【解説・採点基準付き】2005年九州大学文系数学の解答・解説

$a$ を正の実数とし、点 $\mathrm{A}\left(0,\ a+\dfrac{1}{2a}\right)$ と曲線 $C:y=ax^2\ (x\geqq0)$ を考える。曲線 $C$ 上の点で、点 $\mathrm{A}$ との距離が最小となるものを $\mathrm{P}$ とする。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 点 $\mathrm{P}$ の座標と線分 $\mathrm{AP}$ の長さを求めよ。

(2) 曲線 $C$ と $y$ 軸、および線分 $\mathrm{AP}$ で囲まれる図形の面積 $S(a)$ を求めよ。

(3) $a>0$ のとき、面積 $S(a)$ の最小値を求めよ。また、そのときの $a$ の値を求めよ。

(1)　配点 20点

$C$ 上の点 $(x,\ ax^2)\ (x\geqq0)$ と点 $\mathrm{A}$ の距離を $d$ とすると

$$d^2=x^2+\left\{ax^2-\left(a+\dfrac{1}{2a}\right)\right\}^2$$

$u=x^2$ とおくと、 $x\geqq0$ より $u\geqq0$ である。 $ax^2-a=a(u-1)$ なので

$$d^2=u+\left\{a(u-1)-\dfrac{1}{2a}\right\}^2=u+a^2(u-1)^2-(u-1)+\dfrac{1}{4a^2}=a^2(u-1)^2+1+\dfrac{1}{4a^2}$$

$a^2>0$ で、軸 $u=1$ は範囲 $u\geqq0$ に入るので、 $d^2$ は $u=1$ のときだけ最小になる。 $x\geqq0$ より $x=1$ で、このとき $y=a$ 。よって $\mathrm{P}(1,\ a)$ であり

$$\mathrm{AP}=\sqrt{1+\dfrac{1}{4a^2}}=\sqrt{\dfrac{4a^2+1}{4a^2}}=\dfrac{\sqrt{4a^2+1}}{2a}\quad(a>0\ \text{より})$$

答　$\mathrm{P}(1,\ a)$、 $\mathrm{AP}=\dfrac{\sqrt{4a^2+1}}{2a}$

検算　 $y=ax^2$ の $x=1$ での接線の傾きは $2a$ なので、 $\mathrm{P}(1,\ a)$ における法線は $y=-\dfrac{1}{2a}(x-1)+a$ 。 $x=0$ とすると $y=a+\dfrac{1}{2a}$ となり、法線は点 $\mathrm{A}$ を通る。距離が最小となる点では、線分 $\mathrm{AP}$ が $\mathrm{P}$ における接線に垂直になることと合っている。

(2)　配点 15点

直線 $\mathrm{AP}$ は $\mathrm{A}\left(0,\ a+\dfrac{1}{2a}\right)$、 $\mathrm{P}(1,\ a)$ を通るので、傾きは $a-\left(a+\dfrac{1}{2a}\right)=-\dfrac{1}{2a}$ で

$$y=-\dfrac{1}{2a}x+a+\dfrac{1}{2a}$$

「直線 $-$ 放物線」は $x=1$ で $0$ になるので、 $(1-x)$ でくくれて

$$\left(-\dfrac{1}{2a}x+a+\dfrac{1}{2a}\right)-ax^2=(1-x)\left(ax+a+\dfrac{1}{2a}\right)$$

図から、線分 $\mathrm{AP}$ が上、 $C$ が下にある。よって

$$S(a)=\int_0^1\left\{\left(-\dfrac{1}{2a}x+a+\dfrac{1}{2a}\right)-ax^2\right\}dx$$

$$S(a)=\left[-\dfrac{1}{4a}x^2+\left(a+\dfrac{1}{2a}\right)x-\dfrac{a}{3}x^3\right]_0^1=-\dfrac{1}{4a}+a+\dfrac{1}{2a}-\dfrac{a}{3}=\dfrac23a+\dfrac{1}{4a}$$

答　$S(a)=\dfrac23a+\dfrac{1}{4a}$

検算（台形から放物線の下を引く）　 $\mathrm{O}$、 $\mathrm{A}$、 $\mathrm{P}$、 $(1,\ 0)$ を頂点とする台形の面積は $\dfrac12\left\{\left(a+\dfrac{1}{2a}\right)+a\right\}\cdot1=a+\dfrac{1}{4a}$ 。放物線の下の部分は $\displaystyle\int_0^1ax^2\,dx=\dfrac{a}{3}$ 。差は $a+\dfrac{1}{4a}-\dfrac{a}{3}=\dfrac23a+\dfrac{1}{4a}$ で、本解と一致する。

(3)　配点 15点

$a>0$ より $\dfrac23a>0$、 $\dfrac{1}{4a}>0$ なので、相加平均と相乗平均の関係から

$$S(a)=\dfrac23a+\dfrac{1}{4a}\geqq2\sqrt{\dfrac23a\cdot\dfrac{1}{4a}}=2\sqrt{\dfrac16}=\dfrac{\sqrt6}{3}$$

等号が成り立つのは $\dfrac23a=\dfrac{1}{4a}$ のとき、すなわち $a^2=\dfrac38$ のときで、 $a>0$ より

$$a=\sqrt{\dfrac38}=\dfrac{\sqrt6}{4}$$

この $a$ は $a>0$ をみたすので、等号は実際に成り立つ。

答　最小値 $\dfrac{\sqrt6}{3}$ （ $a=\dfrac{\sqrt6}{4}$ のとき）

検算　 $a=\dfrac{\sqrt6}{4}$ のとき、 $\dfrac23a=\dfrac{\sqrt6}{6}$、 $\dfrac{1}{4a}=\dfrac{1}{\sqrt6}=\dfrac{\sqrt6}{6}$ で2つの項が等しく、和は $\dfrac{\sqrt6}{3}$ 。

別解（数学Ⅲの範囲の微分）　 $S'(a)=\dfrac23-\dfrac{1}{4a^2}=\dfrac{8a^2-3}{12a^2}$ 。 $a>0$ では $S'(a)$ の符号は $8a^2-3$ の符号と同じで、 $0<a<\dfrac{\sqrt6}{4}$ で負、 $a>\dfrac{\sqrt6}{4}$ で正。よって $S(a)$ は $a=\dfrac{\sqrt6}{4}$ で最小値 $\dfrac{\sqrt6}{3}$ をとる。文系の範囲（数学Ⅱ）では $\dfrac1a$ の形の関数の微分は扱わないので、相加平均≧相乗平均が本解になる。

$t$ を実数とするとき、2次方程式 $z^2+tz+t=0$ について、次の問いに答えよ。

(1) この2次方程式が異なる2つの虚数解をもつような $t$ の範囲と、そのときの虚数解をすべて求めよ。

(2) (1) の虚数解のうち、その虚部が正のものを $z(t)$ で表す。 $t$ が (1) で求めた範囲を動くとき、複素数平面上で点 $z(t)$ が書く図形 $C$ を求め、図示せよ。

(3) 複素数平面上で、点 $z$ が (2) の図形 $C$ 上を動くとき、 $w=\dfrac{iz}{z+1}$ で表される点 $w$ が書く図形を求め、図示せよ。

(1)　配点 15点

判別式を $D$ とすると、 $D=t^2-4t=t(t-4)$ である。

異なる2つの虚数解をもつのは $D<0$ のときなので、 $t(t-4)<0$ を解いて

$$0<t<4$$

このとき $\sqrt D=\sqrt{4t-t^2}\,i$ なので、解の公式から

$$z=\dfrac{-t\pm\sqrt{4t-t^2}\,i}{2}$$

答　$0<t<4$、虚数解は $z=\dfrac{-t\pm\sqrt{4t-t^2}\,i}{2}$

(2)　配点 15点

虚部が正のほうの解を、 $z(t)=x+yi$ （ $x$、 $y$ は実数）とおく。(1) より

$$x=-\dfrac t2,\quad y=\dfrac{\sqrt{4t-t^2}}{2}>0$$

$y$ の式を2乗して4倍すると $4y^2=4t-t^2$。ここへ $t=-2x$ を代入して

$$4y^2=-8x-4x^2$$

整理すると

$$(x+1)^2+y^2=1$$

$0<t<4$ と $x=-\dfrac t2$ から $-2<x<0$。さらに $y>0$ である。

答　$C$ は、点 $-1$ を中心とする半径1の円 $|z+1|=1$ の上半分（虚部が正の部分）で、両端の点 $0$、 $-2$ は含まない

(3)　配点 20点

$u=z+1$ とおく。 $z$ は $C$ 上にあるので、(2) より $|u|=1$ で、 $u$ の虚部は正である。 $z=u-1$ を代入して

$$w=\dfrac{i(u-1)}{u}=i\left(1-\dfrac1u\right)$$

$|u|=1$ から $u\bar u=1$ なので、 $\dfrac1u=\bar u$ となり

$$w=i(1-\bar u)$$

$u=\cos\varphi+i\sin\varphi\ (0<\varphi<\pi)$ とおくと、 $\bar u=\cos\varphi-i\sin\varphi$ だから

$$w=i(1-\cos\varphi+i\sin\varphi)=-\sin\varphi+(1-\cos\varphi)\,i$$

$w=X+Yi$ とおくと、 $X=-\sin\varphi$、 $Y=1-\cos\varphi$。したがって

$$X^2+(Y-1)^2=\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1$$

これは、 $w$ が点 $i$ を中心とする半径1の円の上にあることを表す。

$0<\varphi<\pi$ より $X=-\sin\varphi<0$。また、 $\varphi$ が $0$ から $\pi$ まで動くと、 $Y=1-\cos\varphi$ は $0$ から $2$ まで増える。つまり $w$ は、原点のそばを出て、点 $-1+i$ を通り、点 $2i$ のそばまで進む。

答　$w$ が描く図形は、点 $i$ を中心とする半径1の円 $|w-i|=1$ の左半分（実部が負の部分）で、両端の点 $0$、 $2i$ は含まない

(3)の別解（実数の計算だけで解く）

$u=z+1=p+qi$ （ $p$、 $q$ は実数）とおく。(2) の結果から $p^2+q^2=1$、 $q>0$ である。このとき

$$\dfrac1u=\dfrac{p-qi}{p^2+q^2}=p-qi$$

なので

$$w=i\left(1-\dfrac1u\right)=i(1-p+qi)=-q+(1-p)\,i$$

$w=X+Yi$ とおくと $X=-q$、 $Y=1-p$ だから

$$X^2+(Y-1)^2=q^2+p^2=1$$

$q>0$ から $X<0$。また $p$ は $-1<p<1$ のすべての値をとるので、 $Y=1-p$ も $0<Y<2$ のすべての値をとる。よって、左半分の半円（両端を除く）のすべての点が現れる。

実数 $x$ に対して、 $[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表す。例えば、 $\left[\dfrac32\right]=1$、 $[2]=2$ である。このとき、 $0^\circ<\theta<180^\circ$ として次の問いに答えよ。ただし、必要なら $\sin\alpha=\dfrac{1}{2\sqrt2}$ となる角 $\alpha\ (0^\circ<\alpha<90^\circ)$ を用いてよい。

(1) 不等式 $\log_2\left[\dfrac52+\cos\theta\right]\leqq1$ を満たす $\theta$ の範囲を求めよ。

(2) 不等式 $\left[\dfrac32+\log_2\sin\theta\right]\geqq1$ を満たす $\theta$ の範囲を求めよ。

(3) 不等式 $\log_2\left[\dfrac52+\cos\theta\right]\leqq0\leqq\left[\dfrac32+\log_2\sin\theta\right]$ を満たす $\theta$ の範囲を求めよ。

(1)　配点 15点

$N=\left[\dfrac52+\cos\theta\right]$ とおく。 $0^\circ<\theta<180^\circ$ より $-1<\cos\theta<1$ なので

$$\frac32<\frac52+\cos\theta<\frac72$$

よって $N$ は $1,\ 2,\ 3$ のどれかである。

・$N=1$ 　 $\dfrac32<\dfrac52+\cos\theta<2$ 、すなわち $\cos\theta<-\dfrac12$ のとき。 $120^\circ<\theta<180^\circ$

・$N=2$ 　 $2\leqq\dfrac52+\cos\theta<3$ 、すなわち $-\dfrac12\leqq\cos\theta<\dfrac12$ のとき。 $60^\circ<\theta\leqq120^\circ$

・$N=3$ 　 $3\leqq\dfrac52+\cos\theta<\dfrac72$ 、すなわち $\cos\theta\geqq\dfrac12$ のとき。 $0^\circ<\theta\leqq60^\circ$

$N\geqq1>0$ なので $\log_2N$ は定義される。底2は1より大きいので

$$\log_2N\leqq1=\log_22\iff N\leqq2$$

$N=1$ または $N=2$ の範囲を合わせて

答　$60^\circ<\theta<180^\circ$

$\theta=60^\circ$ のときは $\dfrac52+\cos\theta=3$ で $N=3$ 、 $\log_23>1$ なので含まない。 $\theta=120^\circ$ のときは $\dfrac52+\cos\theta=2$ で $N=2$ 、 $\log_22=1$ なので含む。

別解（ $[x]\leqq2\iff x<3$ で一気に外す）　 $N\leqq2$ までは本解と同じ。 $[x]$ は整数で $[x]\leqq x<[x]+1$ なので、 $[x]\leqq2$ ならば $x<[x]+1\leqq3$ 。逆に $x<3$ ならば $[x]\leqq x<3$ で $[x]$ は整数なので $[x]\leqq2$ 。よって $[x]\leqq2\iff x<3$ で

$$N\leqq2\iff\frac52+\cos\theta<3\iff\cos\theta<\frac12\iff60^\circ<\theta<180^\circ$$

速く解けるが、等号の付け方（ $x\leqq3$ ではなく $x<3$ ）を間違えやすい。値の表を書く本解は (3) でもそのまま使える。

(2)　配点 15点

$x=\dfrac32+\log_2\sin\theta$ とおく（ $0^\circ<\theta<180^\circ$ で $\sin\theta>0$ なので、 $\log_2\sin\theta$ は定義される）。

$[x]\geqq1$ ならば $x\geqq[x]\geqq1$ 。逆に $x\geqq1$ ならば、1は $x$ を超えない整数なので、その最大の $[x]$ は1以上である。よって

$$[x]\geqq1\iff x\geqq1$$

$$\frac32+\log_2\sin\theta\geqq1\iff\log_2\sin\theta\geqq-\frac12=\log_22^{-\frac12}$$

底2は1より大きいので

$$\sin\theta\geqq2^{-\frac12}=\frac{1}{\sqrt2}$$

$0^\circ<\theta<180^\circ$ でこれを満たすのは

答　$45^\circ\leqq\theta\leqq135^\circ$

(3)　配点 20点

不等式は、 $\log_2N\leqq0$ …① と $0\leqq\left[\dfrac32+\log_2\sin\theta\right]$ …② の連立である。

①：底2は1より大きいので $\log_2N\leqq0=\log_21\iff N\leqq1$ 。(1) より $N\geqq1$ なので $N=1$ で、(1) の場合分けから

$$120^\circ<\theta<180^\circ$$

②： $x=\dfrac32+\log_2\sin\theta$ とおく。(2) と同様に、 $[x]\geqq0$ ならば $x\geqq[x]\geqq0$ 、逆に $x\geqq0$ ならば0は $x$ を超えない整数なので $[x]\geqq0$ 。よって $[x]\geqq0\iff x\geqq0$ で

$$\begin{aligned}&\frac32+\log_2\sin\theta\geqq0\\&\iff\log_2\sin\theta\geqq-\frac32\\&\iff\sin\theta\geqq2^{-\frac32}=\frac{1}{2\sqrt2}=\sin\alpha\end{aligned}$$

$0^\circ<\alpha<90^\circ$ なので、 $0^\circ<\theta<180^\circ$ でこれを満たすのは

$$\alpha\leqq\theta\leqq180^\circ-\alpha$$

ここで $\sin\alpha=\dfrac{1}{2\sqrt2}<\dfrac12=\sin30^\circ$ で、 $0^\circ<\theta<90^\circ$ では $\sin\theta$ は増加するので $\alpha<30^\circ$ 。よって、 $180^\circ-\alpha$ は $150^\circ$ より大きく、 $120^\circ$ を超える。

①と②の範囲を重ねて

答　$120^\circ<\theta\leqq180^\circ-\alpha$

（確かめ： $\alpha\fallingdotseq20.7^\circ$ で、 $\theta=150^\circ$ のとき $N=1$ 、 $\sin\theta=\dfrac12$ で $\dfrac32+\log_2\dfrac12=\dfrac12$ 、右辺は0なので成り立つ。 $\theta=170^\circ$ のときは $\sin\theta\fallingdotseq0.17<\dfrac{1}{2\sqrt2}$ で右辺は負になり、成り立たない）

1つのさいころを4回投げて、出た目の数を順に $x_1$、 $x_2$、 $x_3$、 $x_4$ とする。このとき次の問いに答えよ。

(1) $x_1<x_2$ となる確率を求めよ。

(2) $x_1<x_2<x_3$ となる確率を求めよ。

(3) $x_1<x_2$ かつ $x_2\geqq x_3$ となる確率を求めよ。

(4) $x_k\geqq x_{k+1}$ となる最小の自然数 $k$ の期待値を求めよ。ただし、 $x_1<x_2<x_3<x_4$ のときは $k=4$ と定める。

さいころの目の出方は、どの回も1〜6の6通りが同様に確からしい。各小問では関係する回の目だけを考え、全体を $6^n$ 通り（ $n$ は関係する回数）として数える。

(1)　配点 10点

$x_1$、 $x_2$ の目の出方は全部で $6^2=36$ 通り。

1〜6から異なる2つの数を選び、小さい方を $x_1$ 、大きい方を $x_2$ とすれば、 $x_1<x_2$ となる組が1つ決まる。逆に $x_1<x_2$ となる組からは、選んだ2つの数が1つに決まる。よって、 $x_1<x_2$ となる組は ${}_6\mathrm{C}_2=15$ 通り。

求める確率は

$$\dfrac{15}{36}=\dfrac{5}{12}$$

答　$\dfrac{5}{12}$

（確かめ： $x_1=x_2$ となる確率は $\dfrac{6}{36}=\dfrac16$ 。 $x_1<x_2$ と $x_1>x_2$ は対称性より同じ確率なので、 $\dfrac12\left(1-\dfrac16\right)=\dfrac{5}{12}$ で一致する）

(2)　配点 10点

$x_1$、 $x_2$、 $x_3$ の目の出方は全部で $6^3=216$ 通り。

1〜6から異なる3つの数を選び、小さい順に $x_1$、 $x_2$、 $x_3$ とすれば、 $x_1<x_2<x_3$ となる組が1つ決まり、逆も1つに決まる。

よって、 $x_1<x_2<x_3$ となる組は ${}_6\mathrm{C}_3=20$ 通り。

求める確率は

$$\dfrac{20}{216}=\dfrac{5}{54}$$

答　$\dfrac{5}{54}$

(3)　配点 12点

$x_1$、 $x_2$、 $x_3$ の目の出方 216 通りで考える。

「 $x_2\geqq x_3$ 」は「 $x_2<x_3$ でない」ことなので、「 $x_1<x_2$ かつ $x_2\geqq x_3$ 」となるのは、「 $x_1<x_2$ 」となる場合から「 $x_1<x_2<x_3$ 」となる場合を除いたものである。

「 $x_1<x_2$ 」となるのは、 $x_1$、 $x_2$ が (1) の15通りのどれかで、 $x_3$ は何でもよいので

$$15\times6=90\ \text{通り}$$

このうち「 $x_1<x_2<x_3$ 」となるのは (2) の20通り。

よって、求める場合は $90-20=70$ 通りで、確率は

$$\dfrac{70}{216}=\dfrac{35}{108}$$

答　$\dfrac{35}{108}$

（確かめ：確率で書くと $\dfrac{5}{12}-\dfrac{5}{54}=\dfrac{45}{108}-\dfrac{10}{108}=\dfrac{35}{108}$ で一致する）

(4)　配点 18点

$k$ は、目が初めて増えなくなる位置である。 $x_1<x_2<x_3<x_4$ のときは $k=4$ と定めるので、 $k$ のとりうる値は $1,\ 2,\ 3,\ 4$ で、それぞれ次の状況になる。

4回の目の出方 $6^4=1296$ 通りで考えてもよいが、各値の確率は、関係する回の目だけで求める。

$k=1$ ：「 $x_1\geqq x_2$ 」は「 $x_1<x_2$ でない」ことなので、(1) の余事象で

$$P(k=1)=1-\dfrac{5}{12}=\dfrac{7}{12}$$

$k=2$ ：(3) そのものなので

$$P(k=2)=\dfrac{35}{108}$$

$k=3$ ：(3) と同じ考え方で、「 $x_1<x_2<x_3$ 」となる場合（ $x_1$、 $x_2$、 $x_3$ が (2) の20通りのどれかで、 $x_4$ は何でもよいので $20\times6=120$ 通り）から、「 $x_1<x_2<x_3<x_4$ 」となる場合（1〜6から異なる4つを選ぶ ${}_6\mathrm{C}_4=15$ 通り）を除いて $105$ 通り。よって

$$P(k=3)=\dfrac{105}{1296}=\dfrac{35}{432}$$

$k=4$ ：1〜6から異なる4つを選び、小さい順に並べるので ${}_6\mathrm{C}_4=15$ 通り。よって

$$P(k=4)=\dfrac{15}{1296}=\dfrac{5}{432}$$

分母を432にそろえると

$$P(k=1)=\dfrac{252}{432},\quad P(k=2)=\dfrac{140}{432},\quad P(k=3)=\dfrac{35}{432},\quad P(k=4)=\dfrac{5}{432}$$

で、和は $\dfrac{252+140+35+5}{432}=1$ となり、確率の和が1になることが確かめられる。

求める期待値は

$$1\cdot\dfrac{252}{432}+2\cdot\dfrac{140}{432}+3\cdot\dfrac{35}{432}+4\cdot\dfrac{5}{432}=\dfrac{252+280+105+20}{432}=\dfrac{657}{432}=\dfrac{73}{48}$$

答　$\dfrac{73}{48}$

別解（(4) を「 $k$ が $j$ 以上になる確率」の和で求める）　 $k\geqq j$ （ $j=1,\ 2,\ 3,\ 4$ ）となるのは、目が $x_j$ まで増え続けるとき、すなわち $x_1<x_2<\cdots<x_j$ のときである（ $j=1$ のときは必ず起こる）。期待値は

$$1\cdot P(k=1)+2\cdot P(k=2)+3\cdot P(k=3)+4\cdot P(k=4)=P(k\geqq1)+P(k\geqq2)+P(k\geqq3)+P(k\geqq4)$$

と書きかえられる（ $P(k=j)$ が $P(k\geqq1)$ から $P(k\geqq j)$ までの $j$ 個に1回ずつ含まれるため）。よって

$$1+\dfrac{{}_6\mathrm{C}_2}{6^2}+\dfrac{{}_6\mathrm{C}_3}{6^3}+\dfrac{{}_6\mathrm{C}_4}{6^4}=1+\dfrac{5}{12}+\dfrac{5}{54}+\dfrac{5}{432}=\dfrac{432+180+40+5}{432}=\dfrac{657}{432}=\dfrac{73}{48}$$

検算　4回の目の出方 1296 通りをすべて書き出して数えると、 $x_1<x_2$ は540通り、 $x_1<x_2<x_3$ は120通り、「 $x_1<x_2$ かつ $x_2\geqq x_3$ 」は420通りで、それぞれ $\dfrac{540}{1296}=\dfrac{5}{12}$、 $\dfrac{120}{1296}=\dfrac{5}{54}$、 $\dfrac{420}{1296}=\dfrac{35}{108}$ 。 $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$ となるのは順に756通り、420通り、105通り、15通り（合計1296通り）で、 $k$ の値の合計は $756+840+315+60=1971$ 。期待値は $\dfrac{1971}{1296}=\dfrac{73}{48}$ で、すべて一致する。