【解説・採点基準付き】2009年九州大学文系数学の解答・解説

$\angle\mathrm{A}$ が直角の二等辺三角形ABCを考える。辺BCの中点をMとし、線分AMを $1:3$ に内分する点をPとする。また、点Pを通り辺BCに平行な直線と、辺AB、ACとの交点をそれぞれQ、Rとする。このとき、次の問いに答えよ。

(1) $\cos\angle\mathrm{QMR}$ を求めよ。

(2) $\angle\mathrm{QMR}$ の2倍と $\angle\mathrm{QMB}$ の大小を判定せよ。

(1)　配点 20点

三角比は三角形の大きさによらないので、 $\mathrm{AM}=4$ としてよい。直角三角形ABCの斜辺BCの中点Mは外接円の中心なので $\mathrm{MA}=\mathrm{MB}=\mathrm{MC}=4$ で、二等辺三角形なので $\mathrm{AM}\perp\mathrm{BC}$ 。そこで、Mを原点、直線BCを $x$ 軸、直線MAを $y$ 軸にとると

$$\mathrm{A}(0,\ 4),\qquad\mathrm{B}(-4,\ 0),\qquad\mathrm{C}(4,\ 0)$$

$\mathrm{AP}:\mathrm{PM}=1:3$ より $\mathrm{P}(0,\ 3)$ 。Pを通りBCに平行な直線は $y=3$ 。直線ABは $y=x+4$ 、直線ACは $y=-x+4$ なので、 $y=3$ を代入して

$$\mathrm{Q}(-1,\ 3),\qquad\mathrm{R}(1,\ 3)$$

$\overrightarrow{\mathrm{MQ}}=(-1,\ 3)$、 $\overrightarrow{\mathrm{MR}}=(1,\ 3)$ より

$$\overrightarrow{\mathrm{MQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{MR}}=(-1)\cdot1+3\cdot3=8,\qquad|\overrightarrow{\mathrm{MQ}}|=|\overrightarrow{\mathrm{MR}}|=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$$

$$\cos\angle\mathrm{QMR}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{MQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{MR}}}{|\overrightarrow{\mathrm{MQ}}||\overrightarrow{\mathrm{MR}}|}=\frac{8}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}}=\frac45$$

答　$\cos\angle\mathrm{QMR}=\dfrac45$

別解（余弦定理）　座標から $\mathrm{QR}=2$ 、三平方の定理より $\mathrm{MQ}=\mathrm{MR}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$ 。三角形QMRで余弦定理より

$$\cos\angle\mathrm{QMR}=\frac{10+10-4}{2\cdot\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}}=\frac{16}{20}=\frac45$$

(2)　配点 30点

$\angle\mathrm{QMR}=\theta$ 、 $\angle\mathrm{QMB}=\varphi$ とおく。

Qから辺BCに垂線QHを下ろすと $\mathrm{H}(-1,\ 0)$ で、 $\mathrm{MH}=1$ 、 $\mathrm{QH}=3$ 。Hは線分MB上にあるので、直角三角形QHMで $\varphi=\angle\mathrm{QMH}$ は鋭角で

$$\tan\varphi=\frac{\mathrm{QH}}{\mathrm{MH}}=3$$

(1) より $\cos\theta=\dfrac45>0$ なので $\theta$ は鋭角。斜辺5・底辺4の直角三角形を考えると高さは3なので、 $\tan\theta=\dfrac34$ 。2倍角の公式より

$$\tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}=\frac{\dfrac32}{1-\dfrac{9}{16}}=\frac32\cdot\frac{16}{7}=\frac{24}{7}$$

$0^\circ<\theta<90^\circ$ より $0^\circ<2\theta<180^\circ$ で、 $\tan2\theta=\dfrac{24}{7}>0$ なので $0^\circ<2\theta<90^\circ$ 。

$$\tan2\theta-\tan\varphi=\frac{24}{7}-3=\frac37>0$$

$2\theta$ と $\varphi$ はともに $0^\circ$ から $90^\circ$ の間にあり、この範囲で $\tan$ は増加するので、 $2\theta>\varphi$ 。

答　$\angle\mathrm{QMR}$ の2倍の方が大きい（ $2\angle\mathrm{QMR}>\angle\mathrm{QMB}$ ）

実際の角は $2\angle\mathrm{QMR}\fallingdotseq73.7^\circ$ 、 $\angle\mathrm{QMB}\fallingdotseq71.6^\circ$ で、差は約 $2^\circ$ しかない。図を見ただけでは判定できないので、値で厳密に比べる。

別解1（ $\cos$ で比べる）　2倍角の公式より $\cos2\theta=2\cos^2\theta-1=2\cdot\dfrac{16}{25}-1=\dfrac{7}{25}$ 。直角三角形QHMで $\mathrm{MQ}=\sqrt{10}$ なので $\cos\varphi=\dfrac{\mathrm{MH}}{\mathrm{MQ}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$ 。どちらも正なので2乗して比べると

$$\left(\frac{7}{25}\right)^2=\frac{49}{625}=\frac{490}{6250},\qquad\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2=\frac{1}{10}=\frac{625}{6250}$$

より $\cos2\theta<\cos\varphi$ 。 $2\theta$ 、 $\varphi$ はともに $0^\circ$ から $180^\circ$ の間にあり、この範囲で $\cos$ は減少するので、 $2\theta>\varphi$ 。 $\cos$ は値の大小と角の大小が逆になることに注意する。

別解2（ $36^\circ$ と比べる）　図の左右対称から $\angle\mathrm{RMC}=\varphi$ で、 $\varphi+\theta+\varphi=180^\circ$ より $\varphi=90^\circ-\dfrac{\theta}{2}$ 。よって

$$2\theta>\varphi\iff2\theta>90^\circ-\frac{\theta}{2}\iff\theta>36^\circ$$

$\cos36^\circ=\dfrac{1+\sqrt5}{4}$ である（ $5\cdot36^\circ=180^\circ$ を利用して求める値）。これと $\cos\theta=\dfrac45$ を比べると

$$\dfrac45<\dfrac{1+\sqrt5}{4}\iff11<5\sqrt5\iff121<125$$

で成り立つ。 $\cos$ は $0^\circ$ から $180^\circ$ の間で減少するので $\theta>36^\circ$ 、すなわち $2\theta>\varphi$ 。

座標平面に3点 $\mathrm{O}(0,0)$、 $\mathrm{A}(2,6)$、 $\mathrm{B}(3,4)$ をとり、点Oから直線ABに垂線OCを下ろす。また、実数 $s$ と $t$ に対し、点Pを

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\,\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\,\overrightarrow{\mathrm{OB}}$$

で定める。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 点Cの座標を求め、 $|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|^2$ を $s$ と $t$ を用いて表せ。

(2) $s=\dfrac{1}{2}$ とし、 $t$ を $t\geqq0$ の範囲で動かすとき、 $|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|^2$ の最小値を求めよ。

(3) $s=1$ とし、 $t$ を $t\geqq0$ の範囲で動かすとき、 $|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|^2$ の最小値を求めよ。

(1)　配点 20点

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(3-2,\ 4-6)=(1,\ -2)$ 。点Cは直線AB上にあるので、実数 $u$ を使って

$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+u\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(2+u,\ 6-2u)$$

と表せる。OCとABは垂直なので $\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$ 、すなわち

$$(2+u)\cdot1+(6-2u)\cdot(-2)=5u-10=0\iff u=2$$

したがって $\mathrm{C}(4,\ 2)$ 。Cは線分ABの内部ではなく、Bから先へ延ばした所にある（下の図）。

成分で表すと $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s(2,\ 6)+t(3,\ 4)=(2s+3t,\ 6s+4t)$ なので

$\overrightarrow{\mathrm{CP}}=(2s+3t-4,\ 6s+4t-2)$

成分の2乗の和をつくると

$$|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|^2=(2s+3t-4)^2+(6s+4t-2)^2=40s^2+60st+25t^2-40s-40t+20$$

答　$\mathrm{C}(4,\ 2)$、 $|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|^2=40s^2+60st+25t^2-40s-40t+20$

検算：この式に $s=t=0$ （PがO）を入れると $20$ 、 $s=0,\ t=1$ （PがB）を入れると $5$ となり、それぞれ $|\overrightarrow{\mathrm{CO}}|^2=4^2+2^2=20$ 、 $|\overrightarrow{\mathrm{CB}}|^2=1^2+2^2=5$ に一致する。(2)(3) ではこの式をそのまま使うので、先に確かめておく。

(2)　配点 15点

(1) の式に $s=\dfrac12$ を代入して、 $t$ について整理すると

$$|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|^2=10+30t+25t^2-20-40t+20=25t^2-10t+10$$

平方完成すると

$$|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|^2=25\left(t-\frac15\right)^2+9$$

これは $t$ の2次関数で下に凸、軸は $t=\dfrac15$。軸は $t\geqq0$ に入るので、 $t=\dfrac15$ で最小になり、最小値は9である。

答　9（ $t=\dfrac15$ のとき）

図形で確かめる。 $s=\dfrac12$ のとき $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac12\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ なので、Pは線分OAの中点 $\mathrm{Q}(1,\ 3)$ を出発点に、 $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ の向きへ進む半直線（ $t\geqq0$ の部分）の上を動く。Cからこの半直線への垂線の足 $\mathrm{H}\left(\dfrac85,\ \dfrac{19}{5}\right)$ は $t=\dfrac15$ に当たり、半直線の上にある。したがって $|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|$ が最小になるのはP＝Hのときである。

別解（点と直線の距離で求める）　Pが動く半直線は、点 $\mathrm{Q}(1,\ 3)$ を通り $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ に平行な直線の一部。この直線は法線ベクトルが $(4,\ -3)$ なので $4x-3y+5=0$ 。垂線の足Hは $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}+t_0\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ とおけて、 $\overrightarrow{\mathrm{CH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=0$ から $t_0=\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{QC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2}=\dfrac{3\cdot3+4\cdot(-1)}{25}=\dfrac15$ 。 $t_0\geqq0$ なのでHは半直線の上にあり、最小値はCと直線の距離の2乗になる。

$$\left(\frac{|4\cdot4-3\cdot2+5|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}\right)^2=\left(\frac{15}{5}\right)^2=9$$

Hが半直線の上にあるかを確かめずに距離だけで答えると、(3) のような場合で誤る。

(3)　配点 15点

(1) の式に $s=1$ を代入して、 $t$ について整理すると

$$|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|^2=40+60t+25t^2-40-40t+20=25t^2+20t+20$$

平方完成すると

$$|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|^2=25\left(t+\frac25\right)^2+16$$

これは $t$ の2次関数で下に凸、軸は $t=-\dfrac25$。軸は $t\geqq0$ に入らず、 $t\geqq0$ では $|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|^2$ は増加する。よって、端 $t=0$ で最小になり、最小値は

$$25\cdot0^2+20\cdot0+20=20$$

答　20（ $t=0$ のとき）

$t=0$ のとき $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ でPはAに重なるので、最小値は $|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|^2=(2-4)^2+(6-2)^2=20$ で、検算になる。図で見ると、点PはAから $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ の向きに伸びる半直線の上を動く。Cからこの半直線を含む直線に下ろした垂線の足 $\mathrm{H}\left(\dfrac45,\ \dfrac{22}{5}\right)$ は $t=-\dfrac25$ の点で、半直線の外（Aより手前）にあるので、半直線の上でCにいちばん近いのは端のAである。頂点の値16は、この半直線の外の点Hまでの距離の2乗であり、答えにはならない。

1から6までの数字が1つずつ書かれている6枚のカードがある。これらをよくきった上で、左から右に一列に並べる。カードに書かれた数字を左から順に $a,b,c,d,e,f$ とする。このとき、次の問いに答えよ。

(1) $a+b=c$ となる確率を求めよ。

(2) $a+b=c+d$ となる確率を求めよ。

(1)　配点 20点

$a+b=c$ となるかどうかは、左の3枚 $a,b,c$ だけで決まる。そこで、全体を「6枚から左の3枚に置くカードを選び（ ${}_6\mathrm{C}_3$ 通り）、それを並べる（ $3!$ 通り）」と数える。

$${}_6\mathrm{C}_3\times3!=20\times6=120\ \text{（通り）}$$

これらは同様に確からしい（右の3枚 $d,e,f$ の並び方は、どの $(a,b,c)$ に対しても同じ $3!$ 通りずつある）。

$a,b$ は1以上なので、 $a+b=c$ のとき $c>a$ 、 $c>b$ 。つまり $c$ は3枚の中で最大のカードである。そこで、3枚の組を $\{x,\ y,\ z\}\ (x<y<z)$ と表し、 $x+y=z$ となる組を $z$ の小さい方から書き出す。

全部で6組。

各組で、 $c=z$ と決まり、 $a,b$ は残りの2枚をどちらの順に置くかで2通り。よって、条件を満たす並べ方は

$$6\times2=12\ \text{（通り）}$$

求める確率は

$$\dfrac{12}{120}=\dfrac{1}{10}$$

答　$\dfrac{1}{10}$

(2)　配点 30点

$a+b=c+d$ となるかどうかは、左の4枚だけで決まる。そこで、全体を「6枚から左の4枚に置くカードを選び（ ${}_6\mathrm{C}_4$ 通り）、それを並べる（ $4!$ 通り）」と数える。

$${}_6\mathrm{C}_4\times4!=15\times24=360\ \text{（通り）}$$

$a+b=c+d$ は、「 $\{a,\ b\}$ と $\{c,\ d\}$ が、和の等しい2枚の組である」ということ。和が等しい異なる2組に共通のカードがあると、残りのカードも等しくなって同じ組になってしまう。よって、和の等しい異なる2組を選べば、4枚は自然に別々のカードになる。

1〜6から2枚を選ぶ15組を、和ごとに書き出す。

和の等しい2組を選べるのは、組が2つ以上ある和5、6、7、8、9のときで、選び方は

$$1+1+{}_3\mathrm{C}_2+1+1=7\ \text{（通り）}$$

選んだ2組それぞれについて、どちらの組を $\{a,\ b\}$ にするかで2通り、 $a,b$ の順で2通り、 $c,d$ の順で2通りあるので、並べ方は $2\times2\times2=8$ 通り。よって、条件を満たす並べ方は

$$7\times8=56\ \text{（通り）}$$

求める確率は

$$\dfrac{56}{360}=\dfrac{7}{45}$$

答　$\dfrac{7}{45}$

別解（6枚全部の並べ方で数える）　全体を6枚全部の並べ方 $6!=720$ 通りとしてもよい。このときは分子も同じ数え方にそろえ、条件に関係しない残りのカードの並べ方も掛ける。(1) は $12\times3!=72$ 通りで $\dfrac{72}{720}=\dfrac{1}{10}$ 、(2) は $56\times2!=112$ 通りで $\dfrac{112}{720}=\dfrac{7}{45}$ 。答えは同じ。

検算　6枚の並べ方720通りをすべて調べると、 $a+b=c$ となるのは72通り、 $a+b=c+d$ となるのは112通りで、確率はそれぞれ $\dfrac{1}{10}$ 、 $\dfrac{7}{45}$ 。本解と一致する。また、(2) を「左の4枚がどの4枚か」で見ると、和の等しい2組に分けられる4枚の組は7通り（ $\{1,2,3,4\}$ 、 $\{1,2,4,5\}$ 、 $\{1,2,5,6\}$ 、 $\{1,3,4,6\}$ 、 $\{2,3,4,5\}$ 、 $\{2,3,5,6\}$ 、 $\{3,4,5,6\}$ ）で、 ${}_6\mathrm{C}_4=15$ 通りの中の7通り。その4枚の並べ方 $4!=24$ 通りのうち条件を満たすのは8通りで $\dfrac{1}{3}$ 。 $\dfrac{7}{15}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{45}$ となり、これも一致する。

曲線 $y=x^2$ の点 $\mathrm{P}(a,\ a^2)$ における接線と点 $\mathrm{Q}(b,\ b^2)$ における接線が点Rで交わるとする。ただし、 $a<0<b$ とする。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 点Rの座標および三角形PRQの面積を求めよ。

(2) 線分PRと線分QRを2辺とする平行四辺形をPRQSとする。折れ線PSQと曲線 $y=x^2$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

(3) $\angle\mathrm{PRQ}=90^\circ$ を満たしながらPとQが動くとき、(2) で求めた面積の最小値を求めよ。

(1)　配点 15点

$y=x^2$ のとき $y’=2x$ なので、点 $\mathrm{P}(a,\ a^2)$ における接線は $y=2a(x-a)+a^2$ 、すなわち

$$y=2ax-a^2\quad\cdots①$$

同じように、点 $\mathrm{Q}(b,\ b^2)$ における接線は

$$y=2bx-b^2\quad\cdots②$$

①、②を連立すると $2(a-b)x=a^2-b^2$。 $a\neq b$ なので $x=\dfrac{a+b}{2}$ で、①に代入して $y=a(a+b)-a^2=ab$。

答　$\mathrm{R}\left(\dfrac{a+b}{2},\ ab\right)$

Rが原点に来るように全体を平行移動する（面積は変わらない）。 $b-a=d\ (>0)$ とおくと

$$\overrightarrow{\mathrm{RP}}=\left(a-\dfrac{a+b}{2},\ a^2-ab\right)=\left(-\dfrac d2,\ -ad\right),\qquad \overrightarrow{\mathrm{RQ}}=\left(b-\dfrac{a+b}{2},\ b^2-ab\right)=\left(\dfrac d2,\ bd\right)$$

よって、三角形PRQの面積は

$$\dfrac12\left|\left(-\dfrac d2\right)\cdot bd-\dfrac d2\cdot(-ad)\right|=\dfrac12\left|-\dfrac{d^2(b-a)}{2}\right|=\dfrac12\left|-\dfrac{d^3}{2}\right|=\dfrac{d^3}{4}=\dfrac14(b-a)^3$$

答　$\triangle\mathrm{PRQ}=\dfrac14(b-a)^3$

別解（Rを通り $y$ 軸に平行な直線で2つに分ける）　弦PQの式は $y=(a+b)x-ab$ 。 $x=\dfrac{a+b}{2}$ での弦PQ上の点をMとすると、Mの $y$ 座標は $\dfrac{(a+b)^2}{2}-ab=\dfrac{a^2+b^2}{2}$ なので

$$\mathrm{RM}=\dfrac{a^2+b^2}{2}-ab=\dfrac{(b-a)^2}{2}$$

三角形PRQは線分RMで左右2つの三角形に分かれ、底辺をRMとしたときの高さの和は $b-a$ なので、面積は $\dfrac12\cdot\dfrac{(b-a)^2}{2}\cdot(b-a)=\dfrac14(b-a)^3$ 。本解と一致する。

(2)　配点 20点

PRQSは平行四辺形なので、対角線PQとRSはそれぞれの中点で交わる。PQの中点を $\mathrm{N}\left(\dfrac{a+b}{2},\ \dfrac{a^2+b^2}{2}\right)$ とすると、SはNについてRと対称な点で

$$\mathrm{S}\left(\dfrac{a+b}{2},\ a^2+b^2-ab\right)$$

平行四辺形は対角線の交点Nについて点対称なので、三角形PSQと三角形PRQは合同であり、(1) より

$$\triangle\mathrm{PSQ}=\triangle\mathrm{PRQ}=\dfrac14(b-a)^3$$

弦PQの式は $y=(a+b)x-ab$ で

$$\{(a+b)x-ab\}-x^2=-(x-a)(x-b)$$

なので、 $a\leqq x\leqq b$ では放物線は弦PQより下にある。一方、Rは放物線の下にあるので弦PQより下にあり、SはNについてRと対称なので弦PQより上にある。よって線分PS、SQは（P、Qを除いて）弦PQより上にあり、放物線とはP、Q以外で交わらない。したがって、求める図形は、弦PQで「三角形PSQ」と「弦PQと放物線で囲まれた部分」の2つに分かれる。

弦PQと放物線で囲まれた部分の面積は

$$\int_a^b\left[\{(a+b)x-ab\}-x^2\right]dx=-\int_a^b(x-a)(x-b)\,dx=\dfrac16(b-a)^3$$

よって、求める面積を $T$ とすると

$$T=\dfrac14(b-a)^3+\dfrac16(b-a)^3=\dfrac{5}{12}(b-a)^3$$

答　$\dfrac{5}{12}(b-a)^3$

別解（平行四辺形から、2本の接線と放物線で囲まれた部分を引く）

放物線は2本の接線より上にあり、弦PQより下にあるので、弧PQは三角形PRQの中を通り、平行四辺形PRQSを「求める図形 $T$ 」と「2本の接線と放物線で囲まれた部分 $U$ 」の2つに分ける。平行四辺形の面積は (1) の2倍で $\dfrac12(b-a)^3$ 。

$U$ は接線の交点の $x$ 座標 $m=\dfrac{a+b}{2}$ で左右に分け、接するので「放物線 $-$ 接線」が $(x-a)^2$ 、 $(x-b)^2$ と完全平方の形になることを使うと

$$U=\int_a^{m}(x-a)^2\,dx+\int_{m}^{b}(x-b)^2\,dx=\dfrac13\left(\dfrac{b-a}{2}\right)^3+\dfrac13\left(\dfrac{b-a}{2}\right)^3=\dfrac{1}{12}(b-a)^3$$

左右の値が同じになり、検算もできる。よって $T=\dfrac12(b-a)^3-\dfrac{1}{12}(b-a)^3=\dfrac{5}{12}(b-a)^3$ で、本解と一致する。

(3)　配点 15点

$\angle\mathrm{PRQ}=90^\circ$ は、①と②が直交することと同じなので、傾きの積が $-1$ になる。

$$2a\cdot2b=-1\quad\text{すなわち}\quad ab=-\dfrac14$$

$b>0$ なので $a=-\dfrac{1}{4b}$ （これは $a<0$ を満たし、逆に $b>0$ を1つ決めるとこの $a$ でPとQが決まる）。よって

$$b-a=b+\dfrac{1}{4b}$$

$b>0$ 、 $\dfrac{1}{4b}>0$ なので、相加平均と相乗平均の関係より

$$b+\dfrac{1}{4b}\geqq2\sqrt{b\cdot\dfrac{1}{4b}}=1$$

等号は $b=\dfrac{1}{4b}$ 、すなわち $b=\dfrac12$ （ $b>0$ ）のとき成り立ち、このとき $a=-\dfrac12$ 。よって $b-a$ の最小値は $1$ である。

(2) の面積 $\dfrac{5}{12}(b-a)^3$ は $b-a\ (>0)$ が小さいほど小さいので、 $a=-\dfrac12$ 、 $b=\dfrac12$ のとき最小で

答　$\dfrac{5}{12}$（ $a=-\dfrac12$ 、 $b=\dfrac12$ のとき）

別解（ $(b-a)^2$ を $a+b$ で表す）　 $ab=-\dfrac14$ より

$$(b-a)^2=(a+b)^2-4ab=(a+b)^2+1\geqq1$$

$b-a>0$ なので $b-a\geqq1$ 。等号は $a+b=0$ 、すなわち $a=-\dfrac12$ 、 $b=\dfrac12$ のとき成り立ち、本解と同じ最小値 $\dfrac{5}{12}$ になる。

検算　 $ab=-\dfrac14$ なので、Rの $y$ 座標は常に $-\dfrac14$ で、Rは直線 $y=-\dfrac14$ 上を動く。最小のとき $\mathrm{P}\left(-\dfrac12,\ \dfrac14\right)$ 、 $\mathrm{Q}\left(\dfrac12,\ \dfrac14\right)$ 、 $\mathrm{R}\left(0,\ -\dfrac14\right)$ 、 $\mathrm{S}\left(0,\ \dfrac34\right)$ で、図形は $y$ 軸について対称になる。三角形PSQは底辺1・高さ $\dfrac12$ で面積 $\dfrac14$ 、弦と放物線の間は $\dfrac16$ なので、和は $\dfrac14+\dfrac16=\dfrac{5}{12}$ で一致する。