。上の図は平面 $x=6$ での切り口（横に $y$、縦に $z$ をとる）で、 $\alpha$ は直線 $y-z+1=0$ になる。円の中心 $(9,\ 7)$ を通り、この直線に垂直な直線と円の2つの交点で、PHが最大・最小になる。

別解（平面 $x=6$ で切って、円の中心と直線の距離で考える）　 $\vec n=(0,1,-1)$ の $x$ 成分が0なので、 $\alpha$ は $x$ 軸に平行である。そこで、Pを含む平面 $x=6$ で切って考える（上の図）。PHは $\vec n$ に平行で、Hも平面 $x=6$ 上にあるので、PHはこの切り口の上で、点 $(p,q)$ と直線 $y-z+1=0$ の距離に等しい。円の中心 $(9,7)$ と直線の距離は $\dfrac{|9-7+1|}{\sqrt2}=\dfrac{3}{\sqrt2}$ で、半径1より大きいので、円と直線は共有点をもたない。よって、円周上の点と直線の距離は $\dfrac{3}{\sqrt2}-1$ 以上 $\dfrac{3}{\sqrt2}+1$ 以下で、両端の値は、中心を通り直線に垂直な直線と円の交点でとる。 $V=\dfrac13\cdot3\sqrt2\cdot\mathrm{PH}=\sqrt2\,\mathrm{PH}$ より、最大値 $\sqrt2\left(\dfrac{3}{\sqrt2}+1\right)=3+\sqrt2$、最小値 $\sqrt2\left(\dfrac{3}{\sqrt2}-1\right)=3-\sqrt2$。

0でない2つの整式 $f(x)$、 $g(x)$ が以下の恒等式を満たすとする。

$$f(x^2)=(x^2+2)g(x)+7$$

$$g(x^3)=x^4f(x)-3x^2g(x)-6x^2-2$$

以下の問いに答えよ。

(1) $f(x)$ の次数と $g(x)$ の次数はともに2以下であることを示せ。

(2) $f(x)$ と $g(x)$ を求めよ。

(1)　配点 20点

$f(x)$ の次数を $m$、 $g(x)$ の次数を $n$、最高次の係数をそれぞれ $s$、 $t$（ $s\neq0$、 $t\neq0$）とおく。

第1式の左辺 $f(x^2)$ の最高次の項は $sx^{2m}$ である。右辺 $(x^2+2)g(x)+7$ の最高次の項は $tx^{n+2}$ で、 $n+2\geqq2$ だから定数7に隠れることはない。恒等式なので両辺の最高次の項が一致し

$$2m=n+2,\qquad s=t\qquad\cdots①$$

次に第2式を見る。左辺 $g(x^3)$ の次数は、①を使うと $3n=3(2m-2)=6m-6$ である。

右辺では、 $x^4f(x)$ の最高次の項が $sx^{m+4}$ 、①より $-3x^2g(x)$ の最高次の項が $-3tx^{n+2}=-3sx^{2m}$ になる。この2つが打ち消し合うかどうかを調べる。

・$m\neq4$ のとき　 $m+4\neq2m$ なので次数が異なり、次数の大きい方の項はほかの項に消されない

・$m=4$ のとき　どちらも $x^8$ の項で、係数の和は $s-3s=-2s\neq0$ だから消えない

さらに $m+4\geqq5$ だから、 $-6x^2-2$ は最高次の項に影響しない。したがって、右辺の次数は $m+4$ と $2m$ のうち大きい方である。

左辺の次数 $6m-6$ が右辺の次数に等しいので、 $m$ の大きさで分けて考える。

・$m\leqq4$ のとき　右辺の次数は $m+4$ で、 $6m-6=m+4$ から $m=2$（ $m\leqq4$ をみたす）

・$m>4$ のとき　右辺の次数は $2m$ で、 $6m-6=2m$ から $m=\dfrac32$ となり、 $m>4$ に反する

よって $m=2$ で、①より $n=2m-2=2$。

以上より、 $f(x)$ も $g(x)$ も次数は2であり、どちらも2以下である。

別解（次数の上限だけ押さえる）　示したいのは「2以下」であって、ちょうど2であることまでは要らない。そこで、第2式の右辺の次数は $m+4$ と $2m$ の大きい方を超えない、と上から押さえるだけにする。これなら、最高次の項が消えるかどうかを調べなくてよい。左辺の次数は①から $6m-6$ なので、 $m\geqq4$ とすると $6m-6\leqq2m$ より $m\leqq\dfrac32$ となって矛盾する。よって $m<4$ で、このとき $6m-6\leqq m+4$ から $m\leqq2$ 、したがって $n=2m-2\leqq2$ である。

(2)　配点 30点

(1) より $g(x)$ は2次以下なので、 $g(x)=ax^2+bx+c$ とおく（ $a=0$ の場合も含めてよい）。第1式の右辺を展開すると

$$f(x^2)=(x^2+2)(ax^2+bx+c)+7=ax^4+bx^3+(2a+c)x^2+2bx+2c+7$$

左辺 $f(x^2)$ は $x^2$ だけの整式で、奇数乗の項をもたない。そこで $x^3$ と $x$ の係数を見て $b=0$。すると

$$f(x^2)=a(x^2)^2+(2a+c)x^2+2c+7$$

となる。 $x^2=X$ とおくと、 $X\geqq0$ のすべての $X$ について $f(X)=aX^2+(2a+c)X+2c+7$ が成り立つ。無数の $X$ で値が一致する整式は同じ整式なので

$$f(x)=ax^2+(2a+c)x+2c+7,\qquad g(x)=ax^2+c$$

第2式の左辺は $g(x^3)=ax^6+c$ 。右辺は、 $x^4f(x)$ と $-3x^2g(x)$ をそれぞれ展開して

$$x^4f(x)-3x^2g(x)-6x^2-2=ax^6+(2a+c)x^5+(2c+7-3a)x^4-(3c+6)x^2-2$$

左辺と右辺の係数を次数ごとに並べたものが、次の表である。

$x^5$、 $x^4$、 $x^2$ の係数と定数項が一致する条件は

$$2a+c=0,\qquad 2c+7-3a=0,\qquad 3c+6=0,\qquad c=-2$$

$c=-2$ を $2a+c=0$ に入れて $a=1$。このとき $2c+7-3a=-4+7-3=0$ も成り立つ。したがって

$$f(x)=x^2+(2-2)x+(-4+7)=x^2+3,\qquad g(x)=x^2-2$$

答　$f(x)=x^2+3$、 $g(x)=x^2-2$

（係数がすべて一致するように決めたので、この $f$、 $g$ は2つの恒等式をみたしている。あらためて代入して確かめる必要はない。）

補足（ $b=0$ と $c=-2$ を一気に出す見方）　第1式の $x$ を $-x$ にしても左辺は変わらない。よって $(x^2+2)g(-x)=(x^2+2)g(x)$ で、 $g(-x)=g(x)$ 、つまり $g$ は偶関数だから $b=0$ とすぐ分かる。また、第2式に $x=0$ を入れると $g(0)=-2$ 、すなわち $c=-2$ が一発で決まる。