【解説・採点基準付き】2013年九州大学文系数学の解答・解説

一辺の長さが1の正方形OABCを底面とし、 $\mathrm{OP}=\mathrm{AP}=\mathrm{BP}=\mathrm{CP}$ をみたす点Pを頂点とする四角錐POABCがある。辺APを $1:3$ に内分する点をD、辺CPの中点をE、辺BCを $t:(1-t)$ に内分する点をQとする。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OE}}$ を、 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$、 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$、 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ を用いて表せ。

(2) ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ を、 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$、 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$、 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ と $t$ を用いて表せ。

(3) 内積 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ の値を求めよ。

(4) 直線PQが平面ODEに垂直であるとき、 $t$ の値および線分OPの長さを求めよ。

(1)　配点 10点

$\vec a=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$、 $\vec c=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$、 $\vec p=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ とおく。

Dは辺APを $1:3$ に内分する点なので

$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{3\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}}}{1+3}=\frac34\vec a+\frac14\vec p$$

Eは辺CPの中点なので

$$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}}}{2}=\frac12\vec c+\frac12\vec p$$

答　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\dfrac34\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\dfrac14\overrightarrow{\mathrm{OP}}$、 $\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\dfrac12\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\dfrac12\overrightarrow{\mathrm{OP}}$

(2)　配点 10点

Qは辺BCを $t:(1-t)$ に内分する点で、 $\mathrm{BC}=1$ なので $\mathrm{CQ}=1-t$ である。四角形OABCは正方形なので $\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec a$ で、 $\overrightarrow{\mathrm{CQ}}$ はこれと同じ向きだから $\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=(1-t)\vec a$ （下の図）。

Cまで進んでからQへ進むと

$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=(1-t)\vec a+\vec c$$

始点をOにそろえて

$$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-t)\vec a+\vec c-\vec p$$

答　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}$

（内分点の公式で $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ とし、 $\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec a+\vec c$ を代入しても同じ式になる）

(3)　配点 10点

$\mathrm{OP}=\mathrm{AP}$ より $|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2$ である。 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\vec p-\vec a$ なので

$$|\vec p-\vec a|^2=|\vec p|^2\iff|\vec p|^2-2\vec a\cdot\vec p+|\vec a|^2=|\vec p|^2\iff2\vec a\cdot\vec p=|\vec a|^2=1$$

答　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac12$

別解（二等辺三角形と正射影）　三角形OAPは $\mathrm{OP}=\mathrm{AP}$ の二等辺三角形なので、Pから辺OAに下ろした垂線の足Mは辺OAの中点で、 $\angle\mathrm{POA}$ は鋭角である（下の図）。

内積は、一方のベクトルの大きさと、もう一方のベクトルをその向きに正射影した長さの積で表せる。 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ を $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ の向きに正射影した長さは $\mathrm{OM}=\dfrac12$ なので

$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\mathrm{OA}\times\mathrm{OM}=1\times\frac12=\frac12$$

(4)　配点 20点

必要な内積を先に全部求めておく。底面OABCは1辺の長さ1の正方形だから、 $|\vec a|=|\vec c|=1$、 $\vec a\cdot\vec c=0$。(3) より $\vec a\cdot\vec p=\dfrac12$ で、 $\mathrm{OP}=\mathrm{CP}$ からも同様に $|\vec p-\vec c|^2=|\vec p|^2$ より $\vec c\cdot\vec p=\dfrac12$。また、 $|\vec p|^2=k$ とおく（ $\mathrm{OP}=\sqrt k$ ）。

$$|\vec a|^2=|\vec c|^2=1,\qquad\vec a\cdot\vec c=0,\qquad\vec a\cdot\vec p=\vec c\cdot\vec p=\frac12,\qquad|\vec p|^2=k$$

$\vec a$、 $\vec c$、 $\vec p$ は同じ平面上にない（Pは底面の外にある）。 $\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ は $\vec c$ を含まず、 $\overrightarrow{\mathrm{OE}}$ は $\vec c$ を含むので、この2本は平行でなく、平面ODEを定める。したがって、直線PQが平面ODEに垂直であることは、 $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OD}}=0$ かつ $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OE}}=0$ と同じである。計算では (1) の係数 $\dfrac14$、 $\dfrac12$ を省き、 $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot(3\vec a+\vec p)=0$、 $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot(\vec c+\vec p)=0$ を使う。

(2) の $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(1-t)\vec a+\vec c-\vec p$ より

$$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\vec a=(1-t)-\frac12=\frac12-t,\qquad\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\vec c=1-\frac12=\frac12,\qquad\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\vec p=\frac{1-t}{2}+\frac12-k=1-\frac t2-k$$

なので

$$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot(3\vec a+\vec p)=3\left(\frac12-t\right)+1-\frac t2-k=\frac52-\frac72t-k=0$$

$$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot(\vec c+\vec p)=\frac12+1-\frac t2-k=\frac32-\frac t2-k=0$$

2つ目の式（ $\overrightarrow{\mathrm{OE}}$ との内積）より $k=\dfrac32-\dfrac t2$。1つ目の式（ $\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ との内積）に代入すると

$$\frac52-\frac72t-\frac32+\frac t2=0\iff1-3t=0\iff t=\frac13$$

よって $k=\dfrac32-\dfrac16=\dfrac43$。 $t=\dfrac13$ は $0<t<1$ をみたすので、Qは確かに辺BC上にある。

（Oから底面の正方形の中心までの距離の2乗は $\dfrac12$ なので、Pの高さの2乗は $k-\dfrac12=\dfrac43-\dfrac12=\dfrac56>0$ 。正の値になるから、条件をみたす四角錐は実際にある。）

$$\mathrm{OP}=\sqrt k=\sqrt{\frac43}=\frac{2\sqrt3}{3}$$

答　$t=\dfrac13$、 $\mathrm{OP}=\dfrac{2\sqrt3}{3}$

$t=\dfrac13$ のとき、Qは辺BCを $1:2$ に内分する点で、直線PQは平面ODEに垂直になる（上の図）。

（確かめ： $t=\dfrac13$、 $k=\dfrac43$ のとき $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\vec a=\dfrac16$、 $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\vec c=\dfrac12$、 $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\vec p=1-\dfrac16-\dfrac43=-\dfrac12$ で、 $3\cdot\dfrac16-\dfrac12=0$、 $\dfrac12-\dfrac12=0$ となる）

別解（座標を置く）　Oを原点とし、 $\mathrm{A}(1,0,0)$、 $\mathrm{B}(1,1,0)$、 $\mathrm{C}(0,1,0)$、 $\mathrm{P}(x,y,z)$ （ $z>0$ ）とおく。 $\mathrm{OP}^2=\mathrm{AP}^2$ より $x^2=(x-1)^2$ なので $x=\dfrac12$、同様に $\mathrm{OP}^2=\mathrm{CP}^2$ より $y=\dfrac12$。よって $\mathrm{P}\left(\dfrac12,\ \dfrac12,\ h\right)$ （ $h>0$ ）とおけて、Pは正方形の中心の真上にある（このとき $\mathrm{BP}=\mathrm{OP}$ も成り立つ）。(3) は $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}}=1\cdot\dfrac12=\dfrac12$ とすぐ求まる。

(4) は $\mathrm{Q}(1-t,\ 1,\ 0)$ で、係数をくくった $8\overrightarrow{\mathrm{OD}}=(7,\ 1,\ 2h)$、 $4\overrightarrow{\mathrm{OE}}=(1,\ 3,\ 2h)$ と $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\left(\dfrac12-t,\ \dfrac12,\ -h\right)$ で内積を計算すると

$$7\left(\frac12-t\right)+\frac12-2h^2=0,\qquad\left(\frac12-t\right)+\frac32-2h^2=0$$

すなわち $4-7t-2h^2=0$、 $2-t-2h^2=0$。辺々引いて $2-6t=0$ より $t=\dfrac13$、戻して $2h^2=\dfrac53$ より $h^2=\dfrac56$。 $\mathrm{OP}^2=\dfrac14+\dfrac14+\dfrac56=\dfrac43$ より $\mathrm{OP}=\dfrac{2\sqrt3}{3}$ となり、同じ結果になる。

別解（平面ODEに垂直なベクトルを先に求める）　座標を置いたうえで、平面ODEに平行な $(7,\ 1,\ 2h)$ と $(1,\ 3,\ 2h)$ の両方に垂直なベクトル $\vec n=(x,y,z)$ を考える。条件は $7x+y+2hz=0$、 $x+3y+2hz=0$ で、2式の差から $6x-2y=0$、すなわち $y=3x$。これを戻すと $z=-\dfrac{5x}{h}$ となるので、 $x=h$ として $\vec n=(h,\ 3h,\ -5)$ とできる。 $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\left(\dfrac12-t,\ \dfrac12,\ -h\right)$ は $\vec n$ の定数倍 $m\vec n$ だから、 $z$ 成分より $-h=-5m$、つまり $m=\dfrac h5$ 。 $y$ 成分 $\dfrac12=3hm$ に入れると $\dfrac{3h^2}{5}=\dfrac12$ で $h^2=\dfrac56$ 。 $x$ 成分 $\dfrac12-t=hm=\dfrac{h^2}{5}=\dfrac16$ から $t=\dfrac13$ が得られ、同じ結果になる。

座標平面上で、次の連立不等式の表す領域を $D$ とする。

$$x+2y\leqq5,\quad 3x+y\leqq8,\quad -2x-y\leqq4,\quad -x-4y\leqq7$$

点 $\mathrm{P}(x,y)$ が領域 $D$ 内を動くとき、 $x+y$ の値が最大となる点をQとし、最小となる点をRとする。以下の問いに答えよ。

(1) 点Qおよび点Rの座標を求めよ。

(2) $a>0$ かつ $b>0$ とする。点 $\mathrm{P}(x,y)$ が領域 $D$ 内を動くとき、 $ax+by$ が点Qでのみ最大値をとり、点Rでのみ最小値をとるとする。このとき、 $\dfrac{a}{b}$ の値の範囲を求めよ。

(1)　配点 20点

4つの不等式を $y$ について整理すると

$$y\leqq-\dfrac12x+\dfrac52,\quad y\leqq-3x+8,\quad y\geqq-2x-4,\quad y\geqq-\dfrac14x-\dfrac74$$

境界の直線を

$$①\ x+2y=5,\quad ②\ 3x+y=8,\quad ③\ 2x+y=-4,\quad ④\ x+4y=-7$$

とする。 $D$ は①、②の下側（境界を含む）と③、④の上側（境界を含む）の共通部分で、下の図の四角形の周と内部である。

頂点は隣り合う境界線の交点である。

・①と②：連立して $x=\dfrac{11}{5}$、 $y=\dfrac75$

・②と④：連立して $x=\dfrac{39}{11}$、 $y=-\dfrac{29}{11}$

・③と④：連立して $x=-\dfrac97$、 $y=-\dfrac{10}{7}$

・①と③：連立して $x=-\dfrac{13}{3}$、 $y=\dfrac{14}{3}$

これらはどれも残りの2つの不等式をみたす（なお①と④の交点 $(17,\ -6)$ は②を、②と③の交点 $(12,\ -28)$ は④をみたさないので、 $D$ の頂点ではない）。 $\mathrm{S}\left(-\dfrac{13}{3},\ \dfrac{14}{3}\right)$、 $\mathrm{T}\left(\dfrac{39}{11},\ -\dfrac{29}{11}\right)$ とおく。

$x+y=k$ とおくと、 $y=-x+k$ より、これは傾き $-1$ 、 $y$ 切片 $k$ の直線である。 $x+y$ が値 $k$ をとるのは、この直線と $D$ が共有点をもつときである。 $D$ は線分で囲まれた四角形なので、直線を平行に動かしたとき、 $k$ が最大・最小になるのは直線が $D$ の頂点を通るときである。

4つの頂点で $x+y$ の値を計算すると

$$\dfrac{11}{5}+\dfrac75=\dfrac{18}{5},\quad \dfrac{39}{11}-\dfrac{29}{11}=\dfrac{10}{11},\quad -\dfrac97-\dfrac{10}{7}=-\dfrac{19}{7},\quad -\dfrac{13}{3}+\dfrac{14}{3}=\dfrac13$$

よって最大値は $\dfrac{18}{5}$ （①と②の交点）、最小値は $-\dfrac{19}{7}$ （③と④の交点）である。4つの値はすべて異なり、傾き $-1$ はどの辺の傾き $-\dfrac12$、 $-3$、 $-2$、 $-\dfrac14$ とも違うので、最大・最小をとる点はそれぞれ1つだけである。

答　$\mathrm{Q}\left(\dfrac{11}{5},\ \dfrac75\right)$、 $\mathrm{R}\left(-\dfrac97,\ -\dfrac{10}{7}\right)$

検算（不等式で確かめる）　 $x+y=\dfrac25(x+2y)+\dfrac15(3x+y)\leqq\dfrac25\cdot5+\dfrac15\cdot8=\dfrac{18}{5}$ で、等号は①、②がともに等号のとき（点 Q）だけ。同じく $x+y=\dfrac37(2x+y)+\dfrac17(x+4y)\geqq\dfrac37\cdot(-4)+\dfrac17\cdot(-7)=-\dfrac{19}{7}$ で、等号は点 R だけ。本解と一致する。

(2)　配点 30点

$b>0$ なので、 $ax+by=k$ は

$$y=-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{k}{b}$$

と変形でき、傾き $-\dfrac{a}{b}$ 、 $y$ 切片 $\dfrac{k}{b}$ の直線である。 $b>0$ より、 $k$ が大きいほど $y$ 切片が大きく、直線は上にある。また $a>0$ なので傾き $-\dfrac{a}{b}$ は負である。

最大について　 $k$ が最大になるのは、直線を上へ平行移動して $D$ と共有点をもつ最後の位置である。Qで交わる2辺は、辺QS（①上、傾き $-\dfrac12$ ）と辺QT（②上、傾き $-3$ ）で、 $D$ はQから見てこの2辺の間に広がっている。Qを通る傾き $-\dfrac{a}{b}$ の直線について、 $D$ のQ以外の点がすべてこの直線より下側にあるのは、傾きが2辺の傾きの間にあるとき、すなわち

$$-3<-\dfrac{a}{b}<-\dfrac12\iff\dfrac12<\dfrac{a}{b}<3$$

のときである。このときに限り、 $ax+by$ はQでのみ最大値をとる。

傾きが $-\dfrac12$ に等しいとき（ $\dfrac{a}{b}=\dfrac12$ ）は、直線が①と重なり、辺QS上のすべての点で最大値をとるので「Qでのみ」に反する。傾きが $-3$ に等しいときも、辺QT上のすべての点で最大値をとる。傾きが $-\dfrac12$ より大きい（ $\dfrac{a}{b}<\dfrac12$ ）ときはSでの値の方が大きく、傾きが $-3$ より小さい（ $\dfrac{a}{b}>3$ ）ときはTでの値の方が大きい。よって等号は含まない。

最小について　 $k$ が最小になるのは、直線を下へ平行移動して $D$ と共有点をもつ最後の位置である。Rで交わる2辺は、辺RS（③上、傾き $-2$ ）と辺RT（④上、傾き $-\dfrac14$ ）なので、同じように考えて、Rでのみ最小値をとる条件は

$$-2<-\dfrac{a}{b}<-\dfrac14\iff\dfrac14<\dfrac{a}{b}<2$$

（ $\dfrac{a}{b}=2$ では辺RS上の、 $\dfrac{a}{b}=\dfrac14$ では辺RT上のすべての点で最小値をとるので、等号は含まない。）

求める範囲は2つの範囲の共通部分なので

$$\dfrac12<\dfrac{a}{b}<2$$

(1) の $x+y$ は $a=b=1$ （ $\dfrac{a}{b}=1$ ）の場合で、この範囲に入っており、(1) で Q で最大・R で最小となったことと合う。

答　$\dfrac12<\dfrac{a}{b}<2$

別解（頂点の値を全部比べる）　 $f(x,y)=ax+by$ とおく。 $D$ は四角形なので、 $f$ の最大・最小は頂点でとり、「Qでのみ最大」は「Qでの値が、S、T、Rでの値のどれよりも大きい」と同じである（Q以外の頂点で同じ値をとると、その頂点との間の辺全体で最大になる）。

$$f(\mathrm{Q})-f(\mathrm{S})=\dfrac{49}{15}(2a-b),\quad f(\mathrm{Q})-f(\mathrm{T})=\dfrac{74}{55}(3b-a),\quad f(\mathrm{Q})-f(\mathrm{R})=\dfrac{122a+99b}{35}$$

$a>0$、 $b>0$ より最後は常に正なので、Qでのみ最大 $\iff 2a-b>0$ かつ $3b-a>0\iff\dfrac12<\dfrac{a}{b}<3$ 。同じく

$$f(\mathrm{S})-f(\mathrm{R})=\dfrac{64}{21}(2b-a),\quad f(\mathrm{T})-f(\mathrm{R})=\dfrac{93}{77}(4a-b)$$

（ $f(\mathrm{Q})-f(\mathrm{R})>0$ は上で確かめた）より、Rでのみ最小 $\iff\dfrac14<\dfrac{a}{b}<2$ 。共通部分は $\dfrac12<\dfrac{a}{b}<2$ で、本解と一致する。傾きの比較が不安なときは、この計算で確かめられる。

横一列に並んだ6枚の硬貨に対して、以下の操作Lと操作Rを考える。

L：さいころを投げて、出た目と同じ枚数だけ左端から順に硬貨の表と裏を反転する。

R：さいころを投げて、出た目と同じ枚数だけ右端から順に硬貨の表と裏を反転する。

たとえば、表表裏表裏表と並んだ状態で操作Lを行うときに、3の目が出た場合は、裏裏表表裏表となる。

以下、「最初の状態」とは硬貨が6枚とも表であることとする。

(1) 最初の状態から操作Lを2回続けて行うとき、表が1枚となる確率を求めよ。

(2) 最初の状態からL、Rの順に操作を行うとき、表の枚数の期待値を求めよ。

(3) 最初の状態からL、R、Lの順に操作を行うとき、すべての硬貨が表となる確率を求めよ。

(1)　配点 10点

2回のLで出た目を $a,b$ とおく。目の出方は $6^2=36$ 通りで、 $(1,2)$ と $(2,1)$ は区別して数える。

左端から $\min(a,b)$ 枚の硬貨は2回反転されるので、もとの表に戻る。その次の $|a-b|$ 枚は1回しか反転されないので裏になる。それより右の硬貨は一度も反転されず、表のままである（下の図は $a=2$、 $b=5$ の例）。

したがって、裏の枚数は $|a-b|$ であり、表が1枚になる条件は $|a-b|=5$ である。

目の組で $|a-b|=5$ をみたすのは $(a,b)=(1,6),(6,1)$ の2通りだけなので、確率は $\dfrac{2}{36}$ になる。

答　$\dfrac{1}{18}$

(2)　配点 20点

Lの目を $a$、Rの目を $b$ とおく。Lは左端から $a$ 枚を、Rは右端から $b$ 枚を反転する。

・$a+b\leqq6$ のとき　2つの区間に共通部分はない。反転された $a+b$ 枚は1回ずつ裏返って裏になり、残る $6-(a+b)$ 枚だけが表のままである

・$a+b>6$ のとき　2つの区間は $a+b-6$ 枚ぶん重なる。重なった硬貨は2回裏返って表に戻り、重ならない硬貨は1回だけなので裏になる。よって表は $a+b-6$ 枚である

場合分けをしたが、どちらの場合も表の枚数は $|a+b-6|$ と書ける。

36通りの $(a,b)$ について $|a+b-6|$ を計算し、次の表にまとめる。

36通りは同様に確からしい。この表から、表の枚数ごとの確率を全部求めると次のようになる。

（確率を全部足すと $\dfrac{36}{36}=1$ になり、数え漏れはない）

期待値は、（値）×（確率）を全部足して求める。

$$0\cdot\frac{5}{36}+1\cdot\frac{10}{36}+2\cdot\frac{8}{36}+3\cdot\frac{6}{36}+4\cdot\frac{4}{36}+5\cdot\frac{2}{36}+6\cdot\frac{1}{36}=\frac{76}{36}$$

答　$\dfrac{19}{9}$

別解（表に書いた数の合計を使う）　6×6の36個のマスはどれも確率 $\dfrac{1}{36}$ で起こる。だから期待値は、表に書いた36個の数の合計に $\dfrac{1}{36}$ を掛けたものに等しい。合計は、0が5個、1が10個、…と数えて76なので、 $\dfrac{76}{36}=\dfrac{19}{9}$ となる。

別解（硬貨を1枚ずつ見て確率を足す）　期待値の線形性より、表の枚数の期待値は、各硬貨が表である確率を6枚分たしたものになる。左から $i$ 枚目の硬貨が表になるのは、L・Rの両方で反転されるか、どちらにも反転されないかのどちらかである。Lがこの硬貨を反転するのは $a\geqq i$ のときで確率 $\dfrac{7-i}{6}$、Rが反転するのは $b\geqq7-i$ のときで確率 $\dfrac{i}{6}$。よって、この硬貨が表になる確率は

$$\frac{7-i}{6}\cdot\frac{i}{6}+\frac{i-1}{6}\cdot\frac{6-i}{6}=\frac{-2i^2+14i-6}{36}$$

$i=1,\cdots,6$ について足し合わせると、 $\dfrac{-2\cdot91+14\cdot21-6\cdot6}{36}=\dfrac{76}{36}=\dfrac{19}{9}$ となる。

(3)　配点 20点

L、R、Lの目を順に $a,b,c$ とし、 $m=\min(a,c)$、 $M=\max(a,c)$ とおく。目の出方は全部で $6^3=216$ 通りある。

硬貨の表裏は反転の回数の偶奇で決まる。よって6枚とも表になる条件は、どの硬貨も反転の回数が偶数になることである。

まず2回のLだけを見る。(1) と同じように、左端から $m$ 枚は2回反転され、1回だけ反転されるのは左から $m+1$ 枚目〜 $M$ 枚目の区間である（ $a=c$ ならこの区間は空）。一方、Rは右端から $b$ 枚、つまり左から $7-b$ 枚目〜6枚目を反転する。

そこで条件は、「2回のLで1回だけ反転される区間」と「Rで反転される区間」がぴったり同じになること、と言いかえられる。

$b\geqq1$ だからRの区間は空ではない。したがって区間が一致するには $a\neq c$ が必要で、条件は $M=6$ かつ $m+1=7-b$、すなわち $M=6$、 $m=6-b$ となる。さいころの目は1以上なので $m\geqq1$ であり、 $b\leqq5$ も必要である。

$b=1,2,3,4,5$ の各値で、 $a,c$ の一方が6、もう一方が $6-b$ に決まる。 $6-b\neq6$ だから、どちらが1回目のLかで2通りずつ。合わせて $5\times2=10$ 通りなので、確率は $\dfrac{10}{216}$ になる。

答　$\dfrac{5}{108}$

別解（L・Rを終えた並びから最後のLを逆にたどる）　最後のLは、左端から $c$ 枚を反転するだけの操作である。したがって6枚とも表になるのは、L・Rを終えた時点の並びが「左から $c$ 枚が裏で、残りはすべて表」になっているときに限る。(2) で調べたL・Rの結果のうち、この形になるものを探す。

・$a+b\leqq6$ のとき　右端の硬貨は裏なので、並びは6枚とも裏でなければならない。それは表が0枚の場合、すなわち $a+b=6$ で、このとき $c=6$ である。 $(a,b)=(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)$ の5通り

・$a+b>6$ のとき　L・Rのあとは、左から $6-b$ 枚が裏、次の $a+b-6$ 枚が表、右端の $6-a$ 枚が裏という並びになる。右端が裏のままでは条件をみたせないので $a=6$ で、左から $6-b$ 枚が裏、残りは表。 $c\geqq1$ より $6-b\geqq1$、すなわち $b\leqq5$ で、 $c=6-b$ である。こちらも5通り

どちらの場合も $c$ は1つに決まる。合わせて $5+5=10$ 通りなので、確率は $\dfrac{10}{216}=\dfrac{5}{108}$ となる。

座標平面上の円 $(x-1)^2+(y-1)^2=2$ を $C$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) 直線 $y=x-2$ は円 $C$ に接することを示せ。また、接点の座標も求めよ。

(2) 円 $C$ と放物線 $y=\dfrac14x^2-1$ の共有点の座標をすべて求めよ。

(3) 不等式 $y\geqq\dfrac14x^2-1$ の表す領域を $D$ とする。また、不等式 $\lvert x\rvert+\lvert y\rvert\leqq2$ の表す領域を $A$ とし、不等式 $(\lvert x\rvert-1)^2+(y-1)^2\leqq2$ の表す領域を $B$ とする。そして、和集合 $A\cup B$、すなわち領域 $A$ と領域 $B$ を合わせた領域を $E$ とする。このとき、領域 $D$ と領域 $E$ の共通部分 $D\cap E$ を図示し、さらに、その面積を求めよ。

(1)　配点 10点

円 $C:(x-1)^2+(y-1)^2=2$ の中心は $(1,\ 1)$、半径は $\sqrt2$ である。直線 $y=x-2$ を $x-y-2=0$ と書くと、中心との距離 $d$ は

$$d=\frac{|1-1-2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2$$

で、半径に等しい。よって、直線 $y=x-2$ は円 $C$ に接する。

接点は、中心 $(1,\ 1)$ から直線 $y=x-2$ に下ろした垂線の足である。直線 $y=x-2$ の傾きは $1$ なので、垂線は傾き $-1$ で中心を通る直線

$$y=-(x-1)+1=-x+2$$

これと $y=x-2$ を連立すると $x=2$、 $y=0$。

答　接することは上のとおり。接点の座標は $(2,\ 0)$

別解（連立して重解）　 $y=x-2$ を円 $C$ の式に代入すると

$$(x-1)^2+(x-3)^2=2\iff 2x^2-8x+8=0\iff 2(x-2)^2=0$$

重解 $x=2$ をもつので、直線は円に接し、接点は $(2,\ 0)$ である。接することと接点が一度に分かるので、検算にも使える。

(2)　配点 15点

$y=\dfrac14x^2-1$ を円 $C$ の式に代入すると、 $y-1=\dfrac14x^2-2$ なので

$$(x-1)^2+\left(\frac14x^2-2\right)^2=2$$

$$x^2-2x+1+\frac{1}{16}x^4-x^2+4=2\iff\frac{1}{16}x^4-2x+3=0\iff x^4-32x+48=0\quad\cdots①$$

放物線上の点は $x$ 座標で決まるので、①の実数解が共有点の $x$ 座標である。

(1) の接点 $(2,\ 0)$ は、 $\dfrac14\cdot2^2-1=0$ より放物線上にもある。よって $x=2$ は①の解で、①の左辺は $x-2$ で割り切れる。

$$x^4-32x+48=(x-2)(x^3+2x^2+4x-24)$$

さらに $x^3+2x^2+4x-24$ に $x=2$ を代入すると $8+8+8-24=0$ なので、これも $x-2$ で割り切れて

$$x^4-32x+48=(x-2)^2(x^2+4x+12)$$

$x^2+4x+12=(x+2)^2+8>0$ なので、①の実数解は $x=2$ だけである。このとき $y=0$。

答　$(2,\ 0)$

$x=2$ が重解になるのは、放物線も点 $(2,\ 0)$ で直線 $y=x-2$ に接しているからである。実際

$$\left(\frac14x^2-1\right)-(x-2)=\frac14(x-2)^2\geqq0$$

なので、放物線は直線 $y=x-2$ の上側にあり、点 $(2,\ 0)$ だけで接する。円 $C$ と放物線は、点 $(2,\ 0)$ で同じ直線 $y=x-2$ に接している（上の図）。

(3)　配点 25点

対称性　 $D$、 $A$、 $B$ を表す不等式は、どれも $x$ を $-x$ に置きかえても変わらない。よって $D$、 $A$、 $B$、したがって $E$ と $D\cap E$ も $y$ 軸に関して対称である。まず $x\geqq0$ の部分を求め、あとで $y$ 軸で折り返す。

$x\geqq0$ のとき、 $|x|=x$ なので

・$A$： $y\geqq0$ では $x+y\leqq2$、 $y\leqq0$ では $x-y\leqq2$、すなわち $y\geqq x-2$。 $A$ の $x\geqq0$ の部分は、3点 $(0,\ 2)$、 $(2,\ 0)$、 $(0,\ -2)$ を頂点とする三角形の周と内部

・$B$： $(x-1)^2+(y-1)^2\leqq2$、すなわち円 $C$ の周と内部のうち $x\geqq0$ の部分

$E$ の $x\geqq0$ の部分　直線 $x+y=2$ は円 $C$ の中心 $(1,\ 1)$ を通るので、 $C$ の直径であり、その両端は $(2,\ 0)$、 $(0,\ 2)$ である。原点 $\mathrm{O}$ も $C$ 上にある（ $1+1=2$ ）。3つの頂点がすべて円周上にあるので、三角形 $\mathrm{O}$、 $(2,\ 0)$、 $(0,\ 2)$ は円 $C$ の内部（周を含む）にある。つまり、 $A$ の $y\geqq0$ の部分は $B$ に含まれる。

また、(1) より直線 $y=x-2$ は円 $C$ に接するので、円 $C$ の周と内部は直線 $y=x-2$ の上側（中心 $(1,\ 1)$ がある側）にある。よって、 $B$ の $y\leqq0$ の部分は「 $x\geqq0$、 $y\leqq0$、 $y\geqq x-2$ 」をみたし、 $A$ に含まれる。

したがって、 $E$ の $x\geqq0$ の部分は

・$B$ の $y\geqq0$ の部分（円 $C$ の周と内部のうち $x\geqq0$、 $y\geqq0$ の部分）

・$A$ の $y\leqq0$ の部分（ $0\leqq x\leqq2$、 $x-2\leqq y\leqq0$ ）

を合わせたものである。 $y$ 軸で折り返すと、下の図の色をつけた部分が $E$ になる（ $C’$ は $C$ を $y$ 軸で折り返した円。点線の部分は $B$ に入らない）。

$D$ との共通部分　まず、 $B$ の $y\geqq0$ の部分が $D$ に含まれることを示す。

$0\leqq x\leqq2$ では $\dfrac14x^2-1\leqq0\leqq y$ なので、 $D$ の不等式をみたす。

$2<x\leqq1+\sqrt2$ では、円 $C$ の下側の弧と放物線は、(2) より共有点をもたない。 $x=1+\sqrt2$ では、弧の $y$ 座標は $1$、放物線の $y$ 座標は $\dfrac{(1+\sqrt2)^2}{4}-1=\dfrac{2\sqrt2-1}{4}<1$ で、弧の方が上にある。よって、この範囲で弧はつねに放物線より上にあり、円の周と内部の点も $D$ の不等式をみたす。

したがって、 $B$ の $y\geqq0$ の部分はすべて $D$ に含まれる。

次に、 $A$ の $y\leqq0$ の部分（ $0\leqq x\leqq2$、 $x-2\leqq y\leqq0$ ）について、(2) で示したとおり $\dfrac14x^2-1\geqq x-2$ で、また $0\leqq x\leqq2$ では $\dfrac14x^2-1\leqq0$ である。よって $D$ との共通部分は

$$0\leqq x\leqq2,\quad \frac14x^2-1\leqq y\leqq0$$

である。

以上を $y$ 軸で折り返すと、 $D\cap E$ は、円 $C$ の $x\geqq0$ の部分の弧と、それを $y$ 軸で折り返した円 $C’$ の弧（どちらも $y\geqq0$ の部分）、放物線 $y=\dfrac14x^2-1$ の $-2\leqq x\leqq2$ の部分で囲まれた部分である。点 $(\pm2,\ 0)$ では、弧と放物線が同じ接線（ $x\geqq0$ では $y=x-2$ ）をもち、なめらかにつながる。

答　下の図の色をつけた部分（境界を含む）

面積　 $x\geqq0$、 $y\geqq0$ の部分は、直径 $x+y=2$ の上側の半円と、直角二等辺三角形 $\mathrm{O}$、 $(2,\ 0)$、 $(0,\ 2)$ に分けられる。半円の面積は $\dfrac12\cdot\pi\cdot(\sqrt2)^2=\pi$、三角形の面積は $\dfrac12\cdot2\cdot2=2$ である。 $y$ 軸に関して対称なので、 $y\geqq0$ の部分の面積は

$$2(\pi+2)=2\pi+4$$

$y\leqq0$ の部分は、放物線と $x$ 軸で囲まれた部分なので

$$\int_{-2}^{2}\left\{0-\left(\frac14x^2-1\right)\right\}dx=\int_{-2}^{2}\left(-\frac14\right)(x+2)(x-2)\,dx=\frac14\cdot\frac16\{2-(-2)\}^3=\frac83$$

求める面積は、これらの合計で

$$2\pi+4+\frac83=2\pi+\frac{20}{3}$$

答　$2\pi+\dfrac{20}{3}$

検算　面積を格子点で数える（ $x$、 $y$ をそれぞれ $2400$ 等分した点のうち $D\cap E$ に入るものを数える）と約 $12.950$ で、 $2\pi+\dfrac{20}{3}=12.9498\cdots$ と一致する。