【解説・採点基準付き】2006年九州大学文系数学の解答・解説

曲線 $C:y=x^2$ 上に点 $\mathrm{P}(t,t^2)$ をとり、点Pにおける曲線 $C$ の接線を $l$、点Pを通り $l$ に垂直な直線を $m$ とする。ただし、 $t>0$ とする。接線 $l$ と $x$ 軸との交点をQとし、直線 $m$ と $x$ 軸、 $y$ 軸との交点をそれぞれ $\mathrm{R}_1$、 $\mathrm{R}_2$ とする。また、 $\triangle\mathrm{PQR}_1$ の面積を $S_1$ とし、曲線 $C$ と $y$ 軸および線分 $\mathrm{PR}_2$ で囲まれる図形の面積を $S_2$ とする。このとき次の問いに答えよ。

(1) 点Qと点 $\mathrm{R}_1$ の $x$ 座標を $t$ を用いて表せ。

(2) 面積 $S_2$ を $t$ を用いて表せ。

(3) $S_1>S_2$ が成り立つ $t$ の範囲を求めよ。

(1)　配点 15点

$y=x^2$ より $y’=2x$ なので、点 $\mathrm{P}(t,\ t^2)$ における接線 $l$ は

$$y=2t(x-t)+t^2\quad\text{すなわち}\quad y=2tx-t^2$$

$y=0$ とすると $2tx=t^2$ で、 $t>0$ より

$$x=\dfrac{t}{2}$$

$l$ の傾きは $2t$ なので、 $\mathrm{P}$ を通り $l$ に垂直な直線 $m$ は、傾きをかけて $-1$ になる直線で

$$2t(y-t^2)=-(x-t)\quad\cdots①$$

と書ける。

①で $y=0$ とすると $-2t^3=-(x-t)$ より

$$x=2t^3+t$$

答　Qの $x$ 座標 $\dfrac{t}{2}$ 、 $\mathrm{R}_1$ の $x$ 座標 $2t^3+t$

また、①で $x=0$ とすると $2t(y-t^2)=t$ より $y=t^2+\dfrac12$ 。よって $\mathrm{R}_2\left(0,\ t^2+\dfrac12\right)$ である（(2) で使う）。

検算　 $t=1$ のとき、接線は $y=2x-1$ でQの $x$ 座標は $\dfrac12$ 。①は $2(y-1)=-(x-1)$ で、 $y=0$ とすると $x=3=2\cdot1^3+1$ 、 $x=0$ とすると $y=\dfrac32=1^2+\dfrac12$ 。 $l$ の傾き $2$ と $m$ の傾き $-\dfrac12$ の積は $-1$ で、垂直になっている。

(2)　配点 20点

①を $y$ について解くと

$$m:y=-\dfrac{1}{2t}x+t^2+\dfrac12$$

「直線 $-$ 放物線」は $x=t$ で $0$ になる（ $\mathrm{P}$ が $m$ と $C$ の両方の上にある）ので、 $(t-x)$ でくくれて

$$\left(-\dfrac{1}{2t}x+t^2+\dfrac12\right)-x^2=(t-x)\left(x+t+\dfrac{1}{2t}\right)$$

$0\leqq x\leqq t$ では $t-x\geqq0$、 $x+t+\dfrac{1}{2t}>0$ なので、これは $0$ 以上で、線分 $\mathrm{PR}_2$ が上、 $C$ が下にある。よって

$$S_2=\int_0^t\left\{\left(-\dfrac{1}{2t}x+t^2+\dfrac12\right)-x^2\right\}dx$$

$$S_2=\left[-\dfrac{1}{4t}x^2+\left(t^2+\dfrac12\right)x-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^t=-\dfrac{t}{4}+t^3+\dfrac{t}{2}-\dfrac{t^3}{3}=\dfrac23t^3+\dfrac{t}{4}$$

答　$S_2=\dfrac23t^3+\dfrac{t}{4}$

検算（台形から放物線の下を引く）　 $\mathrm{O}$、 $\mathrm{R}_2$、 $\mathrm{P}$、 $(t,\ 0)$ を頂点とする台形の面積は $\dfrac12\left\{\left(t^2+\dfrac12\right)+t^2\right\}\cdot t=t^3+\dfrac{t}{4}$ 。放物線の下の部分は $\displaystyle\int_0^tx^2\,dx=\dfrac{t^3}{3}$ 。差は $t^3+\dfrac{t}{4}-\dfrac{t^3}{3}=\dfrac23t^3+\dfrac{t}{4}$ で、本解と一致する。

(3)　配点 15点

(1) より $0<\dfrac{t}{2}<2t^3+t$ で、三角形 $\mathrm{PQR}_1$ は底辺 $\mathrm{QR}_1$ が $x$ 軸上にあり、高さは $\mathrm{P}$ の $y$ 座標 $t^2$ である。底辺は $\mathrm{QR}_1=(2t^3+t)-\dfrac{t}{2}=2t^3+\dfrac{t}{2}$ なので

$$S_1=\dfrac12\left(2t^3+\dfrac{t}{2}\right)t^2=t^5+\dfrac{t^3}{4}$$

$S_1>S_2$ は $S_1-S_2>0$ と同じである。

$$S_1-S_2=t^5+\dfrac{t^3}{4}-\dfrac23t^3-\dfrac{t}{4}=t^5-\dfrac{5}{12}t^3-\dfrac{t}{4}=\dfrac{t}{12}(12t^4-5t^2-3)$$

$t>0$ より $\dfrac{t}{12}>0$ なので、 $S_1>S_2$ は $12t^4-5t^2-3>0$ と同じである。左辺は $t^2$ の2次式なので

$$12t^4-5t^2-3=(4t^2-3)(3t^2+1)$$

$3t^2+1>0$ なので、 $4t^2-3>0$ 、すなわち $t^2>\dfrac34$ 。 $t>0$ と合わせて

答　$t>\dfrac{\sqrt3}{2}$

検算　 $t=\dfrac{\sqrt3}{2}$ のとき $t^2=\dfrac34$ 、 $t^3=\dfrac{3\sqrt3}{8}$ 、 $t^5=\dfrac{9\sqrt3}{32}$ で、 $S_1=\dfrac{9\sqrt3}{32}+\dfrac{3\sqrt3}{32}=\dfrac{3\sqrt3}{8}$ 、 $S_2=\dfrac{\sqrt3}{4}+\dfrac{\sqrt3}{8}=\dfrac{3\sqrt3}{8}$ で等しい。 $t=1$ のときは $S_1=\dfrac54$ 、 $S_2=\dfrac{11}{12}$ で $S_1>S_2$ となり、答えと合う。

2つの数列 $\{a_n\}$、 $\{b_n\}$ は、 $a_1=b_1=1$ および、関係式

$$a_{n+1}=2a_nb_n,\qquad b_{n+1}=2a_n^2+b_n^2$$

をみたすものとする。

(1) $n\geqq3$ のとき、 $a_n$ は3で割り切れるが、 $b_n$ は3で割り切れないことを示せ。

(2) $n\geqq2$ のとき、 $a_n$ と $b_n$ は互いに素であることを示せ。

(1)　配点 20点

最初の項を計算すると、 $a_2=2$、 $b_2=3$、 $a_3=2\cdot2\cdot3=12$、 $b_3=2\cdot2^2+3^2=17$ である。

$n\geqq3$ について「 $a_n$ は3の倍数で、 $b_n$ は3の倍数でない」…(＊) を、数学的帰納法で証明する。以下の合同式は、すべて3を法とする。

(i) $n=3$ のとき　 $a_3=12=3\cdot4$、 $b_3=17=3\cdot5+2$ より、(＊) は成り立つ。

(ii) $n=k$（ $k\geqq3$）のとき　(＊) が成り立つと仮定する。このとき $a_k\equiv0$ であり、 $b_k\equiv1$ か $b_k\equiv2$ のどちらかである。まず

$$a_{k+1}=2a_kb_k\equiv2\cdot0\cdot b_k=0$$

となるので、 $a_{k+1}$ は3の倍数である。

次に $b_{k+1}$ を調べる。 $b_k\equiv1$ なら $b_k^2\equiv1$、 $b_k\equiv2$ なら $b_k^2\equiv4\equiv1$ で、どちらの場合も $b_k^2\equiv1$ となる。したがって

$$b_{k+1}=2a_k^2+b_k^2\equiv2\cdot0+1=1$$

となり、 $b_{k+1}$ は3の倍数でない。これで $n=k+1$ のときも (＊) が成り立つ。

(i)(ii) から、 $n\geqq3$ のすべての $n$ について、 $a_n$ は3で割り切れ、 $b_n$ は3で割り切れない。

(2)　配点 30点

まず、すべての $n$ で $a_n$、 $b_n$ が自然数であることを確かめる。 $a_1=b_1=1$ は自然数で、 $a_n$、 $b_n$ が自然数なら $a_{n+1}=2a_nb_n$、 $b_{n+1}=2a_n^2+b_n^2$ も自然数になるからである。

小さい $n$ で実験すると、次の表のようになり、 $n\geqq2$ で $b_n^2-2a_n^2=1$ が続きそうだと見当がつく。

この見当を示すために、 $c_n=b_n^2-2a_n^2$ とおいて $c_{n+1}$ を計算する。漸化式を代入すると

$$\begin{aligned}c_{n+1}&=\left(2a_n^2+b_n^2\right)^2-2\left(2a_nb_n\right)^2\\&=b_n^4-4a_n^2b_n^2+4a_n^4\\&=\left(b_n^2-2a_n^2\right)^2=c_n^2\end{aligned}$$

$c_1=-1$ なので $c_2=(-1)^2=1$。 $k\geqq2$ で $c_k=1$ と仮定すると $c_{k+1}=1^2=1$ となるので、帰納法により、 $n\geqq2$ のとき

$$b_n^2-2a_n^2=1\quad\cdots\text{①}$$

が成り立つ。

最後に、 $n\geqq2$ として、 $a_n$ と $b_n$ の最大公約数を $g$ とおく。 $a_n=sg$、 $b_n=tg$（ $s$、 $t$ は自然数）と書けるので、これを①に代入すると

$$g^2\left(t^2-2s^2\right)=1$$

$g^2$ は正の整数、 $t^2-2s^2$ は整数なので $g^2=1$ 。 $g>0$ より $g=1$ となり、 $n\geqq2$ のとき $a_n$ と $b_n$ は互いに素である。

別解（共通の素因数を仮定する）　 $n\geqq1$ のすべての $n$ で $a_n$ と $b_n$ が互いに素であることを、帰納法で示す（ $n\geqq2$ の部分が答えになる）。

まず、 $b_1=1$ は奇数で、 $b_n$ が奇数なら $b_{n+1}=2a_n^2+b_n^2$ も奇数なので、 $b_n$ はいつでも奇数である。

$n=1$ では $a_1=b_1=1$ で互いに素。 $n=k$ のとき $a_k$ と $b_k$ が互いに素だと仮定し、 $a_{k+1}$ と $b_{k+1}$ に共通の素因数 $p$ があるとして矛盾を導く。 $b_{k+1}$ は奇数なので $p\neq2$ 。 $p$ は $a_{k+1}=2a_kb_k$ の約数でもあるから、 $p$ は $a_k$ か $b_k$ の約数である。

・$p$ が $a_k$ の約数のとき　 $b_k^2=b_{k+1}-2a_k^2$ が $p$ の倍数になり、 $p$ は $b_k$ の約数でもある

・$p$ が $b_k$ の約数のとき　 $2a_k^2=b_{k+1}-b_k^2$ が $p$ の倍数になり、 $p\neq2$ から $p$ は $a_k$ の約数でもある

どちらの場合も $p$ が $a_k$ と $b_k$ の共通の素因数になってしまい、仮定に反する。したがって $a_{k+1}$ と $b_{k+1}$ も互いに素で、帰納法により結論が出る。

空間ベクトル $\vec a$、 $\vec b$、 $\vec c$ について次の問いに答えよ。ただし、 $h$ と $k$ は実数とする。

(1) $h\vec a+\vec b$ が $\vec a$ と垂直であるとき、すべての実数 $x$ に対して、

$$|x\vec a+\vec b|\geqq|h\vec a+\vec b|$$

が成り立つことを示せ。ただし、 $\vec 0$ はすべてのベクトルと垂直であるとする。

(2) $h\vec a+k\vec b+\vec c$ が $\vec a$、 $\vec b$ のいずれとも垂直であるとき、すべての実数 $x$、 $y$ に対して、

$$|x\vec a+y\vec b+\vec c|\geqq|h\vec a+k\vec b+\vec c|$$

が成り立つことを示せ。

(3) $\vec a=(1,1,1)$、 $\vec b=(1,4,-2)$、 $\vec c=(-3,-6,6)$ とするとき、 $|x\vec a+y\vec b+\vec c|$ の最小値を与える実数 $x$、 $y$ と、そのときの最小値を求めよ。

(1)　配点 15点

$h\vec a+\vec b$ が $\vec a$ と垂直なので

$$(h\vec a+\vec b)\cdot\vec a=0$$

である（ $h\vec a+\vec b=\vec 0$ のときも、問題の約束により成り立つ）。

すべての実数 $x$ に対して

$$x\vec a+\vec b=(h\vec a+\vec b)+(x-h)\vec a$$

と表せる。

両辺の大きさを2乗して展開すると

$$\begin{aligned}|x\vec a+\vec b|^2&=|h\vec a+\vec b|^2+2(x-h)(h\vec a+\vec b)\cdot\vec a+(x-h)^2|\vec a|^2\\&=|h\vec a+\vec b|^2+(x-h)^2|\vec a|^2\end{aligned}$$

$(x-h)^2|\vec a|^2\geqq0$ なので $|x\vec a+\vec b|^2\geqq|h\vec a+\vec b|^2$ 。 $|x\vec a+\vec b|\geqq0$、 $|h\vec a+\vec b|\geqq0$ なので

$$|x\vec a+\vec b|\geqq|h\vec a+\vec b|$$

が成り立つ。（証明終）

図で見ると、Qは直線上を動き、OHとHQが垂直なので三平方の定理 $\mathrm{OQ}^2=\mathrm{OH}^2+\mathrm{HQ}^2$ が成り立つ。上の計算はこれをベクトルで書いたもので、最小になるのはQがHに一致するとき（ $x=h$ ）である。

別解（2乗して $x$ の2次関数として平方完成）　垂直の条件から $h|\vec a|^2+\vec a\cdot\vec b=0$、すなわち $\vec a\cdot\vec b=-h|\vec a|^2$。これを使うと

$$|x\vec a+\vec b|^2=|\vec a|^2x^2+2(\vec a\cdot\vec b)x+|\vec b|^2=|\vec a|^2x^2-2h|\vec a|^2x+|\vec b|^2=|\vec a|^2(x-h)^2+|\vec b|^2-h^2|\vec a|^2$$

$$|h\vec a+\vec b|^2=h^2|\vec a|^2+2h(\vec a\cdot\vec b)+|\vec b|^2=|\vec b|^2-h^2|\vec a|^2$$

よって $|x\vec a+\vec b|^2-|h\vec a+\vec b|^2=|\vec a|^2(x-h)^2\geqq0$ で、同じ結論になる。

(2)　配点 15点

$\vec w=h\vec a+k\vec b+\vec c$ とおく。 $\vec w$ は $\vec a$、 $\vec b$ のいずれとも垂直なので

$$\vec w\cdot\vec a=0,\qquad\vec w\cdot\vec b=0$$

すべての実数 $x$、 $y$ に対して、 $\vec u=(x-h)\vec a+(y-k)\vec b$ とおくと

$$x\vec a+y\vec b+\vec c=\vec w+\vec u$$

と表せる。

$$\vec w\cdot\vec u=(x-h)(\vec w\cdot\vec a)+(y-k)(\vec w\cdot\vec b)=0$$

なので、 $\vec w$ と $\vec u$ も垂直である。

両辺の大きさを2乗して展開すると

$$|x\vec a+y\vec b+\vec c|^2=|\vec w|^2+2\vec w\cdot\vec u+|\vec u|^2=|\vec w|^2+|\vec u|^2\geqq|\vec w|^2$$

大きさは0以上なので

$$|x\vec a+y\vec b+\vec c|\geqq|h\vec a+k\vec b+\vec c|$$

が成り立つ。（証明終）

図で見ると、Qは平面上を動き、OHはこの平面に垂直なので、 $\mathrm{OQ}^2=\mathrm{OH}^2+\mathrm{HQ}^2$ となる。(1) の「直線」が「平面」にかわっただけで、証明の流れは同じである。

(3)　配点 20点

$\vec w=h\vec a+k\vec b+\vec c$ を成分で表すと

$$\vec w=(h+k-3,\ h+4k-6,\ h-2k+6)$$

$\vec w$ が $\vec a$、 $\vec b$ のいずれとも垂直になる条件は

$$\vec w\cdot\vec a=(h+k-3)+(h+4k-6)+(h-2k+6)=3h+3k-3=0$$

$$\vec w\cdot\vec b=(h+k-3)+4(h+4k-6)-2(h-2k+6)=3h+21k-39=0$$

3でくくって $h+k=1$、 $h+7k=13$。これを解いて

$$h=-1,\qquad k=2$$

このとき

$$\vec w=-\vec a+2\vec b+\vec c=(-2,\ 1,\ 1),\qquad|\vec w|=\sqrt{4+1+1}=\sqrt6$$

（確かめ： $\vec w\cdot\vec a=-2+1+1=0$、 $\vec w\cdot\vec b=-2+4-2=0$）

(2) より、すべての実数 $x$、 $y$ に対して $|x\vec a+y\vec b+\vec c|\geqq\sqrt6$ で、等号は $x=-1$、 $y=2$ のときに成り立つ。さらに (2) の計算から

$$|x\vec a+y\vec b+\vec c|^2=6+|(x+1)\vec a+(y-2)\vec b|^2$$

で、 $\vec a$ と $\vec b$ は平行でないので、 $(x+1)\vec a+(y-2)\vec b=\vec 0$ となるのは $x=-1$、 $y=2$ のときだけである。よって最小値を与える $x$、 $y$ はこの1組に限る。

答　$x=-1$、 $y=2$ のとき最小値 $\sqrt6$

図で見ると、Qの動く平面は、Cを通り $\vec w=(-2,1,1)$ に垂直な平面 $-2(x+3)+(y+6)+(z-6)=0$、すなわち $-2x+y+z=6$ である。最小値 $\sqrt6$ は、原点Oからこの平面までの距離 $\dfrac{|-6|}{\sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}}=\sqrt6$ と一致し、垂線の足は $\mathrm{H}(-2,\ 1,\ 1)$ である。

別解（2変数の2次式として1文字固定法）　(2) を使わずに直接計算してもよい。 $|\vec a|^2=3$、 $|\vec b|^2=21$、 $|\vec c|^2=81$、 $\vec a\cdot\vec b=3$、 $\vec a\cdot\vec c=-3$、 $\vec b\cdot\vec c=-39$ より

$$f=|x\vec a+y\vec b+\vec c|^2=3x^2+6xy+21y^2-6x-78y+81$$

$x$ と $y$ は独立に動くので、まず $y$ を固定して $x$ の2次式として平方完成する。

$$f=3\{x+(y-1)\}^2-3(y-1)^2+21y^2-78y+81=3(x+y-1)^2+18y^2-72y+78$$

次に $y$ について平方完成すると

$$f=3(x+y-1)^2+18(y-2)^2+6\geqq6$$

等号は $x+y-1=0$、 $y-2=0$、すなわち $x=-1$、 $y=2$ のときに成り立ち、このような $x$、 $y$ は存在する。よって最小値は $\sqrt6$ で、同じ答えになる。

関数 $f(x)=\left|\,\left|\sin x-\dfrac12\right|-\dfrac12\,\right|$ について、次の問いに答えよ。ただし、 $-\pi\leqq x\leqq\pi$ とする。

(1) $f(x)=0$ となる $x$ を求めよ。

(2) 関数 $y=f(x)$ のグラフの概形を描け。

(3) 実数 $k$ に対し、 $f(x)=k$ を満たす $x$ の個数を求めよ。

(1)　配点 10点

$f(x)=0$ となるのは、外側の絶対値の中身が $0$ のとき、すなわち

$$\left|\sin x-\dfrac12\right|=\dfrac12$$

のときである。右辺は正なので、内側の絶対値も外れて

$$\sin x-\dfrac12=\pm\dfrac12\iff\sin x=1,\ 0$$

$-\pi\leqq x\leqq\pi$ で、 $\sin x=1$ となるのは $x=\dfrac{\pi}{2}$ 、 $\sin x=0$ となるのは $x=-\pi,\ 0,\ \pi$ である。

答　$x=-\pi,\ 0,\ \dfrac{\pi}{2},\ \pi$

(2)　配点 15点

平行移動と折り返しで、 $y=f(x)$ のグラフを書く（下の図）。

①　 $y=\sin x$ を下に $\dfrac12$ 平行移動すると、 $y=\sin x-\dfrac12$ になる。値の範囲は $-\dfrac32\leqq y\leqq\dfrac12$ 。このグラフを、 $x$ 軸より下（ $\sin x<\dfrac12$ のところ）で折り返したものが $y=\left|\sin x-\dfrac12\right|$ で、値は $0$ 以上 $\dfrac32$ 以下になる。

②　これをもう一度、下に $\dfrac12$ 平行移動したものが $y=\left|\sin x-\dfrac12\right|-\dfrac12$ で、値の範囲は $-\dfrac12\leqq y\leqq1$ 。 $x$ 軸より下に出た所をふたたび折り返せば、 $y=f(x)$ のグラフになる。

式でも確かめる。 $\sin x\geqq\dfrac12$ のとき $f(x)=1-\sin x$、 $\sin x<\dfrac12$ のとき $f(x)=|\sin x|$ で、区間ごとには次のようになる。

・$-\pi\leqq x\leqq0$ のとき　$f(x)=-\sin x$

・$0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{6}$、 $\dfrac{5\pi}{6}\leqq x\leqq\pi$ のとき　$f(x)=\sin x$

・$\dfrac{\pi}{6}\leqq x\leqq\dfrac{5\pi}{6}$ のとき　$f(x)=1-\sin x$

$x=-\dfrac{\pi}{2}$ で最大値 $1$ をとる。 $x=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6}$ で値 $\dfrac12$ のとがった点になり、 $x=0$ もとがった点である。 $x=\dfrac{\pi}{2}$ では $x$ 軸に接する。 $x$ 軸との共有点は、(1) の4点と一致する。

答　グラフは下の図

(3)　配点 25点

$f(x)=k$ を満たす $x$ は、 $y=f(x)$ のグラフと直線 $y=k$ の共有点の $x$ 座標である。よって、求める個数は、 $-\pi\leqq x\leqq\pi$ における $y=f(x)$ のグラフと直線 $y=k$ の共有点の個数に等しい。

(2) より、 $f(x)$ は次の6つの区間でそれぞれ単調に変化する。

・$-\pi\leqq x\leqq-\dfrac{\pi}{2}$ で $0$ から $1$ まで増加、 $-\dfrac{\pi}{2}\leqq x\leqq0$ で $1$ から $0$ まで減少

・$0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{6}$ で $0$ から $\dfrac12$ まで増加、 $\dfrac{\pi}{6}\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ で $\dfrac12$ から $0$ まで減少

・$\dfrac{\pi}{2}\leqq x\leqq\dfrac{5\pi}{6}$ で $0$ から $\dfrac12$ まで増加、 $\dfrac{5\pi}{6}\leqq x\leqq\pi$ で $\dfrac12$ から $0$ まで減少

単調に変化する区間では、直線 $y=k$ との共有点は、その区間がとる値の範囲に $k$ があるときちょうど1個、ないとき0個である。

直線 $y=k$ を上下に動かして、共有点を数える（下の図）。

・$k<0$、 $1<k$ のとき　 $0\leqq f(x)\leqq1$ なので、共有点はない。0個

・$k=0$ のとき　(1) の $x=-\pi,\ 0,\ \dfrac{\pi}{2},\ \pi$ の4個

・$0<k<\dfrac12$ のとき　6つの区間それぞれに1個ずつあり、どれも区間の端ではないので重ならない。6個

・$k=\dfrac12$ のとき　 $-\pi\leqq x\leqq0$ では $-\sin x=\dfrac12$ より $x=-\dfrac{5\pi}{6},\ -\dfrac{\pi}{6}$ の2個。 $0\leqq x\leqq\pi$ では、とがった点 $x=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6}$ の2個（どちらも隣り合う2つの区間の共通の端なので、1個ずつと数える）。合わせて4個

・$\dfrac12<k<1$ のとき　 $0\leqq x\leqq\pi$ では $f(x)\leqq\dfrac12$ なので共有点はなく、 $-\pi\leqq x\leqq0$ の2つの区間に1個ずつ。2個

・$k=1$ のとき　最大値をとる $x=-\dfrac{\pi}{2}$ の1個

答　$k<0,\ 1<k$ のとき0個、 $k=0$ のとき4個、 $0<k<\dfrac12$ のとき6個、 $k=\dfrac12$ のとき4個、 $\dfrac12<k<1$ のとき2個、 $k=1$ のとき1個

（確かめ： $k=\dfrac12$ の4個は $x=\pm\dfrac{\pi}{6},\ \pm\dfrac{5\pi}{6}$ で、どれも $f(x)=\dfrac12$ を満たす。 $k=0$ は (1) の答えと一致する）

別解（ $t=\sin x$ とおいて2段階で数える）　 $t=\sin x$ とおくと、 $-\pi\leqq x\leqq\pi$ のとき $t$ は $-1\leqq t\leqq1$ を動き、 $f(x)=h(t)=\left|\,\left|t-\dfrac12\right|-\dfrac12\,\right|$ となる。絶対値を外すと

$$h(t)=\begin{cases}-t&(-1\leqq t\leqq0)\\ t&\left(0\leqq t\leqq\dfrac12\right)\\ 1-t&\left(\dfrac12\leqq t\leqq1\right)\end{cases}$$

で、 $y=h(t)$ は下の図の折れ線になる。

1つの $t$ に対応する $x$ の個数は、 $y=\sin x$（ $-\pi\leqq x\leqq\pi$）と直線 $y=t$ の共有点を数えて、 $t=0$ のとき3個（ $x=-\pi,\ 0,\ \pi$）、 $t=\pm1$ のとき1個（ $x=\pm\dfrac{\pi}{2}$）、それ以外の $t$ では2個である。 $h(t)=k$ を満たす $t$ を求めて、対応する $x$ の個数を足す。

・$k=0$：$t=0$（3個）と $t=1$（1個）で4個

・$0<k<\dfrac12$：$t=-k,\ k,\ 1-k$ の3つで、どれも $0,\ \pm1$ ではないので $2+2+2=6$ 個

・$k=\dfrac12$：$t=-\dfrac12,\ \dfrac12$ の2つで4個

・$\dfrac12<k<1$：$t=-k$ だけで2個

・$k=1$：$t=-1$ だけで1個

・$k<0,\ 1<k$：0個

となり、本解と一致する。置きかえたら $t$ の範囲を求め直すこと、1つの $t$ に $x$ がいくつ対応するかを数え分けることの2つを守れば、グラフを書かずに数えられる。