【解説・採点基準付き】2014年九州大学理系数学の解答・解説

関数 $f(x)=x-\sin x\ \left(0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}\right)$ を考える。曲線 $y=f(x)$ の接線で傾きが $\dfrac12$ となるものを $\ell$ とする。

(1) $\ell$ の方程式と接点の座標 $(a,b)$ を求めよ。

(2) $a$ は (1) で求めたものとする。曲線 $y=f(x)$、直線 $x=a$、および $x$ 軸で囲まれた領域を、 $x$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求めよ。

(1)　配点 15点

$f'(x)=1-\cos x$。接点の $x$ 座標 $a$ について、 $f'(a)=\dfrac12$ より

$$1-\cos a=\frac12\qquad\therefore\ \cos a=\frac12$$

$0\leqq a\leqq\dfrac{\pi}{2}$ で $\cos a$ は減少するので、これをみたす $a$ は $a=\dfrac{\pi}{3}$ ただ1つ。

$$b=f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\pi}{3}-\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}$$

接線の公式 $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ より

$$y=\frac12\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}=\frac12x+\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{2}$$

答　$\ell:\ y=\dfrac12x+\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\sqrt3}{2}$、接点 $(a,b)=\left(\dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$

(2)　配点 35点

$0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{3}$ で $f'(x)=1-\cos x\geqq0$ なので $f(x)$ は増加し、 $f(0)=0$ より $f(x)\geqq0$。よって回転させる領域は、曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸の間の $0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{3}$ の部分（下の図の色の部分）。

回転体を平面 $x=t$ $\left(0\leqq t\leqq\dfrac{\pi}{3}\right)$ で切った切り口は、 $x$ 軸上の点 $\mathrm{H}$ を中心とする半径 $t-\sin t$ の円で、面積は $\pi(t-\sin t)^2$。

これを $0\leqq t\leqq\dfrac{\pi}{3}$ で積分する。 $\pi$ は左辺に寄せて

$$\frac{V}{\pi}=\int_0^{\frac{\pi}{3}}(x-\sin x)^2dx=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\left(x^2-2x\sin x+\sin^2x\right)dx$$

3つの積分をそれぞれ計算する。

$$\int_0^{\frac{\pi}{3}}x^2dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^{\frac{\pi}{3}}=\frac{\pi^3}{81}$$

$x\sin x$ は $x$ を微分、 $\sin x$ を積分する部分積分。 $(-\cos x)’=\sin x$ を確かめてから

$$\int_0^{\frac{\pi}{3}}x(-\cos x)’\,dx=\Big[-x\cos x\Big]_0^{\frac{\pi}{3}}+\int_0^{\frac{\pi}{3}}\cos x\,dx=-\frac{\pi}{6}+\Big[\sin x\Big]_0^{\frac{\pi}{3}}=-\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{2}$$

（検算： $(-x\cos x+\sin x)’=-\cos x+x\sin x+\cos x=x\sin x$）

$\sin^2x$ は偶数次なので半角の公式で次数を下げる。

$$\int_0^{\frac{\pi}{3}}\sin^2x\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\frac{1-\cos2x}{2}\,dx=\left[\frac x2-\frac{\sin2x}{4}\right]_0^{\frac{\pi}{3}}=\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{8}$$

（検算： $\left(\dfrac x2-\dfrac{\sin2x}{4}\right)’=\dfrac{1-\cos2x}{2}=\sin^2x$）

したがって

$$\frac{V}{\pi}=\frac{\pi^3}{81}-2\left(-\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{2}\right)+\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{8}=\frac{\pi^3}{81}+\frac{\pi}{2}-\frac{9\sqrt3}{8}$$

最後に寄せた $\pi$ を戻して

答　$V=\pi\left(\dfrac{\pi^3}{81}+\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{9\sqrt3}{8}\right)$

（検算：かっこの中は $0.3828+1.5708-1.9486\fallingdotseq0.0050$ で正。 $x$ が小さいとき $x-\sin x$ はとても小さいので、体積が小さい値になるのは自然）

別解（原始関数を1つにまとめる）　$(x-\sin x)^2$ の原始関数を

$$F(x)=\frac{x^3}{3}+2x\cos x-2\sin x+\frac x2-\frac{\sin2x}{4}$$

とまとめておく。微分すると $F'(x)=x^2-2x\sin x+\dfrac{1-\cos2x}{2}=x^2-2x\sin x+\sin^2x$ と被積分関数に戻るので、符号の誤りがないことを確かめてから代入できる。 $V=\pi\left\{F\left(\dfrac{\pi}{3}\right)-F(0)\right\}$ で、代入は1回で済み、同じ答えになる。

以下の問いに答えよ。

(1) 任意の自然数 $a$ に対し、 $a^2$ を3で割った余りは0か1であることを証明せよ。

(2) 自然数 $a,b,c$ が $a^2+b^2=3c^2$ を満たすと仮定すると、 $a,b,c$ はすべて3で割り切れなければならないことを証明せよ。

(3) $a^2+b^2=3c^2$ を満たす自然数 $a,b,c$ は存在しないことを証明せよ。

(1)　配点 10点

$k$ を0以上の整数とすると、自然数 $a$ は $3k$、 $3k+1$、 $3k+2$ のいずれかの形で表せる。

$a=3k$ のとき　$a^2=9k^2=3\cdot3k^2$

$a=3k+1$ のとき　$a^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1$

$a=3k+2$ のとき　$a^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1$

よって、 $a^2$ を3で割った余りは0か1である。（証明終）

また、この結果から、 $a^2$ を3で割った余りが0になるのは $a$ が3の倍数のときだけであることも分かる。

(2)　配点 20点

$a^2+b^2=3c^2$ の右辺は3の倍数なので、 $a^2+b^2$ は3で割り切れる。(1) より、 $a^2$、 $b^2$ を3で割った余りはそれぞれ0か1で、和 $a^2+b^2$ を3で割った余りは次の表のとおりである。

和が3で割り切れるのは、 $a^2$、 $b^2$ がともに3で割り切れるときだけである。(1) より、 $a^2$ が3で割り切れるのは $a$ が3の倍数のときだけなので、 $a,\ b$ はともに3の倍数である。

$a=3a_1$、 $b=3b_1$（ $a_1,b_1$ は自然数）とおくと

$$9a_1^2+9b_1^2=3c^2\iff c^2=3(a_1^2+b_1^2)$$

よって $c^2$ は3の倍数で、(1) より $c$ も3の倍数である。したがって、 $a,b,c$ はすべて3で割り切れる。（証明終）

(3)　配点 20点

$a^2+b^2=3c^2$ をみたす自然数の組 $(a,b,c)$ が存在すると仮定する。そのような組の中で、 $c$ が最小のものを $(a,b,c)$ とする（自然数の集まりには、必ず最小のものがある）。

(2) より $a,b,c$ はすべて3の倍数なので、 $a=3a_1$、 $b=3b_1$、 $c=3c_1$（ $a_1,b_1,c_1$ は自然数）とおける。代入すると

$$9a_1^2+9b_1^2=27c_1^2\iff a_1^2+b_1^2=3c_1^2$$

よって $(a_1,b_1,c_1)$ も $a^2+b^2=3c^2$ をみたす自然数の組である。ところが $c_1=\dfrac c3<c$ なので、 $c$ が最小であることに矛盾する。

したがって、 $a^2+b^2=3c^2$ をみたす自然数 $a,b,c$ は存在しない。（証明終）

別解（ $3^n$ でくくり出す）　解 $(a,b,c)$ が存在すると仮定する。 $3^n$ が $c$ を割り切るとき $3^n\leqq c$ なので、 $a,b,c$ をすべて割り切る3の累乗には最大のものがある。それを $3^n$（ $n\geqq0$）とし、 $a=3^nA$、 $b=3^nB$、 $c=3^nC$ とおく。 $A,B,C$ は自然数で、少なくとも1つは3で割り切れない（すべて3で割り切れると、 $3^{n+1}$ も $a,b,c$ をすべて割り切ってしまう）。代入して両辺を $9^n$ で割ると $A^2+B^2=3C^2$ となり、 $(A,B,C)$ も解である。すると (2) より $A,B,C$ はすべて3で割り切れ、矛盾する。最小の $c$ をとる代わりに最大の $3^n$ をとる書き方で、どちらでも (2) を1回使うだけで矛盾が導ける。

座標平面上の楕円

$$\frac{(x+2)^2}{16}+\frac{(y-1)^2}{4}=1\qquad\cdots\cdots①$$

を考える。以下の問いに答えよ。

(1) 楕円①と直線 $y=x+a$ が交点をもつときの $a$ の値の範囲を求めよ。

(2) $|x|+|y|=1$ を満たす点 $(x,y)$ 全体がなす図形の概形をかけ。

(3) 点 $(x,y)$ が楕円①上を動くとき、 $|x|+|y|$ の最大値、最小値とそれを与える $(x,y)$ をそれぞれ求めよ。

(1)　配点 15点

①に $y=x+a$ を代入する。 $u=x+2$ とおくと $y-1=x+a-1=u+a-3$ なので、①は

$$\frac{u^2}{16}+\frac{(u+a-3)^2}{4}=1\iff u^2+4(u+a-3)^2=16\iff5u^2+8(a-3)u+4(a-3)^2-16=0$$

楕円①と直線が交点をもつ条件は、この $u$ の2次方程式が実数解をもつことなので

$$\frac D4=16(a-3)^2-5\left\{4(a-3)^2-16\right\}=80-4(a-3)^2\geqq0$$

すなわち $(a-3)^2\leqq20$、 $-2\sqrt5\leqq a-3\leqq2\sqrt5$。

答　$3-2\sqrt5\leqq a\leqq3+2\sqrt5$

別解（楕円の接線の公式）　楕円 $\dfrac{X^2}{16}+\dfrac{Y^2}{4}=1$ の傾き $m$ の接線は $Y=mX\pm\sqrt{16m^2+4}$。 $m=1$ で $Y=X\pm2\sqrt5$。 $X=x+2$、 $Y=y-1$ と中心を $(-2,1)$ にずらすと、①の傾き1の接線は $y=x+3\pm2\sqrt5$。傾き1の直線が①と交点をもつのは、この2本の接線の間にあるときなので、 $3-2\sqrt5\leqq a\leqq3+2\sqrt5$。答えの検算にも使える。

(2)　配点 5点

$x\geqq0$、 $y\geqq0$ のとき $x+y=1$、 $x\leqq0$、 $y\geqq0$ のとき $-x+y=1$、 $x\leqq0$、 $y\leqq0$ のとき $-x-y=1$、 $x\geqq0$、 $y\leqq0$ のとき $x-y=1$。それぞれ、下の図の4つの線分になる。

答　4点 $(1,0)$、 $(0,1)$、 $(-1,0)$、 $(0,-1)$ を頂点とする正方形（下の図）

(3)　配点 30点

$k>0$ のとき、 $|x|+|y|=k$ は (2) と同様に、4点 $(\pm k,0)$、 $(0,\pm k)$ を頂点とする正方形である。

最大値　$|x|\geqq\pm x$、 $|y|\geqq\pm y$ で、等号はどちらかの符号で成り立つので、 $|x|+|y|$ は $x+y$、 $-x+y$、 $x-y$、 $-x-y$ のうち最大のものに等しい。そこで、この4つの式の最大値をすべて求めて比べる。

①上の点 $(x,y)$ をとり、 $a=y-x$ とおく。直線 $y=x+a$ は点 $(x,y)$ で①と交わるので、(1) より

$$3-2\sqrt5\leqq-x+y\leqq3+2\sqrt5\qquad\therefore\ -x+y\leqq3+2\sqrt5,\quad x-y\leqq-3+2\sqrt5$$

同じように、 $k=x+y$ とおくと直線 $y=-x+k$ は点 $(x,y)$ で①と交わる。 $u=x+2$ とおくと $y-1=-u+k+1$ なので、①に代入して

$$u^2+4(-u+k+1)^2=16\iff5u^2-8(k+1)u+4(k+1)^2-16=0$$

この $u$ の2次方程式が実数解をもつので

$$\frac D4=16(k+1)^2-5\left\{4(k+1)^2-16\right\}=80-4(k+1)^2\geqq0\qquad\therefore\ -1-2\sqrt5\leqq x+y\leqq-1+2\sqrt5$$

よって $x+y\leqq-1+2\sqrt5$、 $-x-y\leqq1+2\sqrt5$。4つの上限を比べると

$$-3+2\sqrt5<-1+2\sqrt5<1+2\sqrt5<3+2\sqrt5$$

なので

$$|x|+|y|\leqq3+2\sqrt5$$

で、等号は $-x+y=3+2\sqrt5$ のときに限る（ほかの3つの式は $3+2\sqrt5$ に届かない）。

$-x+y=3+2\sqrt5$ となる①上の点は、直線 $y=x+3+2\sqrt5$ と①の共有点。 $a=3+2\sqrt5$ のとき (1) の判別式は0なので、直線は①に接し（下の図の点 $\mathrm{T}$）、接点は (1) の2次方程式の重解

$$u=-\frac{4(a-3)}{5}=-\frac{8\sqrt5}{5}$$

で与えられる。よって

$$x=u-2=-2-\frac{8\sqrt5}{5},\qquad y=x+a=1+\frac{2\sqrt5}{5}$$

このとき $|x|+|y|\geqq-x+y=3+2\sqrt5$ なので、最大値は $3+2\sqrt5$（ $x<0$、 $y>0$ なので確かに $|x|+|y|=-x+y$）。

最小値　①に $x=0$ を代入すると $(y-1)^2=3$ なので、点 $(0,\ 1-\sqrt3)$ は①上にあり、 $|x|+|y|=\sqrt3-1$。 $k=\sqrt3-1$ とおく。

$f(x,y)=\dfrac{(x+2)^2}{16}+\dfrac{(y-1)^2}{4}$ とおくと、楕円①の内部（周を含まない）は $f(x,y)<1$ で表され、凸な図形である。 $0\leqq t<k$ とし、正方形 $|x|+|y|\leqq t$ の4頂点を調べる。 $0\leqq t<k<1$ に注意すると

・$f(t,0)=\dfrac{(2+t)^2}{16}+\dfrac14<\dfrac{(1+\sqrt3)^2}{16}+\dfrac14=\dfrac{8+2\sqrt3}{16}<1$

・$f(-t,0)=\dfrac{(2-t)^2}{16}+\dfrac14\leqq\dfrac{4}{16}+\dfrac14<1$

・$f(0,t)=\dfrac14+\dfrac{(1-t)^2}{4}\leqq\dfrac14+\dfrac14<1$

・$f(0,-t)=\dfrac14+\dfrac{(1+t)^2}{4}<\dfrac14+\dfrac{(1+k)^2}{4}=\dfrac14+\dfrac34=1$

4頂点がすべて楕円の内部にあり、楕円の内部は凸な図形なので、正方形 $|x|+|y|\leqq t$ は周も含めて全体が楕円の内部に含まれる。よって①上に $|x|+|y|=t$ となる点はない。 $t$ は $0\leqq t<k$ のどの値でもよいので、正方形の内部 $|x|+|y|<k$ は楕円の内部に含まれ、楕円の周上の点は入らない。したがって、①上の点はすべて $|x|+|y|\geqq k$ をみたし、最小値は $\sqrt3-1$。

最後に、正方形 $|x|+|y|=k$ と①の共有点を調べる。上の計算は $t=k$ でも $f(\pm k,0)<1$、 $f(0,k)<1$ が成り立つので、正方形の上側の2辺は楕円の内部にある。下側の2辺上の点 $(\pm s,\ s-k)$（ $0<s\leqq k$）では

$$f(s,\ s-k)-1=\frac{s(5s+4-8\sqrt3)}{16},\qquad f(-s,\ s-k)-1=\frac{s(5s-4-8\sqrt3)}{16}$$

で、 $5s+4\leqq5\sqrt3-1<8\sqrt3$ なので、どちらも負。よって共有点は $(0,\ 1-\sqrt3)$ だけである。

答　最大値 $3+2\sqrt5$　 $(x,y)=\left(-2-\dfrac{8\sqrt5}{5},\ 1+\dfrac{2\sqrt5}{5}\right)$ ／最小値 $\sqrt3-1$　 $(x,y)=(0,\ 1-\sqrt3)$

補足（楕円を媒介変数で表す確かめ方）　①上の点は $x=-2+4\cos\theta$、 $y=1+2\sin\theta$ と表せる。 $\pm4\cos\theta\pm2\sin\theta\leqq\sqrt{16+4}=2\sqrt5$ なので、 $x+y\leqq-1+2\sqrt5$、 $-x+y\leqq3+2\sqrt5$、 $x-y\leqq-3+2\sqrt5$、 $-x-y\leqq1+2\sqrt5$ となり、最大値が $-x+y$ の側で決まることを三角関数の合成でも確かめられる。

Aさんは5円硬貨を3枚、Bさんは5円硬貨を1枚と10円硬貨を1枚持っている。2人は自分が持っている硬貨すべてを一度に投げる。それぞれが投げた硬貨のうち表が出た硬貨の合計金額が多い方を勝ちとする。勝者は相手の裏が出た硬貨をすべてもらう。なお、表が出た硬貨の合計金額が同じときは引き分けとし、硬貨のやりとりは行わない。このゲームについて、以下の問いに答えよ。

(1) Aさんが Bさんに勝つ確率 $p$、および引き分けとなる確率 $q$ をそれぞれ求めよ。

(2) ゲーム終了後にAさんが持っている硬貨の合計金額の期待値 $E$ を求めよ。

(1)　配点 20点

5枚の硬貨をすべて区別すると、表裏の出方は全部で $2^5=32$ 通りで、どれも同様に確からしい。Aの表の金額を $X$ 円、Bの表の金額を $Y$ 円とする。

Aは5円硬貨3枚のうち表が $k$ 枚なら $X=5k$ で、その出方は ${}_3\mathrm{C}_k$ 通りなので、確率は $\dfrac{{}_3\mathrm{C}_k}{8}$。よって $X=0,5,10,15$ の確率は順に $\dfrac18$、 $\dfrac38$、 $\dfrac38$、 $\dfrac18$。

Bは、両方裏なら $Y=0$、5円だけ表なら $Y=5$、10円だけ表なら $Y=10$、両方表なら $Y=15$ なので、 $Y=0,5,10,15$ の確率はどれも $\dfrac14$。

AとBの硬貨の出方は互いに影響しないので、各組 $(X,\ Y)$ の確率は（ $X$ の確率）× $\dfrac14$。 $X$ を行、 $Y$ を列にした表で、Aの勝ち（ $X>Y$ ）と引き分け（ $X=Y$ ）のマスは次のとおり。

Aの勝ちのマスは、 $X=5$ で $Y=0$ の1マス、 $X=10$ で $Y=0,5$ の2マス、 $X=15$ で $Y=0,5,10$ の3マスなので

$$p=\frac38\cdot\frac14\cdot1+\frac38\cdot\frac14\cdot2+\frac18\cdot\frac14\cdot3=\frac{3+6+3}{32}=\frac38$$

引き分けのマスは各行に1マスずつなので

$$q=\left(\frac18+\frac38+\frac38+\frac18\right)\cdot\frac14=\frac14$$

答　$p=\dfrac38$、 $q=\dfrac14$

(2)　配点 30点

はじめは2人とも15円ずつ持っているので、Aの裏の金額は $15-X$ 円、Bの裏の金額は $15-Y$ 円である。

・Aの勝ち（ $X>Y$ ）のとき　Bの裏 $15-Y$ 円をもらうので、ゲーム後のAの金額は $15+(15-Y)=30-Y$ 円

・Aの負け（ $X<Y$ ）のとき　自分の裏 $15-X$ 円をすべて渡すので、ゲーム後のAの金額は $15-(15-X)=X$ 円

・引き分け（ $X=Y$ ）のとき　15円のまま

この金額を (1) の表に書き込むと、次のようになる。

各マスの確率は、32通りのうち、行 $X=0,5,10,15$ のマスがそれぞれ1、3、3、1通り。同じ金額のマスの確率を集めると、ゲーム後のAの金額とその確率は次の表になる。

（例： $30$ 円は $Y=0$ で勝つマスで、 $X=5,10,15$ の行の $3+3+1=7$ 通り。 $15$ 円は引き分けの4マスで $1+3+3+1=8$ 通り）

確率の和は $\dfrac{3+6+3+8+1+4+7}{32}=1$ で、数え漏れはない。

よって

$$E=\frac{0\cdot3+5\cdot6+10\cdot3+15\cdot8+20\cdot1+25\cdot4+30\cdot7}{32}=\frac{510}{32}=\frac{255}{16}$$

答　$E=\dfrac{255}{16}$（円）

別解（表の和で計算を工夫する）　$Y$ の確率はどれも $\dfrac14$ なので、行ごとに4マスの金額の平均をとってから $X$ の確率をかけてもよい。

・$X=0$ の行： $\dfrac{15+0+0+0}{4}=\dfrac{15}{4}$

・$X=5$ の行： $\dfrac{30+15+5+5}{4}=\dfrac{55}{4}$

・$X=10$ の行： $\dfrac{30+25+15+10}{4}=\dfrac{80}{4}$

・$X=15$ の行： $\dfrac{30+25+20+15}{4}=\dfrac{90}{4}$

$$E=\frac18\cdot\frac{15}{4}+\frac38\cdot\frac{55}{4}+\frac38\cdot\frac{80}{4}+\frac18\cdot\frac{90}{4}=\frac{15+165+240+90}{32}=\frac{510}{32}=\frac{255}{16}$$

値ごとの確率を作らずに済む工夫で、本解の検算にも使える。

2以上の自然数 $n$ に対して、関数 $f_n(x)$ を

$$f_n(x)=(x-1)(2x-1)\cdots(nx-1)$$

と定義する。 $k=1,2,\cdots,n-1$ に対して、 $f_n(x)$ が区間 $\dfrac{1}{k+1}<x<\dfrac1k$ でただ1つの極値をとることを証明せよ。

配点 50点

$f_n(x)=0$ の解は $x=1,\ \dfrac12,\ \cdots,\ \dfrac1n$ の $n$ 個で、大小は $\dfrac1n<\dfrac{1}{n-1}<\cdots<\dfrac12<1$。また、 $f_n(x)$ は $x^n$ の係数が $1\cdot2\cdots n=n!$ の $n$ 次の多項式なので、 $f_n'(x)$ は $x^{n-1}$ の係数が $n\cdot n!\ (\neq0)$ の $n-1$ 次の多項式である。

存在　$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$ とする。 $f_n(x)$ は多項式なので、区間 $\dfrac{1}{k+1}\leqq x\leqq\dfrac1k$ で連続、区間 $\dfrac{1}{k+1}<x<\dfrac1k$ で微分可能である。平均値の定理より

$$\frac{f_n\left(\dfrac1k\right)-f_n\left(\dfrac{1}{k+1}\right)}{\dfrac1k-\dfrac{1}{k+1}}=f_n'(c_k),\qquad\frac{1}{k+1}<c_k<\frac1k$$

をみたす $c_k$ が存在する。 $f_n\left(\dfrac{1}{k+1}\right)=f_n\left(\dfrac1k\right)=0$ なので左辺は0で、 $f_n'(c_k)=0$ である。

個数　$n-1$ 個の区間 $\dfrac{1}{k+1}<x<\dfrac1k$ $(k=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1)$ は互いに重ならないので、 $c_1,\ c_2,\ \cdots,\ c_{n-1}$ は互いに異なる。よって方程式 $f_n'(x)=0$ は異なる解を少なくとも $n-1$ 個もつ。

一方、 $f_n'(x)$ は $n-1$ 次式なので、 $f_n'(x)=0$ の解は重解を重複して数えても $n-1$ 個以下である。

したがって $f_n'(x)=0$ の解は $c_1,\ c_2,\ \cdots,\ c_{n-1}$ だけで、どれも重解ではない。因数定理より

$$f_n'(x)=n\cdot n!\,(x-c_1)(x-c_2)\cdots(x-c_{n-1})$$

と表せる。とくに、区間 $\dfrac{1}{k+1}<x<\dfrac1k$ で $f_n'(x)=0$ となる $x$ は $c_k$ ただ1つである。

極値であること　区間 $\dfrac{1}{k+1}<x<\dfrac1k$ において、 $j\neq k$ の $c_j$ はこの区間の外にあるので、因数 $x-c_j$ $(j\neq k)$ はこの区間で0にならず、符号は一定である。よって $f_n'(x)$ の符号は、 $x-c_k$ の符号と同じく $x=c_k$ の前後で変わる。したがって $f_n(x)$ は $x=c_k$ で極値をとる。

下の図は $n=4$ のとき。上の $y=f_4(x)$ の山・谷の位置と、下の $y=f_4{}'(x)$ が $x$ 軸を横切る点 $c_3,\ c_2,\ c_1$ がそろっている。

ただ1つであること　$f_n(x)$ は微分可能なので、区間内の点 $x=a$ で極値をとるなら $f_n'(a)=0$ である。この区間で $f_n'(x)=0$ となるのは $x=c_k$ だけなので、極値をとる点は $c_k$ 以外にない。

以上より、 $f_n(x)$ は区間 $\dfrac{1}{k+1}<x<\dfrac1k$ でただ1つの極値をとる。（証明終わり）

補足（符号の変化を因数分解なしで示す方法）　区間 $\dfrac{1}{k+1}<x<\dfrac1k$ で $f_n'(x)=0$ となる点が $c_k$ だけと分かれば、次のようにも示せる。もし $x=c_k$ の前後で $f_n'(x)$ の符号が変わらないなら、この区間で $f_n'(x)$ は $c_k$ 以外で0にならず符号が一定なので、 $f_n(x)$ は区間 $\dfrac{1}{k+1}\leqq x\leqq\dfrac1k$ で単調に増加するか単調に減少する。これは両端の値がどちらも0であることに反する。よって $f_n'(x)$ は $x=c_k$ の前後で符号が変わる。

補足（別解：対数微分で各区間を調べる）　次数で個数を数えずに、各区間の中だけで示す方法もある。区間 $\dfrac{1}{k+1}<x<\dfrac1k$ では $f_n(x)\neq0$ で、 $f_n(x)$ は連続なので符号が一定である。 $\log|f_n(x)|=\log|x-1|+\log|2x-1|+\cdots+\log|nx-1|$ を微分すると、 $\dfrac{(jx-1)’}{jx-1}=\dfrac{j}{jx-1}=\dfrac{1}{x-\dfrac1j}$ より

$$g(x)=\frac{f_n'(x)}{f_n(x)}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-\dfrac12}+\cdots+\frac{1}{x-\dfrac1n}$$

となる。 $g'(x)=-\dfrac{1}{(x-1)^2}-\dfrac{1}{\left(x-\dfrac12\right)^2}-\cdots-\dfrac{1}{\left(x-\dfrac1n\right)^2}<0$ なので、 $g(x)$ はこの区間で単調に減少する。また、 $x\to\dfrac{1}{k+1}+0$ のとき $\dfrac{1}{x-\dfrac{1}{k+1}}\to+\infty$、ほかの項は有限の値に近づくので $g(x)\to+\infty$。同じように $x\to\dfrac1k-0$ のとき $g(x)\to-\infty$。 $g(x)$ は連続なので、中間値の定理と単調性より、 $g(x)=0$ となる $x$ はこの区間にただ1つあり（これを $c_k$ とする）、その前後で $g(x)$ の符号は正から負に変わる。 $f_n'(x)=f_n(x)\,g(x)$ で $f_n(x)$ の符号は一定なので、 $f_n'(x)=0$ となるのは $x=c_k$ だけで、その前後で $f_n'(x)$ の符号が変わる。よって $f_n(x)$ はこの区間でただ1つの極値をとる。平均値の定理も次数も使わない一方で、極限と単調性の説明が要るので、本番では本解の方が短い。