【解説・採点基準付き】2024年九州大学文系数学の解答・解説

2つの放物線 $C_1:y=2x^2$、 $C_2:y=2x^2-8x+16$ の両方に接する直線を $l$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) 直線 $l$ の方程式を求めよ。

(2) 2つの放物線 $C_1$、 $C_2$ と直線 $l$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

(1)　配点 20点

$f(x)=2x^2$ とすると $f'(x)=4x$ である。 $C_1$ 上の点 $(t,\ 2t^2)$ における接線は

$$y=4t(x-t)+2t^2\quad\text{すなわち}\quad y=4tx-2t^2\quad\cdots①$$

①と $C_2:y=2x^2-8x+16$ を連立すると、 $2x^2-8x+16=4tx-2t^2$ より

$$x^2-2(t+2)x+t^2+8=0\quad\cdots②$$

①が $C_2$ に接するのは、②が重解をもつときである。②の判別式を $D$ とすると

$$\dfrac{D}{4}=(t+2)^2-(t^2+8)=4t-4=0$$

よって $t=1$ である。

①に $t=1$ を代入して、 $l:y=4x-2$。

このとき②の重解は $x=t+2=3$ なので、 $l$ は $C_1$ と点 $(1,\ 2)$ で、 $C_2$ と点 $(3,\ 10)$ で接する。

$t$ の値は $1$ つだけなので、両方に接する直線はこの1本だけである。

答　$y=4x-2$

別解（2本の接線を作って係数比較）　 $C_2$ の $x=u$ での接線は、 $(2x^2-8x+16)’=4x-8$ より

$$y=(4u-8)(x-u)+2u^2-8u+16\quad\text{すなわち}\quad y=(4u-8)x-2u^2+16$$

①と同じ直線になるので、傾きと $y$ 切片を比べて $4t=4u-8$、 $-2t^2=-2u^2+16$。1つ目の式から $u=t+2$ を2つ目の式に代入すると $t^2=(t+2)^2-8$ となり、 $4t-4=0$ より $t=1$、 $u=3$。本解と同じ $l:y=4x-2$ になる。3次関数を含む共通接線ではこちらの解き方を使う。

(2)　配点 30点

$C_1$ と $C_2$ の式を連立すると、 $2x^2=2x^2-8x+16$ より $x=2$。交点は $(2,\ 8)$ で、接点の $x$ 座標 $1$ と $3$ のちょうど真ん中にある。

また、 $(2x^2-8x+16)-2x^2=-8(x-2)$ なので、 $x\leqq2$ では $C_1$ が $C_2$ の下、 $x\geqq2$ では $C_2$ が $C_1$ の下にある。

$l$ は $C_1$ と $x=1$ で、 $C_2$ と $x=3$ で接するので、それぞれの放物線の式から $l$ の式を引いた2次式は、2次の係数が $2$ の完全平方になる。

$$2x^2-(4x-2)=2(x-1)^2,\qquad (2x^2-8x+16)-(4x-2)=2x^2-12x+18=2(x-3)^2$$

どちらも $0$ 以上なので、 $l$ は $C_1$、 $C_2$ の下にある。よって、求める図形は $1\leqq x\leqq2$ では $C_1$ と $l$ の間、 $2\leqq x\leqq3$ では $C_2$ と $l$ の間の部分で、その面積を $S$ とすると

$$S=\int_1^2\{2x^2-(4x-2)\}\,dx+\int_2^3\{(2x^2-8x+16)-(4x-2)\}\,dx=\int_1^2 2(x-1)^2\,dx+\int_2^3 2(x-3)^2\,dx$$

$$\int_1^2 2(x-1)^2\,dx=\left[\dfrac23(x-1)^3\right]_1^2=\dfrac23$$

$$\int_2^3 2(x-3)^2\,dx=\left[\dfrac23(x-3)^3\right]_2^3=0-\dfrac23\cdot(-1)^3=\dfrac23$$

左右の部分の面積はどちらも $\dfrac23$ で同じになり、検算もできる。求める面積は、その合計で

$$S=\dfrac23+\dfrac23=\dfrac43$$

答　$\dfrac43$

検算　 $C_2$ の式は $y=2(x-2)^2+8$ で、 $C_1$ を $x$ 軸方向に $2$、 $y$ 軸方向に $8$ だけ平行移動したもの。同じ形の2つの放物線と共通接線で囲まれた図形は、交点が2つの接点の真ん中にあり、左右の面積が等しくなる。左右とも $\dfrac23\cdot1^3=\dfrac23$ で、本解と一致する。

座標平面上の原点 $\mathrm{O}(0,\ 0)$、点 $\mathrm{A}(2,\ 1)$ を考える。点Bは第1象限にあり、 $\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\sqrt{10}$、 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ をみたすとする。以下の問いに答えよ。

(1) 点Bの座標を求めよ。

(2) $s,\ t$ を正の実数とし、 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ をみたす点Cを考える。三角形OACと三角形OBCの面積が等しく、 $\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=4$ が成り立つとき、 $s,\ t$ の値を求めよ。

(1)　配点 20点

$\mathrm{B}(x,\ y)$ とおく。Bは第1象限にあるので $x>0$、 $y>0$ である。 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(2,\ 1)$、 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(x-2,\ y-1)$ で、 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ より $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$ なので

$$2(x-2)+(y-1)=0\iff y=5-2x$$

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\sqrt{10}$ の両辺を2乗して

$$x^2+y^2=10$$

$y=5-2x$ を代入すると

$$x^2+(5-2x)^2=10\iff5x^2-20x+15=0\iff(x-1)(x-3)=0$$

よって $x=1$ のとき $y=3$、 $x=3$ のとき $y=-1$。

条件をみたす点は、Aを通りOAに垂直な直線と、原点を中心とする半径 $\sqrt{10}$ の円の交点で、図のように $(1,\ 3)$ と $(3,\ -1)$ の2つある。Bは第1象限にあるので、 $(3,\ -1)$ は条件をみたさない。

答　$\mathrm{B}(1,\ 3)$

（確かめ： $\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|^2=1+9=10$、 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=2\cdot(-1)+1\cdot2=0$）

別解（1文字で置く）　 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ は $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(2,\ 1)$ に垂直なので、 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ と垂直なベクトル $(-1,\ 2)$ の実数倍で $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=k(-1,\ 2)$ とおける。Aまで進んでからBへ進むと

$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(2-k,\ 1+2k)$$

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|^2=(2-k)^2+(1+2k)^2=5+5k^2=10$ より $k=\pm1$。 $k=1$ のとき $(1,\ 3)$、 $k=-1$ のとき $(3,\ -1)$ で、第1象限にあるのは $k=1$ の $\mathrm{B}(1,\ 3)$。置く文字が1つで済むので、連立方程式を解く手間が少ない。

(2)　配点 30点

(1) より $\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(1,\ 3)$ なので

$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=s(2,\ 1)+t(1,\ 3)=(2s+t,\ s+3t)$$

三角形OAC、OBCはどちらも原点Oを頂点にもつ。原点O、点 $(a,\ b)$、点 $(c,\ d)$ を頂点とする三角形の面積は $\dfrac12|ad-bc|$ なので、 $t>0$ より

$$\triangle\mathrm{OAC}=\frac12\left|2(s+3t)-1\cdot(2s+t)\right|=\frac12|5t|=\frac52t$$

$s>0$ より

$$\triangle\mathrm{OBC}=\frac12\left|1\cdot(s+3t)-3(2s+t)\right|=\frac12|-5s|=\frac52s$$

$\triangle\mathrm{OAC}=\triangle\mathrm{OBC}$ より $\dfrac52t=\dfrac52s$、すなわち $s=t$。

このとき $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(3s,\ 4s)$ なので、 $s>0$ より

$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=\sqrt{9s^2+16s^2}=5s$$

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=4$ より $5s=4$、すなわち $s=\dfrac45$。 $s=t$ より $t=\dfrac45$。

答　$s=\dfrac45$、 $t=\dfrac45$

（確かめ： $\mathrm{C}\left(\dfrac{12}{5},\ \dfrac{16}{5}\right)$ で $\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|^2=\dfrac{144+256}{25}=16$。2つの三角形の面積はどちらも $\dfrac52\cdot\dfrac45=2$）

補足（図形として見る）　 $s=t$ のとき、ABの中点をMとすると $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=s\left(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)=2s\overrightarrow{\mathrm{OM}}$ なので、Cは直線OM上にある。三角形OAC、OBCは辺OCを共有するので、面積が等しいことは、AとBから直線OCまでの距離が等しいことと同じである。AとBは直線OCの両側にあるので、これは直線OCがABの中点Mを通ることを表している（下の図。AとBから直線OCまでの距離はどちらも1）。

別解（面積比で見る）　辺OAを底辺とみる。 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ の $s\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ の部分は直線OAに平行で、直線OAからの距離を変えないので、Cから直線OAまでの距離は、Bから直線OAまでの距離の $t$ 倍になる（ $t>0$）。よって $\triangle\mathrm{OAC}=t\,\triangle\mathrm{OAB}$。同じように $\triangle\mathrm{OBC}=s\,\triangle\mathrm{OAB}$ なので、 $s=t$。

次に $\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|^2=5$、 $\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|^2=10$、 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=2+3=5$ より、2乗して展開すると

$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|^2=s^2\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|^2+2st\,\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t^2\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|^2=5s^2+10st+10t^2$$

$s=t$ を代入して $25s^2=16$、 $s>0$ より $s=t=\dfrac45$。

以下の問いに答えよ。

(1) 自然数 $a,b$ が $a<b$ をみたすとき、 $\dfrac{b!}{a!}\geqq b$ が成り立つことを示せ。

(2) $2\cdot a!=b!$ をみたす自然数の組 $(a,\ b)$ をすべて求めよ。

(3) $a!+b!=2\cdot c!$ をみたす自然数の組 $(a,\ b,\ c)$ をすべて求めよ。

(1)　配点 10点

$a<b$ なので

$$\frac{b!}{a!}=b\cdot(b-1)\cdots(a+1)$$

右辺は $b$ に、1以上の整数 $(b-1),\dots,(a+1)$ をかけたもの（ $b=a+1$ のときは $b$ だけ）だから、 $\dfrac{b!}{a!}\geqq b$ である。

(2)　配点 20点

$a\geqq b$ の場合　$b!\leqq a!<2\cdot a!$ なので、 $2\cdot a!=b!$ は成り立たない。

$a<b$ の場合　$\dfrac{b!}{a!}=2$ であり、(1) から $2\geqq b$。 $a<b$ かつ $a\geqq1$ より $b=2$、 $a=1$ となる。 $2\cdot1!=2=2!$ なので確かに成り立つ。

答　$(a,b)=(1,2)$

(3)　配点 20点

式は $a,b$ について対称なので、まず $a\leqq b$ とし、最後に $a,b$ を入れかえた組を加える。

$a=b$ の場合　$2\cdot a!=2\cdot c!$ から $a!=c!$ となり、自然数だから $c=a$。

$a<b$ の場合　$a!<b!$ より

$$2\cdot a!<a!+b!=2\cdot c!<2\cdot b!$$

つまり $a!<c!<b!$ なので $a<c<b$ が言える。

両辺を $c!$ で割ると

$$\frac{a!}{c!}+\frac{b!}{c!}=2$$

$c<b$ から (1) を使って $\dfrac{b!}{c!}\geqq b$、さらに $\dfrac{a!}{c!}>0$ なので

$$b<\frac{a!}{c!}+\frac{b!}{c!}=2$$

ゆえに $b=1$ になるが、これでは $a<c<b=1$ を満たす自然数 $a,c$ が存在しない。よって $a<b$ の場合に解はない。 $b<a$ の場合も同様に解はない。

したがって、解は $a=b=c$ のものだけである。

答　$(a,b,c)=(k,k,k)$（$k$ は自然数）

$n$ を3以上の整数とする。座標平面上の点のうち、 $x$ 座標と $y$ 座標がともに1以上 $n$ 以下の整数であるものを考える。これら $n^2$ 個の点のうち3点以上を通る直線の個数を $L(n)$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) $L(3)$ を求めよ。

(2) $L(4)$ を求めよ。

(3) $L(5)$ を求めよ。

数える直線を向きで分類すると、 $x$ 軸に平行、$y$ 軸に平行、傾きが正、傾きが負の4つになる。直線 $y=x$ を軸に折り返すと、$x$ 軸に平行な直線と $y$ 軸に平行な直線が入れかわる。また直線 $x=\dfrac{n+1}{2}$ を軸に折り返すと、傾きが正の直線と傾きが負の直線が入れかわる。折り返しても本数は変わらないので、 $x$ 軸に平行な直線の数を $A_n$、傾きが正の直線の数を $B_n$ として

$$L(n)=2(A_n+B_n)$$

$A_n$ は、直線 $y=k$（$k=1,\dots,n$）がどれも $n\geqq3$ 個の点を通るので $A_n=n$ である。

$B_n$ を求める。傾きが正の直線が3点以上を通るとき、隣り合う2点の差を $(p,q)$（$p,q$ は互いに素な自然数）とおくと、両端の点の差は $(2p,2q)$ 以上になるので、 $2p\leqq n-1$、 $2q\leqq n-1$ が必要である。

(1)　配点 10点

$n=3$ のとき、 $2p\leqq2$、 $2q\leqq2$ から $(p,q)=(1,1)$ のみ。傾き1で3点以上を通る直線は $y=x$ の1本だけである。

$$L(3)=2(3+1)=8$$

答　$L(3)=8$

(2)　配点 15点

$n=4$ のとき、 $2p\leqq3$、 $2q\leqq3$ から $(p,q)=(1,1)$ のみ。傾き1の直線 $y=x+k$ のうち3点以上を通るのは $k=-1,0,1$ の3本（それぞれ通る点は3個、4個、3個）。

$$L(4)=2(4+3)=14$$

答　$L(4)=14$

(3)　配点 25点

$n=5$ のとき、 $2p\leqq4$、 $2q\leqq4$ から $(p,q)=(1,1),(1,2),(2,1)$ の3つ。

・傾き1：$y=x+k$ のうち3点以上を通るのは $k=-2,-1,0,1,2$ の5本

・傾き2：3点 $(x,y),(x+1,y+2),(x+2,y+4)$ が範囲に収まるのは $y=1$、 $x=1,2,3$ のときだけで、直線は3本（どれも通る点は3つ）

・傾き $\dfrac12$：直線 $y=x$ に関して傾き2と対称なので3本

傾きが正の直線は全部で $B_5=5+3+3=11$ 本なので

$$L(5)=2(5+11)=32$$

答　$L(5)=32$

(1)〜(3)の別解：3点以上を通る直線を全部書き出す方法

傾きごとに整理し、対称性も使いながら、条件に合う直線を1本ずつ書き並べる。

・$n=3$　$x=k$（$k=1,2,3$）、 $y=l$（$l=1,2,3$）、 $y=x$、 $y=-x+4$ の計8本

・$n=4$　$x=k$（$k=1,\dots,4$）、 $y=l$（$l=1,\dots,4$）、 $y=x+k$（$k=-1,0,1$）、 $y=-x+l$（$l=4,5,6$）の計14本

・$n=5$　$x=k$ が5本、 $y=l$ が5本、 $y=x+k$ が5本（ $k=-2,\dots,2$ ）、 $y=-x+l$ が5本（ $l=4,\dots,8$ ）で、ここまでで20本。このほか傾きが $\pm2$、 $\pm\dfrac12$ の直線を、3点の真ん中の点ごとに数える。真ん中が $(2,3)$、 $(3,2)$、 $(3,4)$、 $(4,3)$ のときは各2本、 $(3,3)$ のときは4本で、 $4\times2+4=12$ 本。同じ直線が重ならないので $20+12=32$ 本