【解説・採点基準付き】2005年九州大学理系数学の解答・解説

直線 $\ell:\ y=x+a$ が曲線 $C:\ y=2\sin x\ (-\pi\leqq x\leqq\pi)$ に接しているとき、次の問いに答えよ。ただし、 $a\geqq0$ とする。

(1) $a$ の値を求めよ。

(2) 曲線 $C$ と直線 $\ell$ で囲まれた図形の $y\geqq0$ の範囲にある部分を、 $x$ 軸のまわりに回転する。この回転体の体積を求めよ。

(1)　配点 20点

接点の $x$ 座標を $t$ とすると、傾きが等しいので $2\cos t=1$、 $-\pi\leqq t\leqq\pi$ より $t=\pm\dfrac{\pi}{3}$。

接点を共有するので $2\sin t=t+a$、すなわち $a=2\sin t-t$。

$t=\dfrac{\pi}{3}$ のとき $a=\sqrt3-\dfrac{\pi}{3}>0$、 $t=-\dfrac{\pi}{3}$ のとき $a=-\sqrt3+\dfrac{\pi}{3}<0$。 $a\geqq0$ より

答　$a=\sqrt3-\dfrac{\pi}{3}$

(2)　配点 30点

$h(x)=2\sin x-(x+a)$ とおくと $h'(x)=2\cos x-1$。 $h$ は $-\dfrac{\pi}{3}\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{3}$ で増加、 $\dfrac{\pi}{3}\leqq x\leqq\pi$ で減少し、 $h\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=0$。よって $-\dfrac{\pi}{3}\leqq x\leqq\pi$ で $h(x)\leqq0$（直線が曲線の上）。

直線が $x$ 軸と交わるのは $x=-a$（$-\dfrac{\pi}{3}<-a<0$）、曲線は $0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{3}$ で $y\geqq0$、 $-a\leqq x<0$ で $y<0$。したがって $y\geqq0$ の部分は

・$-a\leqq x\leqq0$： $0\leqq y\leqq x+a$

・$0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{3}$： $2\sin x\leqq y\leqq x+a$

$$V=\pi\int_{-a}^{\frac{\pi}{3}}(x+a)^2dx-\pi\int_0^{\frac{\pi}{3}}4\sin^2x\,dx$$

$\dfrac{\pi}{3}+a=\sqrt3$ より、円錐の部分 $\pi\displaystyle\int_{-a}^{\frac{\pi}{3}}(x+a)^2dx$ は $\pi\cdot\dfrac{(\sqrt3)^3}{3}=\sqrt3\,\pi$。

$$\int_0^{\frac{\pi}{3}}4\sin^2x\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{3}}2(1-\cos2x)\,dx=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}$$

$$V=\pi\left(\sqrt3-\frac{2\pi}{3}+\frac{\sqrt3}{2}\right)=\pi\left(\frac{3\sqrt3}{2}-\frac{2\pi}{3}\right)$$

答　$\left(\dfrac{3\sqrt3}{2}-\dfrac{2\pi}{3}\right)\pi$

$t$ を実数とするとき、2次方程式

$$z^2+tz+t=0$$

について、次の問いに答えよ。

(1) この2次方程式が異なる2つの虚数解をもつような $t$ の範囲と、そのときの虚数解をすべて求めよ。

(2) (1) の虚数解のうち、その虚部が正のものを $z(t)$ で表す。 $t$ が (1) で求めた範囲を動くとき、複素数平面上で点 $z(t)$ が書く図形 $C$ を求め、図示せよ。

(3) 複素数平面上で、点 $z$ が (2) の図形 $C$ 上を動くとき、

$$w=\frac{iz}{z+1}$$

で表される点 $w$ が書く図形を求め、図示せよ。

(1)　配点 15点

異なる2つの虚数解をもつ条件は、判別式 $t^2-4t<0$ より

答　$0<t<4$、虚数解は $z=\dfrac{-t\pm\sqrt{4t-t^2}\,i}{2}$

(2)　配点 15点

$z(t)=x+yi$ とおくと $x=-\dfrac t2$、 $y=\dfrac{\sqrt{4t-t^2}}{2}>0$。

$t=-2x$ を代入して $4y^2=4t-t^2=-8x-4x^2$、すなわち $(x+1)^2+y^2=1$。

$0<t<4$ より $-2<x<0$、また $y>0$。

答　$C$ は点 $-1$ を中心とする半径1の円 $|z+1|=1$ のうち、虚部が正の部分（上半分の半円。両端の点 $0$、 $-2$ は含まない）

(3)　配点 20点

$u=z+1$ とおくと $|u|=1$、 $\mathrm{Im}\,u>0$。 $z=u-1$ より

$$w=\frac{i(u-1)}{u}=i\left(1-\frac1u\right)=i(1-\bar u)\qquad\left(|u|=1\ \text{より}\ \frac1u=\bar u\right)$$

$u=\cos\varphi+i\sin\varphi\ (0<\varphi<\pi)$ とおくと

$$w=i(1-\cos\varphi+i\sin\varphi)=-\sin\varphi+(1-\cos\varphi)\,i$$

よって $w=X+Yi$ は $X^2+(Y-1)^2=\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1$ をみたす。

$0<\varphi<\pi$ より $X=-\sin\varphi<0$、 $Y=1-\cos\varphi$ は $0<Y<2$ を動く（$\varphi$ が $0$ から $\pi$ へ動くとき、点 $0$ のそばから $-1+i$ を通って点 $2i$ のそばまで動く）。

答　点 $i$ を中心とする半径1の円 $|w-i|=1$ のうち、実部が負の部分（左半分の半円。両端の点 $0$、 $2i$ は含まない）

実数 $x$ に対して、 $[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表す。例えば、 $\left[\dfrac32\right]=1$、 $[2]=2$ である。このとき、 $0<\theta<\pi$ として次の問いに答えよ。ただし、必要なら $\sin\alpha=\dfrac{1}{2\sqrt2}$ となる角 $\alpha\ \left(0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\right)$ を用いてよい。

(1) 不等式 $\log_2\left[\dfrac52+\cos\theta\right]\leqq1$ を満たす $\theta$ の範囲を求めよ。

(2) 不等式 $\left[\dfrac32+\log_2\sin\theta\right]\geqq1$ を満たす $\theta$ の範囲を求めよ。

(3) 不等式 $\log_2\left[\dfrac52+\cos\theta\right]\leqq\left[\dfrac32+\log_2\sin\theta\right]$ を満たす $\theta$ の範囲を求めよ。

(1)　配点 15点

$0<\theta<\pi$ より $-1<\cos\theta<1$、 $\dfrac32<\dfrac52+\cos\theta<\dfrac72$。 $N=\left[\dfrac52+\cos\theta\right]$ は

・$N=1$： $\cos\theta<-\dfrac12$、すなわち $\dfrac{2\pi}{3}<\theta<\pi$

・$N=2$： $-\dfrac12\leqq\cos\theta<\dfrac12$、すなわち $\dfrac{\pi}{3}<\theta\leqq\dfrac{2\pi}{3}$

・$N=3$： $\cos\theta\geqq\dfrac12$、すなわち $0<\theta\leqq\dfrac{\pi}{3}$

$\log_2N\leqq1\iff N\leqq2$ なので

答　$\dfrac{\pi}{3}<\theta<\pi$

(2)　配点 15点

$[x]\geqq1\iff x\geqq1$ より、 $\dfrac32+\log_2\sin\theta\geqq1$、 $\log_2\sin\theta\geqq-\dfrac12$、 $\sin\theta\geqq2^{-\frac12}=\dfrac{1}{\sqrt2}$。

答　$\dfrac{\pi}{4}\leqq\theta\leqq\dfrac{3\pi}{4}$

(3)　配点 20点

右辺を $M=\left[\dfrac32+\log_2\sin\theta\right]$ とおく。 $0<\sin\theta\leqq1$ より $\dfrac32+\log_2\sin\theta\leqq\dfrac32$ なので $M\leqq1$。

また $M\geqq0\iff\dfrac32+\log_2\sin\theta\geqq0\iff\sin\theta\geqq2^{-\frac32}=\dfrac{1}{2\sqrt2}$。

左辺は (1) の $N$ により $\log_2N$。

・$N=3$（$0<\theta\leqq\dfrac{\pi}{3}$）：左辺 $=\log_23>1\geqq M$ なので不適

・$N=2$（$\dfrac{\pi}{3}<\theta\leqq\dfrac{2\pi}{3}$）：左辺 $=1$。 $M\geqq1$ が必要で、(2) より $\dfrac{\pi}{4}\leqq\theta\leqq\dfrac{3\pi}{4}$。この区間全体が条件をみたす

・$N=1$（$\dfrac{2\pi}{3}<\theta<\pi$）：左辺 $=0$。 $M\geqq0$、すなわち $\sin\theta\geqq\dfrac{1}{2\sqrt2}$ が必要で、 $\alpha\leqq\theta\leqq\pi-\alpha$

$\sin\alpha=\dfrac{1}{2\sqrt2}<\dfrac{\sqrt3}{2}$ より $\alpha<\dfrac{\pi}{3}$、よって $\pi-\alpha>\dfrac{2\pi}{3}$。 $N=1$ の場合は $\dfrac{2\pi}{3}<\theta\leqq\pi-\alpha$。

2つの場合を合わせて

答　$\dfrac{\pi}{3}<\theta\leqq\pi-\alpha$

実数 $t$ が $t\geqq0$ の範囲を動くとき、 $xy$ 平面上で点 $\mathrm{P}\left(t^2,\ e^{-t}\right)$ が書く曲線を $C$ とする。 $a$ を正の実数とし、曲線 $C$ と $x$ 軸、 $y$ 軸、および直線 $x=a^2$ で囲まれる部分の面積を $S(a)$ とする。このとき次の問いに答えよ。

(1) 面積 $S(a)$ を求めよ。

(2) $a>0$ の範囲で関数 $S(a)$ の増減、凹凸を調べ、そのグラフの概形を書け。ただし、 $\displaystyle\lim_{a\to\infty}ae^{-a}=0$ であることを用いてよい。

(3) $S(a)=1.35$ となる $a$ が $2<a<3$ の範囲に存在することを示せ。ただし、必要なら $2.5<e<3$ であることを用いてよい。

(1)　配点 15点

$x=t^2$ は $t\geqq0$ で増加し、 $y=e^{-t}>0$。 $x:0\to a^2$ のとき $t:0\to a$、 $dx=2t\,dt$ なので

$$S(a)=\int_0^{a^2}y\,dx=\int_0^a 2te^{-t}\,dt$$

$$\int_0^a2te^{-t}dt=\Bigl[-2te^{-t}\Bigr]_0^a+\int_0^a2e^{-t}dt=-2ae^{-a}-2e^{-a}+2$$

答　$S(a)=2-2(a+1)e^{-a}$

(2)　配点 20点

$$S'(a)=2ae^{-a}>0,\qquad S”(a)=2(1-a)e^{-a}$$

$S(a)$ は単調に増加し、 $0<a<1$ で下に凸、 $a>1$ で上に凸。変曲点は $\left(1,\ 2-\dfrac4e\right)$。

$\displaystyle\lim_{a\to+0}S(a)=0$、 $\displaystyle\lim_{a\to\infty}S(a)=2-2\lim_{a\to\infty}\left(ae^{-a}+e^{-a}\right)=2$。漸近線は直線 $S=2$。

グラフは、原点から横軸に接するように出て（$S'(+0)=0$）増加し、 $a=1$ で凹凸が入れかわって、直線 $S=2$ に下から近づく曲線。

(3)　配点 15点

$$S(2)=2-\frac{6}{e^2},\qquad S(3)=2-\frac{8}{e^3}$$

$e<3$ より $e^2<9$、 $S(2)<2-\dfrac69=\dfrac43<1.35$。

$e>2.5$ より $e^3>15.625>15$、 $S(3)>2-\dfrac{8}{15}=\dfrac{22}{15}=1.466\cdots>1.35$。

$S(a)$ は連続なので、中間値の定理より $S(a)=1.35$ となる $a$ が $2<a<3$ に存在する（$S$ は増加なのでただ1つ）。