【解説・採点基準付き】2020年九州大学文系数学の解答・解説

$a\geqq0$ とする。2つの放物線 $C_1:y=x^2$、 $C_2:y=3(x-a)^2+a^3-40$ を考える。以下の問いに答えよ。

(1) $C_1$ と $C_2$ が異なる2点で交わるような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

(2) $a$ が(1)で求めた範囲を動くとき、 $C_1$ と $C_2$ で囲まれた図形の面積 $S$ の最大値を求めよ。

(1)　配点 20点

$C_1$、 $C_2$ の式から $y$ を消すと、 $x^2=3(x-a)^2+a^3-40$ より

$$2x^2-6ax+3a^2+a^3-40=0\quad\cdots①$$

$C_1$ 上の点は $x$ 座標で決まるので、 $C_1$ と $C_2$ が異なる2点で交わるのは、①が異なる2つの実数解をもつときである。①は2次の係数が $2$ で $0$ でない2次方程式なので、判別式を $D$ とすると

$$\dfrac{D}{4}=(3a)^2-2(3a^2+a^3-40)=-2a^3+3a^2+80>0$$

すなわち

$$2a^3-3a^2-80<0\quad\cdots②$$

$a\geqq0$ なので正の候補から試す。 $a=4$ を代入すると $2\cdot64-3\cdot16-80=0$ なので、②の左辺は $a-4$ で割り切れて

$$(a-4)(2a^2+5a+20)<0$$

$a\geqq0$ なので $2a^2+5a+20>0$。よって $a-4<0$ より $a<4$ である。 $a\geqq0$ と合わせて

答　$0\leqq a<4$

(2)　配点 30点

$0\leqq a<4$ のとき、①の2つの実数解を $\alpha$、 $\beta$（ $\alpha<\beta$ ）とする。①の左辺は $C_2$ の式から $C_1$ の式を引いたものなので

$$\{3(x-a)^2+a^3-40\}-x^2=2(x-\alpha)(x-\beta)$$

$\alpha\leqq x\leqq\beta$ ではこれが $0$ 以下なので、 $C_1$ が上、 $C_2$ が下にある。2次の係数は $C_2$ の $3$ から $C_1$ の $1$ を引いた $2$ で、「上 $-$ 下」はその符号を変えた $-2(x-\alpha)(x-\beta)$ になる。よって

$$\small\begin{aligned}S&=\int_\alpha^\beta\left[x^2-\{3(x-a)^2+a^3-40\}\right]dx\\&=\int_\alpha^\beta(-2)(x-\alpha)(x-\beta)\,dx\\&=\dfrac26(\beta-\alpha)^3=\dfrac13(\beta-\alpha)^3\end{aligned}$$

①を解の公式で解くと

$$x=\dfrac{3a\pm\sqrt{80+3a^2-2a^3}}{2}$$

なので、辺々引いて

$$\beta-\alpha=\sqrt{80+3a^2-2a^3}$$

$g(a)=80+3a^2-2a^3$ とおくと

$$S=\dfrac13\{g(a)\}^{\frac32}$$

$0\leqq a<4$ では $g(a)>0$ （(1) の条件そのもの）で、 $S$ は $g(a)$ が大きいほど大きい。よって、 $g(a)$ が最大のとき $S$ も最大になる。

$$g'(a)=6a-6a^2=-6a(a-1)$$

$y=g'(a)$ は上に凸の放物線で $a=0,\ 1$ で $0$ になるので、 $g'(a)$ は $0<a<1$ で正、 $1<a<4$ で負。よって $g(a)$ は $0\leqq a\leqq1$ で増加し、 $1\leqq a<4$ で減少する。

したがって $g(a)$ は $a=1$ で最大値 $g(1)=80+3-2=81$ をとる。

このとき $S$ も最大で、最大値は

$$S=\dfrac13\cdot81^{\frac32}=\dfrac13\cdot729=243$$

答　$243$（ $a=1$ のとき）

検算　 $a=1$ のとき、①は $2x^2-6x-36=0$、すなわち $2(x+3)(x-6)=0$ で、 $\alpha=-3$、 $\beta=6$、 $\beta-\alpha=9=\sqrt{81}$。 $S=\dfrac13\cdot9^3=243$ で一致する。

別解（ $\beta-\alpha$ を解と係数の関係で求める）　①で解と係数の関係より $\alpha+\beta=3a$、 $\alpha\beta=\dfrac{3a^2+a^3-40}{2}$ なので

$$(\beta-\alpha)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=9a^2-2(3a^2+a^3-40)=80+3a^2-2a^3$$

$\beta-\alpha>0$ より $\beta-\alpha=\sqrt{80+3a^2-2a^3}$ で、本解と同じになる。(1) の $\dfrac{D}{4}$ と同じ式が出てくることも確かめられる。

座標空間内の4点 $\mathrm{O}(0,0,0)$、 $\mathrm{A}(1,1,0)$、 $\mathrm{B}(1,0,p)$、 $\mathrm{C}(q,r,s)$ を頂点とする四面体が正四面体であるとする。ただし、 $p>0$、 $s>0$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) $p,q,r,s$ の値を求めよ。

(2) $z$ 軸に垂直な平面で正四面体OABCを切ったときの断面積の最大値を求めよ。

(1)　配点 20点

正四面体なので、6本の辺の長さはすべて等しい。 $\mathrm{OA}=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt2$ なので、すべての辺の長さが $\sqrt2$ である。長さは2乗して扱う。

$\mathrm{OB}^2=1+p^2=2$ と $p>0$ より $p=1$。このとき $\mathrm{AB}^2=0^2+(-1)^2+1^2=2$ で、ABの長さも $\sqrt2$ になっている。

Cについて

$$\mathrm{OC}^2=q^2+r^2+s^2=2\quad\cdots\text{①}$$

$$\mathrm{AC}^2=(q-1)^2+(r-1)^2+s^2=2\quad\cdots\text{②}$$

$$\mathrm{BC}^2=(q-1)^2+r^2+(s-1)^2=2\quad\cdots\text{③}$$

②から①を引くと $-2q-2r+2=0$ より $q+r=1$。③から①を引くと $-2q-2s+2=0$ より $q+s=1$。

よって $r=s=1-q$。これを①に代入して

$$q^2+2(1-q)^2=2\iff3q^2-4q=0\iff q(3q-4)=0$$

より $q=0,\ \dfrac43$。 $q=\dfrac43$ のときは $s=-\dfrac13<0$ となり条件をみたさない。 $q=0$ のとき $r=s=1$ で $s>0$ をみたす。

答　$p=1$、 $q=0$、 $r=1$、 $s=1$

4点 $\mathrm{O}(0,0,0)$、 $\mathrm{A}(1,1,0)$、 $\mathrm{B}(1,0,1)$、 $\mathrm{C}(0,1,1)$ は、1辺の長さが1の立方体の頂点で、正四面体の6本の辺は立方体の面の対角線になっている（上の図）。

(2)　配点 30点

O、Aの $z$ 座標は0、B、Cの $z$ 座標は1なので、正四面体OABCは $0\leqq z\leqq1$ の範囲にある。 $z$ 軸に垂直な平面を $z=t$ とおく。 $t=0$、 $t=1$ のときは、断面は線分OA、BCで面積は0である。 $0<t<1$ のとき、平面 $z=t$ は辺OA、BCとは交わらず、両端の $z$ 座標が0と1である残りの4本の辺OB、OC、AB、ACと1点ずつ交わる。その交点をそれぞれK、L、M、Nとする。

直線上の点は、始点まで進み、方向ベクトルの実数倍を足して表す。 $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$、 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$、 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(0,-1,1)$、 $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-1,0,1)$ の $z$ 成分はどれも1なので、 $z$ 座標が $t$ になるのは、それぞれの $t$ 倍だけ進んだ点である。

$$\overrightarrow{\mathrm{OK}}=t\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(t,\ 0,\ t),\qquad\overrightarrow{\mathrm{OL}}=t\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(0,\ t,\ t)$$

$$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(1,\ 1-t,\ t),\qquad\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(1-t,\ 1,\ t)$$

断面は、K、M、N、Lをこの順に結んだ四角形KMNLである（上の図）。

$$\overrightarrow{\mathrm{KM}}=(1-t,\ 1-t,\ 0),\qquad\overrightarrow{\mathrm{LN}}=(1-t,\ 1-t,\ 0),\qquad\overrightarrow{\mathrm{KL}}=(-t,\ t,\ 0)$$

$\overrightarrow{\mathrm{KM}}=\overrightarrow{\mathrm{LN}}$ なので、四角形KMNLは平行四辺形である。さらに

$$\overrightarrow{\mathrm{KM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{KL}}=-t(1-t)+t(1-t)+0=0$$

より $\mathrm{KM}\perp\mathrm{KL}$ なので、四角形KMNLは長方形である。

平面 $z=t$ 上の断面を上から見ると、上の図の長方形になる。 $\overrightarrow{\mathrm{KM}}$ は $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ の $(1-t)$ 倍、 $\overrightarrow{\mathrm{KL}}$ は $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ の $t$ 倍で、2辺はそれぞれOA、BCに平行である。

$$\mathrm{KM}=\sqrt{(1-t)^2+(1-t)^2}=\sqrt2\,(1-t),\qquad\mathrm{KL}=\sqrt{t^2+t^2}=\sqrt2\,t$$

よって、断面積を $S(t)$ とすると

$$S(t)=\sqrt2\,(1-t)\cdot\sqrt2\,t=2t(1-t)$$

$S(t)$ は $t$ の2次関数なので、平方完成する。

$$S(t)=-2t^2+2t=-2\left(t-\frac12\right)^2+\frac12$$

$0<t<1$ の範囲で、 $S(t)$ は $t=\dfrac12$ のとき最大値 $\dfrac12$ をとる。

答　$\dfrac12$（平面 $z=\dfrac12$ で切ったとき）

このとき $\mathrm{KM}=\mathrm{KL}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ で、断面は1辺 $\dfrac{\sqrt2}{2}$ の正方形になる。

別解（相似と、正四面体の向かい合う辺が垂直であること）　平面 $z=t$ は、平面 $z=0$ 上の辺OAとも、平面 $z=1$ 上の辺BCとも平行である。三角形BOAで $\mathrm{KM}\parallel\mathrm{OA}$、 $\mathrm{BK}:\mathrm{BO}=(1-t):1$ なので $\mathrm{KM}=\sqrt2\,(1-t)$。三角形OBCで $\mathrm{KL}\parallel\mathrm{BC}$、 $\mathrm{OK}:\mathrm{OB}=t:1$ なので $\mathrm{KL}=\sqrt2\,t$。同じように $\mathrm{LN}\parallel\mathrm{OA}$、 $\mathrm{MN}\parallel\mathrm{BC}$ なので四角形KMNLは平行四辺形で、 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=(1,1,0)\cdot(-1,1,0)=0$ より $\mathrm{OA}\perp\mathrm{BC}$ だから長方形。よって $S(t)=2t(1-t)$ となり、同じ最大値 $\dfrac12$ が求まる。

補足（立方体から切り落とす）　(1) の図のように正四面体は1辺1の立方体に入っている。平面 $z=t$ で立方体を切った切り口は1辺1の正方形で、断面KMNLはこの正方形の4すみから直角二等辺三角形を切り落とした形になる（上から見た図の点線の正方形）。切り落とす三角形の面積は $\dfrac{t^2}{2}$ が2つと $\dfrac{(1-t)^2}{2}$ が2つなので、 $S(t)=1-t^2-(1-t)^2=2t(1-t)$ と求めてもよい。

$a,b,c$ を整数とし、 $i$ を虚数単位とする。整式 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ が $f\left(\dfrac{1+\sqrt3 i}{2}\right)=0$ をみたすとき、以下の問いに答えよ。

(1) $a,b$ を $c$ を用いて表せ。

(2) $f(1)$ を7で割ると4余り、 $f(-1)$ を11で割ると2余るとする。 $c$ の絶対値が40以下であるとき、方程式 $f(x)=0$ の解をすべて求めよ。

(1)　配点 15点

$\alpha=\dfrac{1+\sqrt3i}{2}$ とおくと $\alpha^2-\alpha+1=0$。両辺に $\alpha+1$ をかけて $\alpha^3+1=0$。よって

$$\alpha^2=\alpha-1,\qquad\alpha^3=-1$$

$$f(\alpha)=-1+a(\alpha-1)+b\alpha+c=(a+b)\alpha+(c-a-1)$$

$a,b,c$ は整数なので、 $a+b$、 $c-a-1$ は実数である。 $\alpha$ は虚数なので、 $f(\alpha)=0$ より

$$a+b=0,\qquad c-a-1=0$$

答　$a=c-1,\quad b=1-c$

別解（共役な解と解と係数の関係）　係数が実数なので $\overline{\alpha}=\dfrac{1-\sqrt3i}{2}$ も $f(x)=0$ の解。3次方程式なので残りの解は1つで、これを $\gamma$ とおくと、 $\gamma$ は実数解である。 $\alpha+\overline{\alpha}=1$、 $\alpha\overline{\alpha}=1$ なので、解と係数の関係より

$$\alpha+\overline{\alpha}+\gamma=1+\gamma=-a,\qquad\alpha\overline{\alpha}+(\alpha+\overline{\alpha})\gamma=1+\gamma=b,\qquad\alpha\overline{\alpha}\gamma=\gamma=-c$$

$\gamma=-c$ を代入して $a=c-1$、 $b=1-c$。この解き方では、(2) で求める残りの解 $x=-c$ も同時に分かる。(2) で「解をすべて求めよ」と聞かれているので、最後の形まで見通すと、この解き方も早い。

（ $f(x)$ を $x^2-x+1$ で割ると、余りは $(a+b)x+(c-a-1)$ で、これが0になることからも同じ答えが求まる）

(2)　配点 35点

(1) より

$$f(x)=x^3+(c-1)x^2+(1-c)x+c=(x^2-x+1)(x+c)$$

よって

$$f(1)=1\cdot(1+c)=c+1,\qquad f(-1)=3\cdot(-1+c)=3c-3$$

$f(1)$ を7で割ると4余るので、 $c+1=7k+4$（ $k$ は整数）とおける。すなわち

$$c=7k+3$$

このとき $f(-1)=3(7k+3)-3=21k+6$。これを11で割ると2余るので、 $21k+6=11l+2$（ $l$ は整数）とおける。すなわち

$$21k-11l=-4\quad\cdots\cdots①$$

$k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$ と順に調べると、 $21k+4$ が11の倍数になるのは $k=4$（ $21\cdot4+4=88=11\cdot8$）。よって $21\cdot4-11\cdot8=-4$。これと①を辺々引いて

$$21(k-4)=11(l-8)$$

21と11は互いに素より、 $k-4$ は11の倍数である。 $k-4=11m$（ $m$ は整数）とおくと $k=11m+4$ で

$$c=7(11m+4)+3=77m+31$$

$|c|\leqq40$ より $-40\leqq77m+31\leqq40$、すなわち $-71\leqq77m\leqq9$。これをみたす整数は $m=0$ だけなので

$$c=31$$

このとき

$$f(x)=(x^2-x+1)(x+31)$$

$x^2-x+1=0$ より $x=\dfrac{1\pm\sqrt3i}{2}$、 $x+31=0$ より $x=-31$。

答　$x=-31,\quad\dfrac{1\pm\sqrt3i}{2}$

（確認： $c=31$ のとき $a=30$、 $b=-30$ で、 $f(1)=32=7\cdot4+4$、 $f(-1)=90=11\cdot8+2$）

別解（合同式）　 $c+1\equiv4\pmod7$ より $c\equiv3\pmod7$。 $3c-3\equiv2\pmod{11}$ より $3c\equiv5\equiv27\pmod{11}$ で、3と11は互いに素なので $c\equiv9\pmod{11}$。 $c=11n+9$（ $n$ は整数）とおくと、 $11n+9\equiv4n+2\equiv3\pmod7$ より $4n\equiv1\equiv8\pmod7$ で、4と7は互いに素なので $n\equiv2\pmod7$。よって $c\equiv11\cdot2+9=31\pmod{77}$ で、 $|c|\leqq40$ をみたすのは $c=31$ だけ（次に近い $31-77=-46$ は範囲の外）。

4個のサイコロを同時に投げるとき、出る目すべての積を $X$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) $X$ が25の倍数になる確率を求めよ。

(2) $X$ が4の倍数になる確率を求めよ。

(3) $X$ が100の倍数になる確率を求めよ。

(1)　配点 15点

積が25の倍数になるには、素因数5が2つ必要である。1〜6の目で5を含むのは5だけなので、 $X$ が25の倍数になるのは「5の目が2個以上出る」ときに限る。

この余事象は「5の目が1個も出ない、またはちょうど1個出る」ことで、確率は

$$\left(\frac56\right)^4+{}_4\mathrm{C}_1\cdot\frac16\left(\frac56\right)^3=\frac{625+500}{1296}=\frac{1125}{1296}$$

したがって求める確率は $1-\dfrac{1125}{1296}=\dfrac{171}{1296}$

答　$\dfrac{19}{144}$

(2)　配点 15点

目ごとに素因数2の個数を数えると、1・3・5は0個、2・6は1個、4は2個である。 $X$ が4の倍数にならないのは、4つの目の2の個数の合計が0個か1個のとき。つまり「4つとも奇数」か、「2か6がちょうど1つで、残り3つが奇数」のどちらかで、4の目は含まれない。

この確率は

$$\left(\frac12\right)^4+{}_4\mathrm{C}_1\cdot\frac26\left(\frac12\right)^3=\frac{81+216}{1296}=\frac{297}{1296}$$

求める確率は余事象なので $1-\dfrac{297}{1296}=\dfrac{999}{1296}$

答　$\dfrac{37}{48}$

(3)　配点 20点

目の出方は全部で $6^4=1296$ 通り。 $100=2^2\cdot5^2$ なので、 $X$ が100の倍数になるのは、(1) の「5の目が2個以上」と (2) の「2の個数の合計が2個以上」が同時に成り立つとき。5の目の個数で場合分けして数える。

5の目がちょうど2個のとき　5の目の位置の選び方は ${}_4\mathrm{C}_2=6$ 通り。残り2個の目は1、2、3、4、6から選ぶので $5^2=25$ 通り。このうち積が4の倍数にならないのは、「2個とも1か3」の $2^2=4$ 通りと、「一方が2か6、他方が1か3」の $2\cdot2\cdot2=8$ 通りの計12通り。よって4の倍数になるのは $25-12=13$ 通りで、この場合の数は $6\cdot13=78$ 通りになる。

5の目がちょうど3個のとき　残る1個で2の個数が2個以上になるのは4だけ。4が入る位置は4通りなので、4通りになる。

5の目が4個のとき　素因数2が1つもないので、0通り。

以上を合わせて $78+4=82$ 通りなので、求める確率は $\dfrac{82}{1296}$

答　$\dfrac{41}{648}$