【解説・採点基準付き】2008年九州大学文系数学の解答・解説

自然数 $n$ に対して、 $a_n=(\cos2^n)(\cos2^{n-1})\cdots(\cos2)(\cos1)$ とおく。ただし、角の大きさを表すのに弧度法を用いる。このとき、次の問いに答えよ。

(1) $a_1=\dfrac{\sin4}{4\sin1}$ を示せ。

(2) $a_n=\dfrac{\sin2^{n+1}}{2^{n+1}\sin1}$ を示せ。

(3) $a_n<\dfrac{\sqrt2}{2^{n+1}}$ を示せ。

(1)　配点 10点

$0<1<\pi$ より $\sin1>0$ なので、 $\sin1\neq0$ 。 $a_1=(\cos2)(\cos1)$ の分母と分子に $2\sin1$ を掛けると

$$a_1=\dfrac{(\cos2)(2\sin1\cos1)}{2\sin1}=\dfrac{\sin2\cos2}{2\sin1}$$

さらに分母と分子に2を掛けて、 $2\sin2\cos2=\sin4$ を使うと

$$a_1=\dfrac{2\sin2\cos2}{4\sin1}=\dfrac{\sin4}{4\sin1}$$

となり、示された。

(2)　配点 20点

すべての自然数 $n$ について

$$a_n=\dfrac{\sin2^{n+1}}{2^{n+1}\sin1}\quad\cdots\cdots(☆)$$

が成り立つことを、数学的帰納法で示す。

(i) $n=1$ のとき　(1) より $a_1=\dfrac{\sin4}{4\sin1}=\dfrac{\sin2^2}{2^2\sin1}$ なので、(☆) は成り立つ。

(ii) $n=k$ のとき (☆) が成り立つと仮定する　つまり $a_k=\dfrac{\sin2^{k+1}}{2^{k+1}\sin1}$ とする。 $a_n$ の定義より

$$a_{k+1}=(\cos2^{k+1})(\cos2^k)\cdots(\cos2)(\cos1)=(\cos2^{k+1})\,a_k$$

仮定を代入し、2倍角の公式 $\sin2^{k+1}\cos2^{k+1}=\dfrac12\sin\left(2\cdot2^{k+1}\right)=\dfrac12\sin2^{k+2}$ を使うと

$$a_{k+1}=\dfrac{\sin2^{k+1}\cos2^{k+1}}{2^{k+1}\sin1}=\dfrac{\sin2^{k+2}}{2\cdot2^{k+1}\sin1}=\dfrac{\sin2^{(k+1)+1}}{2^{(k+1)+1}\sin1}$$

よって、 $n=k+1$ のときも (☆) は成り立つ。

(i)(ii) より、すべての自然数 $n$ について (☆) が成り立つ。

別解（2倍角の公式を書き並べる）　 $a_n$ に $2^{n+1}\sin1$ を掛け、右端から2倍角の公式を順に使うと

$$2^{n+1}\sin1\cdot a_n=2^n(\cos2^n)\cdots(\cos2)\cdot(2\sin1\cos1)=2^n(\cos2^n)\cdots(\cos2)\sin2$$

$$=2^{n-1}(\cos2^n)\cdots(\cos4)\cdot(2\sin2\cos2)=2^{n-1}(\cos2^n)\cdots(\cos4)\sin4=\cdots=2\sin2^n\cos2^n=\sin2^{n+1}$$

となる。 $\sin1\neq0$ で割ると (☆) が得られる。2倍角の公式を1回使うごとに、 $2$ の指数が1つ減り、 $\sin$ の中の角が2倍になる。「 $\cdots$ 」を含むので、答案としては本解の帰納法の方が論証に穴がない。

(3)　配点 20点

(2) より、示す式は

$$\dfrac{\sin2^{n+1}}{2^{n+1}\sin1}<\dfrac{\sqrt2}{2^{n+1}}$$

$2^{n+1}\sin1>0$ を両辺に掛けると、これは

$$\sin2^{n+1}<\sqrt2\sin1\quad\cdots\cdots①$$

と同値である。

$3<\pi<4$ より $\dfrac{\pi}{4}<1<\dfrac{\pi}{2}$ 。 $\sin\theta$ は $0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ で増加するので

$$\sin1>\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$$

よって $\sqrt2\sin1>1$ 。

また、どんな角でも $\sin$ の値は1以下なので、 $\sin2^{n+1}\leqq1$ 。したがって

$$\sin2^{n+1}\leqq1<\sqrt2\sin1$$

となり、①が成り立つ。よって $a_n<\dfrac{\sqrt2}{2^{n+1}}$ が示された。

放物線 $C:y=x^2$ 上の点Pにおける法線とは、点Pにおける $C$ の接線と点Pで垂直に交わる直線である。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 点 $(p,\ p^2)$ における $C$ の法線の方程式を求めよ。

(2) $y$ 軸上の点 $(0,\ a)$ を通る $C$ の法線の本数を求めよ。

(1)　配点 15点

$f(x)=x^2$ とおくと $f'(x)=2x$ なので、点 $\mathrm{P}(p,\ p^2)$ における $C$ の接線の傾きは $2p$ である。

法線は、Pを通り、接線と垂直に交わる直線である。分母を払った形で書くと、Pにおける法線の方程式は

$$2p(y-p^2)=-(x-p)\quad\cdots①$$

実際、 $p\neq0$ のとき①は $y-p^2=-\dfrac{1}{2p}(x-p)$ となり、傾き $-\dfrac{1}{2p}$ （接線の傾き $2p$ との積が $-1$ ）でPを通る直線である。 $p=0$ のとき①は $x=0$ （ $y$ 軸）となり、原点での接線 $y=0$ （ $x$ 軸）に原点で垂直に交わる直線である。よって①は $p$ の値によらず法線を表す。

①を整理して

答　$x+2py-2p^3-p=0$（ $p\neq0$ のときは $y=-\dfrac{1}{2p}x+p^2+\dfrac12$、 $p=0$ のときは $x=0$ ）

別解（傾きで場合分けする）　 $p\neq0$ のとき、法線の傾きは $-\dfrac{1}{2p}$ なので $y-p^2=-\dfrac{1}{2p}(x-p)$、すなわち $x+2py-2p^3-p=0$。 $p=0$ のとき、原点での接線は $y=0$ なので、法線は $y$ 軸 $x=0$ で、これも $x+2py-2p^3-p=0$ に $p=0$ を代入した式と一致する。よって同じ答えになる。 $p=0$ の場合を書き落とすと減点される。

(2)　配点 35点

点 $(0,\ a)$ が(1)の法線上にある条件は、(1)の答えに $x=0$、 $y=a$ を代入して

$$2pa-2p^3-p=0\quad\text{すなわち}\quad p(2p^2+1-2a)=0\quad\cdots②$$

$p\neq q$ のとき、点 $(p,\ p^2)$ と点 $(q,\ q^2)$ における法線は、 $x$ の係数がどちらも $1$ で $y$ の係数 $2p$、 $2q$ が異なるので、同じ直線にはならない。また、1つの点における法線は1本である。よって、 $(0,\ a)$ を通る $C$ の法線の本数は、②の異なる実数解 $p$ の個数に等しい。

②より

$$p=0\quad\text{または}\quad p^2=\dfrac{2a-1}{2}\quad\cdots③$$

$p=0$ は $a$ の値によらず②の解である（ $p=0$ の法線は $y$ 軸で、必ず $(0,\ a)$ を通る）。

③の実数解は、右辺 $\dfrac{2a-1}{2}$ の符号で次のように分かれる。

(i)　 $a>\dfrac12$ のとき

③は $p=\pm\sqrt{\dfrac{2a-1}{2}}$ の異なる2つの実数解をもち、どちらも $0$ でない。よって②の異なる実数解は $p=0,\ \pm\sqrt{\dfrac{2a-1}{2}}$ の3個で、法線は3本。

(ii)　 $a=\dfrac12$ のとき

③は $p^2=0$ で $p=0$ となり、②の解 $p=0$ と重なる。よって②の実数解は $p=0$ の1個だけで、法線は1本（ $y$ 軸）。

(iii)　 $a<\dfrac12$ のとき

③の右辺は負なので、③は実数解をもたない。よって②の実数解は $p=0$ の1個だけで、法線は1本（ $y$ 軸）。

以上より

答　$a>\dfrac12$ のとき3本、 $a\leqq\dfrac12$ のとき1本

検算　 $a=2$ のとき、③は $p^2=\dfrac32$ で $p=\pm\dfrac{\sqrt6}{2}$。(1) の $p\neq0$ の式で $y$ 切片は $p^2+\dfrac12=\dfrac32+\dfrac12=2$ となり、2本とも $(0,\ 2)$ を通る。 $y$ 軸と合わせて3本で一致する。

別解（ $y$ 軸との交点で数える）　 $p\neq0$ の点における法線は $y=-\dfrac{1}{2p}x+p^2+\dfrac12$ なので、 $y$ 軸と点 $\left(0,\ p^2+\dfrac12\right)$ で交わる。 $p$ が $0$ 以外の実数全体を動くと、 $p^2+\dfrac12$ は $\dfrac12$ より大きい値だけをとり、1つの値に対して $p$ は正と負の2つある。よって、 $p\neq0$ の法線のうち $(0,\ a)$ を通るものは、 $a>\dfrac12$ なら2本、 $a\leqq\dfrac12$ なら0本。これに $p=0$ の法線（ $y$ 軸）の1本を加えて、本解と同じ答えになる。放物線は $y$ 軸について対称なので、 $y$ 軸以外の法線は左右対称な2本の組で現れ、本数は奇数（1本か3本）になることも分かる。

図のような五角形ABCDE（角Aが直角である二等辺三角形ABEと長方形BCDEをあわせた図形）において、辺BCと辺DEの長さは1、辺CDと線分BEの長さは2とする。線分BEの中点をOとする。また、5枚のカードがあり、それぞれにA、B、C、D、Eと書いてある。カードをよくきって1枚引き、もとに戻す。この操作を $n$ 回繰り返し、 $i$ 回目に引いたカードの文字を $\mathrm{P}_i$ とする。たとえば、 $i$ 回目にBを引いたとすると、 $\mathrm{P}_i=\mathrm{B}$ である。このとき、次の問いに答えよ。

(1) $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ の内積を求めよ。

(2) $\overrightarrow{\mathrm{OP}_1}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OP}_2}$ の内積が1である確率を求めよ。

(3) $\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OP}_i}$ の内積を $q_i$ とする。このとき、 $q_1q_2\cdots q_n=0$ となる確率を求めよ。

問題文から復元した五角形ABCDE。長方形BCDEの辺BEに、角Aが直角の直角二等辺三角形ABEを長方形の外側につけた形で、OはBEの中点である。

(1)　配点 10点

Oを原点とし、Eが $x$ 軸の正の側、Aが $y$ 軸の正の側にくるように座標をとる。 $\mathrm{OB}=\mathrm{OE}=1$ で、三角形ABEは角Aが直角の直角二等辺三角形なので、中点Oについて $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$、 $\mathrm{OA}\perp\mathrm{BE}$ である。また、長方形BCDEで $\mathrm{BC}=\mathrm{DE}=1$ なので、CとDはBEからAと反対側に1だけ離れている。よって

$$\mathrm{A}(0,\ 1),\quad\mathrm{B}(-1,\ 0),\quad\mathrm{C}(-1,\ -1),\quad\mathrm{D}(1,\ -1),\quad\mathrm{E}(1,\ 0)$$

$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(-1,\ 0)$、 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(-1,\ -1)$ なので

$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(-1)\cdot(-1)+0\cdot(-1)=1$$

答　1

別解（点と点をつなぐ）　 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ で、長方形なので $\mathrm{BC}\perp\mathrm{BE}$、つまり $\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=0$。よって

$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|^2+\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=1+0=1$$

座標を置かなくても、垂直を内積0に翻訳すればすぐに求まる。

(2)　配点 20点

カードはもとに戻すので、1回目と2回目はそれぞれ5通りで、同じ文字を2回引くこともある。全体の場合の数は、順番を区別して $5^2=25$ 通りで、これらは同様に確からしい。

(1) の座標より、5つのベクトルは $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(0,\ 1)$、 $\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(-1,\ 0)$、 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(-1,\ -1)$、 $\overrightarrow{\mathrm{OD}}=(1,\ -1)$、 $\overrightarrow{\mathrm{OE}}=(1,\ 0)$。内積 $\overrightarrow{\mathrm{OP}_1}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}_2}$ を表にすると、次のようになる（行が $\mathrm{P}_1$、列が $\mathrm{P}_2$）。

内積が1になるのは

$$(\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2)=(\mathrm{A},\ \mathrm{A}),\ (\mathrm{B},\ \mathrm{B}),\ (\mathrm{E},\ \mathrm{E}),\ (\mathrm{B},\ \mathrm{C}),\ (\mathrm{C},\ \mathrm{B}),\ (\mathrm{D},\ \mathrm{E}),\ (\mathrm{E},\ \mathrm{D})$$

の7通り。

よって、求める確率は $\dfrac{7}{25}$

答　$\dfrac{7}{25}$

内積が1になるのは、長さ1のベクトルを2回選ぶ場合（A、B、Eを2回）と、(1) と同じ「長さ1と長さ $\sqrt2$ で $45^\circ$」の組（BとC、DとE）の2種類である。表は対称なので、右上半分を数えて2倍し、対角線上を足してもよい。

(3)　配点 20点

$\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}=(-1,\ -1)+(1,\ -1)=(0,\ -2)$ である。 $\mathrm{P}_i$ の座標を $(x_i,\ y_i)$ とすると

$$q_i=0\cdot x_i+(-2)\cdot y_i=-2y_i$$

各頂点での $q_i$ の値は、Aで $-2$、BとEで $0$、CとDで $2$ である。よって $q_i=0$ となるのは、 $\mathrm{P}_i$ がBかEのとき（ $y$ 座標が0の点）だけである。

$\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ はBEに垂直なので、直線BE上の点BとEへのベクトルとの内積だけが0になる。

$q_1q_2\cdots q_n=0$ となるのは、少なくとも1つの $q_i$ が0のとき、つまり $n$ 回のうち少なくとも1回BかEを引くときである。直接数えると、BかEを引く回数が1回から $n$ 回まであり場合分けが多い。そこで余事象「 $n$ 回ともA、C、Dのどれかを引く」を考える。

1回の操作でA、C、Dのどれかを引く確率は $\dfrac35$ で、各回の操作は独立なので、余事象の確率は $\left(\dfrac35\right)^n$。

よって、求める確率は

答　$1-\left(\dfrac35\right)^n$

（確かめ： $n=1$ のとき、BかEを引く確率 $\dfrac25$ と一致する。 $n=2$ のとき、25通りのうち2回ともA、C、Dの $3^2=9$ 通りを除いた16通りで $\dfrac{16}{25}=1-\dfrac{9}{25}$ と一致する）

別解（図形として見る）　CDの中点をMとすると、 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}=2\overrightarrow{\mathrm{OM}}$。長方形の形から $\overrightarrow{\mathrm{OM}}$ は $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ と逆向きで長さ1なので、 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}=-2\overrightarrow{\mathrm{OA}}$。よって $q_i=-2\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}_i}$ で、 $\mathrm{OA}\perp\mathrm{BE}$ より $\mathrm{P}_i$ がBかEのとき0。A、C、Dは直線BE上にないので、内積は0にならない。以下は本解と同じ。

放物線 $C:y=x^2-1$ と $a_1>1$ を満たす実数 $a_1$ を考える。このとき、次の問いに答えよ。

(1) $C$ 上の点 $(a_1,\ {a_1}^2-1)$ における接線と $x$ 軸との交点の $x$ 座標を $a_2$ とするとき、 $a_2$ を $a_1$ を用いて表せ。

(2) (1)で求めた $a_2$ に対して、 $C$ 上の点 $(a_2,\ {a_2}^2-1)$ における接線と $x$ 軸との交点の $x$ 座標を $a_3$ とする。この操作を繰り返してできる数列を $a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$ とする。このとき、すべての $n$ に対して、 $a_n>1$ を示せ。

(3) $b_n=\dfrac12(a_n-1)$ とおくとき、すべての $n$ に対して、 $b_{n+1}<{b_n}^2$ を示せ。

(4) $a_1=2$ のとき、 $b_n<10^{-12}$ となる $n$ の値を1つ求めよ。ただし、必要があれば、 $\log_{10}2$ を $0.301$ として計算してよい。

(1)　配点 10点

$f(x)=x^2-1$ とおくと $f'(x)=2x$ 。点 $(a_1,\ {a_1}^2-1)$ における接線は

$$y=2a_1(x-a_1)+{a_1}^2-1\iff y=2a_1x-{a_1}^2-1$$

$a_1>1$ より $2a_1\neq0$ なので、この接線は $x$ 軸と交わる。 $y=0$ とすると $2a_1x={a_1}^2+1$ より

$$a_2=\frac{{a_1}^2+1}{2a_1}$$

答　$a_2=\dfrac{{a_1}^2+1}{2a_1}$

（確かめ： $a_1=2$ のとき接線は $y=4x-5$ で、 $x$ 軸との交点は $x=\dfrac54$ 。式に入れても $\dfrac{4+1}{4}=\dfrac54$ で一致する）

(2)　配点 12点

(1) と同じ操作なので、 $a_n\neq0$ のとき

$$a_{n+1}=\frac{{a_n}^2+1}{2a_n}\quad\cdots\cdots①$$

である。すべての自然数 $n$ について $a_n>1$ …(☆) が成り立つことを、数学的帰納法で示す。

(i) $n=1$ のとき、 $a_1>1$ より (☆) は成り立つ。

(ii) $n=k$ のとき (☆) が成り立つ、すなわち $a_k>1$ と仮定する。 $a_k\neq0$ なので①より $a_{k+1}$ が定まり

$$a_{k+1}-1=\frac{{a_k}^2+1}{2a_k}-1=\frac{{a_k}^2-2a_k+1}{2a_k}=\frac{(a_k-1)^2}{2a_k}$$

$a_k>1$ より $(a_k-1)^2>0$、 $2a_k>0$ なので $a_{k+1}-1>0$ 。よって $a_{k+1}>1$ で、 $n=k+1$ のときも (☆) は成り立つ。

(i)(ii) より、すべての $n$ に対して $a_n>1$ である。

(3)　配点 13点

$a_n-1=2b_n$ であり、(2) の計算から $a_{n+1}-1=\dfrac{(a_n-1)^2}{2a_n}$ なので

$$b_{n+1}=\frac12(a_{n+1}-1)=\frac{(a_n-1)^2}{4a_n}=\frac{(2b_n)^2}{4a_n}=\frac{{b_n}^2}{a_n}$$

よって

$${b_n}^2-b_{n+1}={b_n}^2-\frac{{b_n}^2}{a_n}=\frac{{b_n}^2(a_n-1)}{a_n}$$

(2) より $a_n>1$ なので $a_n-1>0$、 $a_n>0$ 。また $b_n=\dfrac12(a_n-1)>0$ なので ${b_n}^2>0$ 。したがって ${b_n}^2-b_{n+1}>0$ で、すべての $n$ に対して

$$b_{n+1}<{b_n}^2$$

(4)　配点 15点

$a_1=2$ より $b_1=\dfrac12$ 。(2) より、すべての $n$ で $b_n>0$ である。

$n\geqq2$ のとき、(3) より $b_n<{b_{n-1}}^2$ 。 $b_{n-1}<{b_{n-2}}^2$ の両辺は正なので、2乗しても大小は変わらず ${b_{n-1}}^2<{b_{n-2}}^4$ 。これをくり返すと

$$b_n<{b_{n-1}}^2<{b_{n-2}}^{4}<\cdots<{b_1}^{2^{n-1}}=\left(\frac12\right)^{2^{n-1}}$$

$n=7$ のとき $2^{n-1}=64$ なので、 $b_7<\left(\dfrac12\right)^{64}$ 。右辺の常用対数をとると

$$\log_{10}\left(\frac12\right)^{64}=-64\log_{10}2=-64\times0.301=-19.264<-12$$

よって $\left(\dfrac12\right)^{64}<10^{-12}$ で、 $b_7<\left(\dfrac12\right)^{64}<10^{-12}$ となる。

答　$n=7$

（補足：どの $n$ を答えてもよいが、説明が必要。 $\left(\dfrac12\right)^{2^{n-1}}<10^{-12}$ は $2^{n-1}>\dfrac{12}{0.301}=39.8\cdots$ と同値なので、この評価で言えるのは $n\geqq7$ 。また $0<b_n<1$ より $b_{n+1}<{b_n}^2<b_n$ で $\{b_n\}$ は減少するので、 $n\geqq7$ ならどれでも条件を満たす。実際の値は $b_2=\dfrac18$、 $b_3=\dfrac1{80}$、 $b_4=\dfrac1{6560}$、 $b_5\fallingdotseq2.3\times10^{-8}$、 $b_6\fallingdotseq5.4\times10^{-16}$ で、条件を満たす最小の $n$ は6）

別解（$b_2$ から評価する）　 $a_2=\dfrac54$ より $b_2=\dfrac18$ と直接求めておけば、同じくり返しで $n\geqq3$ のとき $b_n<{b_2}^{2^{n-2}}=\left(\dfrac12\right)^{3\cdot2^{n-2}}$ 。 $n=6$ では $\left(\dfrac12\right)^{48}$ で、 $-48\times0.301=-14.448<-12$ より $b_6<10^{-12}$ 。答えは $n=6$ でもよい。

別解（対数をとって漸化式にする）　 $c_n=\log_{10}b_n$ とおくと、(3) の両辺は正なので常用対数をとって $c_{n+1}<2c_n$ 。これをくり返して $c_n\leqq2^{n-1}c_1=-2^{n-1}\log_{10}2$ （等号は $n=1$ のときだけ）。 $n=7$ で $c_7<-64\times0.301=-19.264<-12$ となり、 $b_7<10^{-12}$ 。