【解説・採点基準付き】2018年九州大学文系数学の解答・解説

座標平面内の曲線 $y=x^3+ax^2+bx+c$ が点 $(c,0)$ において $x$ 軸に接しているとする。ただし、 $a,b$ は実数、 $c>0$ である。以下の問いに答えよ。

(1) $a,b$ をそれぞれ $c$ を用いて表せ。

(2) この曲線と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を $S$ とする。 $S$ を最小にする $c$ の値を求めよ。

(1)　配点 20点

曲線 $y=x^3+ax^2+bx+c$ は点 $(c,0)$ で $x$ 軸に接するので、 $x$ 軸の方程式 $y=0$ と連立した3次方程式 $x^3+ax^2+bx+c=0$ は $x=c$ を重解にもつ。3次の係数は $1$ なので、もう1つの解を $p$ とすると

$$x^3+ax^2+bx+c=(x-c)^2(x-p)\quad\cdots①$$

と書ける。

①の両辺の定数項を比べると、 $c=-c^2p$。 $c>0$ なので両辺を $c$ で割って $1=-cp$。よって

$$p=-\dfrac1c$$

①の右辺を展開すると

$$(x-c)^2\left(x+\dfrac1c\right)=(x^2-2cx+c^2)\left(x+\dfrac1c\right)=x^3+\left(\dfrac1c-2c\right)x^2+(c^2-2)x+c$$

定数項は $c$ で、左辺と一致している。 $x^2$ と $x$ の係数を比べて

答　$a=\dfrac1c-2c$、 $b=c^2-2$

別解（ $f(c)=0$ かつ $f'(c)=0$ ）　 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ とおく。曲線が点 $(c,0)$ で $x$ 軸に接するのは、点 $(c,0)$ を通り、そこでの接線の傾きが $0$ のときなので、 $f(c)=0$ かつ $f'(c)=0$。 $f'(x)=3x^2+2ax+b$ より

$$c^3+ac^2+bc+c=0,\qquad 3c^2+2ac+b=0$$

1つ目の式を $c\ (>0)$ で割ると $c^2+ac+b+1=0$。2つ目の式から引くと $2c^2+ac-1=0$ なので $a=\dfrac{1-2c^2}{c}=\dfrac1c-2c$。2つ目の式に代入して $b=-3c^2-2ac=-3c^2-2(1-2c^2)=c^2-2$ で、本解と同じになる。このときの曲線と $x$ 軸のもう1つの交点は、解が $c,\ c,\ p$ の3次方程式の解と係数の関係（3つの解の積 $c\cdot c\cdot p=-c$ ）から $p=-\dfrac1c$ と求まる。

(2)　配点 30点

(1) より、曲線の式は $y=(x-c)^2\left(x+\dfrac1c\right)$ である。曲線と $x$ 軸の共有点の $x$ 座標は $c$ と $-\dfrac1c$ で、 $c>0$ より $-\dfrac1c<0<c$。

$-\dfrac1c\leqq x\leqq c$ では $(x-c)^2\geqq0$、 $x+\dfrac1c\geqq0$ なので $y\geqq0$ である。よって、曲線と $x$ 軸で囲まれた部分は $-\dfrac1c\leqq x\leqq c$ の範囲にあり、曲線が上、 $x$ 軸が下になる。

$$S=\int_{-\frac1c}^{c}\left\{(x-c)^2\left(x+\dfrac1c\right)-0\right\}dx=\int_{-\frac1c}^{c}(x-c)^2\left(x+\dfrac1c\right)dx$$

$x+\dfrac1c=(x-c)+\left(c+\dfrac1c\right)$ と分けると

$$S=\int_{-\frac1c}^{c}\left\{(x-c)^3+\left(c+\dfrac1c\right)(x-c)^2\right\}dx=\left[\dfrac{(x-c)^4}{4}+\left(c+\dfrac1c\right)\dfrac{(x-c)^3}{3}\right]_{-\frac1c}^{c}$$

$x=c$ のとき括弧の中は $0$。 $x=-\dfrac1c$ のとき $x-c=-\left(c+\dfrac1c\right)$ なので、括弧の中は

$$\dfrac14\left(c+\dfrac1c\right)^4-\dfrac13\left(c+\dfrac1c\right)^4=-\dfrac1{12}\left(c+\dfrac1c\right)^4$$

よって

$$S=0-\left\{-\dfrac1{12}\left(c+\dfrac1c\right)^4\right\}=\dfrac1{12}\left(c+\dfrac1c\right)^4$$

$c>0$、 $\dfrac1c>0$ なので、相加平均・相乗平均の関係より

$$c+\dfrac1c\geqq2\sqrt{c\cdot\dfrac1c}=2$$

等号は $c=\dfrac1c$、すなわち $c^2=1$ と $c>0$ より $c=1$ のときに成り立つ。

$c+\dfrac1c>0$ なので、 $S=\dfrac1{12}\left(c+\dfrac1c\right)^4$ は $c+\dfrac1c$ が小さいほど小さい。よって $S$ は $c+\dfrac1c=2$ のとき、すなわち $c=1$ のときに最小となり、最小値は $S=\dfrac1{12}\cdot2^4=\dfrac43$ である。

答　$c=1$

検算　 $c=1$ のとき、(1) より $a=-1$、 $b=-1$ で、曲線は $y=x^3-x^2-x+1=(x-1)^2(x+1)$。 $x^3$ と $x$ は奇関数なので $\displaystyle\int_{-1}^{1}$ で消え

$$\int_{-1}^{1}(x^3-x^2-x+1)\,dx=2\int_0^1(-x^2+1)\,dx=2\left(-\dfrac13+1\right)=\dfrac43$$

で、 $\dfrac1{12}\cdot2^4=\dfrac43$ と一致する。

別解（ $S$ を $c$ で微分する）　 $S(c)=\dfrac1{12}\left(c+\dfrac1c\right)^4$ を $c$ で微分すると

$$S'(c)=\dfrac13\left(c+\dfrac1c\right)^3\left(1-\dfrac1{c^2}\right)=\dfrac13\left(c+\dfrac1c\right)^3\cdot\dfrac{(c+1)(c-1)}{c^2}$$

$c>0$ では $S'(c)$ の符号は $c-1$ の符号と同じなので、 $S(c)$ は $0<c\leqq1$ で減少し、 $c\geqq1$ で増加する。よって $c=1$ で最小となり、本解と同じになる。

以下の問いに答えよ。

(1) $n$ を自然数とするとき、 $2^n$ を7で割った余りを求めよ。

(2) 自然数 $m$ は、2進法で101が6回連続する表示

$$101101101101101101_{(2)}$$

をもつとする。 $m$ を7で割った余りを求めよ。

(1)　配点 20点

以下、法を7とする合同式を用いる。

$$2^1=2,\qquad 2^2=4,\qquad 2^3=8\equiv1$$

よって、0以上の整数 $k$ に対して

$$2^{3k}=\left(2^3\right)^k\equiv1^k=1$$

$n$ を3で割った余りで場合分けする。

(i) $n=3k+1$ （ $k$ は0以上の整数）のとき　$2^n=2\cdot2^{3k}\equiv2\cdot1=2$

(ii) $n=3k+2$ （ $k$ は0以上の整数）のとき　$2^n=4\cdot2^{3k}\equiv4\cdot1=4$

(iii) $n=3k$ （ $k$ は自然数）のとき　$2^n=2^{3k}\equiv1$

答　$n$ を3で割った余りが1のとき2、2のとき4、0のとき1

別解（二項定理）　 $2^{3k}=8^k=(7+1)^k$ を二項定理で展開すると

$$(7+1)^k={}_k\mathrm{C}_0+{}_k\mathrm{C}_1\cdot7+{}_k\mathrm{C}_2\cdot7^2+\cdots+{}_k\mathrm{C}_k\cdot7^k$$

で、2番目以降の項はすべて7の倍数。よって $2^{3k}$ は7で割ると1余る。あとは本解と同じく、 $2^{3k+1}=2\cdot2^{3k}$、 $2^{3k+2}=4\cdot2^{3k}$ から余りを求める。

（ $2^{n+3}-2^n=7\cdot2^n$ は7の倍数なので、 $2^{n+3}$ と $2^n$ の余りは等しい、と示してもよい）

(2)　配点 30点

2進法の位取りより、一番右の桁から $2^0,\ 2^1,\ 2^2,\ \cdots,\ 2^{17}$ の位なので

$$m=2^{17}+2^{15}+2^{14}+2^{12}+2^{11}+2^9+2^8+2^6+2^5+2^3+2^2+2^0$$

右から3桁ずつ区切ると、どのかたまりも $101_{(2)}$ なので

$$m=\sum_{j=0}^{5}\left(2^{3j+2}+2^{3j}\right)$$

と、6つのかたまりの和で表せる（ $2^{3j+2}+2^{3j}=5\cdot8^j$ ）。

(1) より（ $j=0$ のときは $2^2+2^0=5$ を直接計算して）

$$2^{3j+2}+2^{3j}\equiv4+1=5\pmod7$$

よって

$$m\equiv5\times6=30=7\cdot4+2\equiv2\pmod7$$

答　2

別解（等比数列の和）　 $m=5\left(1+8+8^2+\cdots+8^5\right)=5\cdot\dfrac{8^6-1}{7}=5\cdot37449=187245$ 。 $187245=7\cdot26749+2$ なので、余りは2。計算は重いが、本解の検算に使える。

（参考）2進法を3桁ずつ区切るのは、8進法に直すことと同じで、 $m=555555_{(8)}$ 。 $8\equiv1\pmod7$ なので、7で割った余りは8進法の各位の数の和 $5\times6=30$ の余りに等しい。10進法で、9で割った余りが各位の数の和で決まるのと同じ仕組み。

平面上に三角形 $ABC$ と点 $O$ が与えられている。この平面上の動点 $P$ に対し、

$$L=PA^2+PB^2+PC^2$$

とおく。以下の問いに答えよ。

(1) $\vec a=\overrightarrow{OA}$、 $\vec b=\overrightarrow{OB}$、 $\vec c=\overrightarrow{OC}$ および $\vec x=\overrightarrow{OP}$ とおくとき、次の等式を示せ。

$$L=3\lvert\vec x\rvert^2-2(\vec a+\vec b+\vec c)\cdot\vec x+\lvert\vec a\rvert^2+\lvert\vec b\rvert^2+\lvert\vec c\rvert^2$$

(2) $L$ を最小にする点 $P$ は三角形 $ABC$ の重心であることを示せ。また、 $L$ の最小値は

$$\dfrac13(AB^2+BC^2+CA^2)$$

であることを示せ。

(1)　配点 20点

始点をOにそろえる。終点引く始点より

$$\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\vec a-\vec x,\qquad\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\vec b-\vec x,\qquad\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\vec c-\vec x$$

よって

$$\mathrm{PA}^2=|\vec a-\vec x|^2=|\vec x|^2-2\vec a\cdot\vec x+|\vec a|^2$$

同様に

$$\mathrm{PB}^2=|\vec x|^2-2\vec b\cdot\vec x+|\vec b|^2,\qquad\mathrm{PC}^2=|\vec x|^2-2\vec c\cdot\vec x+|\vec c|^2$$

3つを足すと

$$L=3|\vec x|^2-2(\vec a+\vec b+\vec c)\cdot\vec x+|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2$$

となり、等式が示された。（証明終）

(2)　配点 30点

三角形ABCの重心をGとすると、 $\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\dfrac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}$ である。これを $\vec g$ とおくと $\vec a+\vec b+\vec c=3\vec g$ なので、(1) より

$$L=3|\vec x|^2-6\vec g\cdot\vec x+|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2$$

$\vec x$ を変数と見立てて平方完成する。 $3|\vec x-\vec g|^2=3|\vec x|^2-6\vec g\cdot\vec x+3|\vec g|^2$ なので、余分な $3|\vec g|^2$ を引いて調整すると

$$L=3|\vec x-\vec g|^2+|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2-3|\vec g|^2$$

ここで $\vec x-\vec g=\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\overrightarrow{\mathrm{GP}}$ なので、 $|\vec x-\vec g|=\mathrm{PG}$ である。また、 $m=|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2-3|\vec g|^2$ とおくと、 $m$ は点Pによらない定数である。よって

$$L=3\mathrm{PG}^2+m$$

$\mathrm{PG}^2\geqq0$ で、等号が成り立つのは $\mathrm{P}=\mathrm{G}$ のときに限る。したがって、 $L$ を最小にする点Pは三角形ABCの重心Gであり、 $L$ の最小値は $m$ である。

重心Gを中心とする同じ円の上では $L$ の値は同じで、PがGに近づくほど $L$ は小さくなる。

次に $m$ を計算する。 $3|\vec g|^2=\dfrac13|\vec a+\vec b+\vec c|^2$ で、

$$|\vec a+\vec b+\vec c|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2+2(\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec c+\vec c\cdot\vec a)$$

なので

$$m=\frac23\left(|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2\right)-\frac23\left(\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec c+\vec c\cdot\vec a\right)$$

ゴールの $\mathrm{AB}^2=|\vec b-\vec a|^2=|\vec a|^2-2\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2$ の形を作るように組みかえると

$$m=\frac13\left\{\left(|\vec a|^2-2\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2\right)+\left(|\vec b|^2-2\vec b\cdot\vec c+|\vec c|^2\right)+\left(|\vec c|^2-2\vec c\cdot\vec a+|\vec a|^2\right)\right\}$$

$$=\frac13\left(|\vec b-\vec a|^2+|\vec c-\vec b|^2+|\vec a-\vec c|^2\right)=\frac13\left(\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2+\mathrm{CA}^2\right)$$

よって、 $L$ の最小値は $\dfrac13(\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2+\mathrm{CA}^2)$ である。（証明終）

（確かめ： $\mathrm{A}(0,\ 0)$、 $\mathrm{B}(6,\ 0)$、 $\mathrm{C}(1,\ 4)$ のとき、重心は $\mathrm{G}\left(\dfrac73,\ \dfrac43\right)$ で、 $\mathrm{GA}^2+\mathrm{GB}^2+\mathrm{GC}^2=\dfrac{94}{3}$。一方 $\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2+\mathrm{CA}^2=36+41+17=94$ で、その $\dfrac13$ と一致する）

別解（始点を重心にとり直す）　(1) の等式は、点Oがどこにあっても成り立つ。そこで (1) の等式を、Oの代わりに重心Gを始点として使う。 $\vec p=\overrightarrow{\mathrm{GA}}$、 $\vec q=\overrightarrow{\mathrm{GB}}$、 $\vec r=\overrightarrow{\mathrm{GC}}$ とおくと、Gは重心なので $\vec p+\vec q+\vec r=\vec0$。よって (1) より

$$L=3\mathrm{GP}^2+|\vec p|^2+|\vec q|^2+|\vec r|^2$$

となり、第2項以降はPによらないので、Lは $\mathrm{P}=\mathrm{G}$ のときに限り最小で、最小値は $|\vec p|^2+|\vec q|^2+|\vec r|^2$。さらに $|\vec p+\vec q+\vec r|^2=0$ を展開すると $\vec p\cdot\vec q+\vec q\cdot\vec r+\vec r\cdot\vec p=-\dfrac12\left(|\vec p|^2+|\vec q|^2+|\vec r|^2\right)$ なので

$$\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2+\mathrm{CA}^2=2\left(|\vec p|^2+|\vec q|^2+|\vec r|^2\right)-2\left(\vec p\cdot\vec q+\vec q\cdot\vec r+\vec r\cdot\vec p\right)=3\left(|\vec p|^2+|\vec q|^2+|\vec r|^2\right)$$

よって最小値は $\dfrac13(\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2+\mathrm{CA}^2)$。和が $\vec0$ になる点に始点をとると、1次の項が消えて計算が軽くなる。

3つの部品a、b、cからなる製品が多数入った箱がある。製品を1つ取り出したとき、部品a、b、cが不良品である確率について次のことがわかっている。

・部品aが不良品である確率は $p$ である。

・部品aが不良品でないとき、部品bが不良品である確率は $q$ である。

・部品aが不良品であるとき、部品bも不良品である確率は $3q$ である。

・部品bが不良品でないとき、部品cが不良品である確率は $r$ である。

・部品bが不良品であるとき、部品cも不良品である確率は $5r$ である。

ただし、 $0<p<1$、 $0<q<\dfrac13$、 $0<r<\dfrac15$ である。以下の問いに答えよ。

(1) 製品を1つ取り出したとき、部品a、bの少なくとも一方が不良品である確率を $p,q$ を用いて表せ。

(2) 製品を1つ取り出したとき、部品cが不良品である確率を $p,q,r$ を用いて表せ。

(3) 製品を1つ取り出したところ部品cが不良品であった。このとき、部品bも不良品である確率を $p,q$ を用いて表せ。

3つの不良品の事象を、次のように表す。

・$A$ ：aが不良品である

・$B$ ：bが不良品である

・$C$ ：cが不良品である

問題の条件は

$$P(A)=p,\quad P_{\overline{A}}(B)=q,\quad P_A(B)=3q,\quad P_{\overline{B}}(C)=r,\quad P_B(C)=5r$$

である。aの良否でbが不良品である確率が決まり、bの良否でcが不良品である確率が決まる。

(1)　配点 12点

aの良否で分け、続けてbの良否で分けると、次の樹形図になる。

「aとbの少なくとも一方が不良品である」の余事象は「aもbも良品である」で、その確率は

$$P(\overline{A}\cap\overline{B})=P(\overline{A})P_{\overline{A}}(\overline{B})=(1-p)(1-q)$$

よって、求める確率は

$$1-(1-p)(1-q)=p+q-pq$$

答　$p+q-pq$ （ $=p+(1-p)q$ ）

（確かめ：直接数えると「aが不良品」の $p$ と「aが良品でbが不良品」の $(1-p)q$ の和で $p+(1-p)q=p+q-pq$ となり一致）

(2)　配点 20点

まず、bが不良品である確率を求める。aが不良品のときとaが良品のときに分けると、(1) の樹形図から

$$P(B)=P(A)P_A(B)+P(\overline{A})P_{\overline{A}}(B)=p\cdot3q+(1-p)q=q(1+2p)$$

cが不良品であるのは、「bが不良品で、cも不良品」と「bが良品で、cが不良品」の2つの場合で、これらは同時には起こらない。

$$P(B\cap C)=P(B)P_B(C)=5r\cdot q(1+2p)$$

$$P(\overline{B}\cap C)=P(\overline{B})P_{\overline{B}}(C)=r\{1-q(1+2p)\}$$

よって

$$P(C)=5rq(1+2p)+r\{1-q(1+2p)\}=r\{1+4q(1+2p)\}=r(1+4q+8pq)$$

答　$r(1+4q+8pq)$

（cの確率は、bの良否ごとの確率 $5r$、 $r$ だけで決まる。aの良否は、 $P(B)$ を通してだけ関係する）

(3)　配点 18点

求める確率は、cが不良品であるという条件のもとで、bも不良品である条件付き確率である。分母と分子を日本語で書くと

・分母：cが不良品である確率

・分子：bもcも不良品である確率

記号では $P_C(B)=\dfrac{P(B\cap C)}{P(C)}$ である。

(2) で求めた、cが不良品になる場合の確率を表にまとめると、次のようになる。

分母は表の「合計」、分子は「bも不良品」の確率である。

$$P_C(B)=\dfrac{5rq(1+2p)}{r(1+4q+8pq)}=\dfrac{5q(1+2p)}{1+4q+8pq}$$

答　$\dfrac{5q(1+2p)}{1+4q+8pq}$ （ $=\dfrac{5q+10pq}{1+4q+8pq}$ ）

（確かめ：答えに $r$ が残らないので、問題文の「 $p,q$ を用いて表せ」と合う。また、分母から分子を引くと $1-q(1+2p)>0$ （ $q<\dfrac13$、 $1+2p<3$ より）なので、答えは1より小さい）

検算　 $p=\dfrac3{10}$、 $q=\dfrac15$、 $r=\dfrac1{10}$ として、a・b・cの良否の8通りの確率を樹形図どおりにかけると、次のようになる（○は良品、×は不良品）。

8つの和は1。aとbがともに○の2つの和は $\dfrac{14}{25}$ で、(1) は $1-\dfrac{14}{25}=\dfrac{11}{25}$。cが×の4つの和は $\dfrac{57}{250}$、そのうちbも×の2つの和は $\dfrac{4}{25}$ で、(3) は $\dfrac{4}{25}\div\dfrac{57}{250}=\dfrac{40}{57}$。答えの式に代入した値 $p+q-pq=\dfrac{11}{25}$、 $r(1+4q+8pq)=\dfrac{57}{250}$、 $\dfrac{5q(1+2p)}{1+4q+8pq}=\dfrac{40}{57}$ と一致する。