【解説・配点付き】2016年九州大学物理の解答・解説

大きさが無視できる2つの小物体AとBの運動について、以下の問いに答えよ。小物体A、Bはともに同一の直線上を運動し、すべての摩擦ならびに空気抵抗およびバネの質量は無視できるものとする。また、衝突はすべて弾性衝突とする。

問1. 図1に示すような、小物体の発射装置を考える。図1(a)に示すように、質量 $M_{\mathrm{A}}$ の小物体Aは、一端を壁に固定されたバネ定数 $k$ のバネに取りつけられ、水平な床の上に置かれている。図1に示すように $x$ 軸を選び、バネが自然長のときの小物体Aの位置を $x$ 座標の原点 $x=0$ とする。

次に、質量 $M_{\mathrm{B}}$ の小物体Bを小物体Aに接触させながら $x$ 軸の負の方向に移動させ、図1(b)に示すように、小物体Aの位置が $x=-x_0\ (x_0>0)$ となったときに静止させた。時刻 $t=0$ で小物体Bを静かに離したあとの2つの小物体の運動について、以下の問いに答えよ。ただし、原点 $x=0$ において、小物体Aと小物体Bの間に作用する抗力は0となり、 $x>0$ の領域においては小物体AとBは独立に運動する。解答は、特に指定のない限り $M_{\mathrm{A}}$、 $M_{\mathrm{B}}$、 $k$、 $x_0$、 $t$ の中から必要なものを使って表すこと。

(1) 小物体Aが原点 $x=0$ を初めて通過するときの速さ $v_0$ を求めよ。

(2) 小物体Aが原点 $x=0$ を初めて通過する時刻 $t_0$ を求めよ。

(3) 時刻 $t_0$ 以降の小物体Aの位置を表す関数 $x_{\mathrm{A}}(t)$ の式を示せ。必要であれば、解答に $t_0$ を用いてもよい。

(4) 時刻 $t_0$ 以降の小物体Bの位置を表す関数 $x_{\mathrm{B}}(t)$ の式を示せ。必要であれば、解答に $t_0$ を用いてもよい。

問2. 次に、図2に示すように、 $x>0$ の領域に反射壁を固定し、図1と同じ発射装置から小物体Bを発射して運動を観測した。発射する条件は問1と同一である。

反射壁を固定する位置を、 $x>0$ の領域で図2に示すように発射装置に近い方から徐々に遠い位置に変えて小物体Bを発射した。この過程で、反射壁を $x=D_0$ の位置に固定したときに、以下のような小物体AとBの周期運動が初めて観測された。

小物体AとBは、時刻 $t=0$ で運動を開始した。時刻 $t=t_0$ で小物体Aと離れて独立に運動した小物体Bは、時刻 $t=t_1$ で反射壁と衝突した。反射壁に衝突した小物体Bは再び小物体Aと接触し、一体となった。2つの小物体が一体となるとき、小物体Aに対する小物体Bの相対速度は0であった。この後、小物体Bは小物体Aと一体となって運動し、再び発射されるという周期運動をした。

以下の問いに答えよ。解答は、 $M_{\mathrm{A}}$、 $M_{\mathrm{B}}$、 $k$、 $x_0$、 $t_0$ の中から必要なものを使って表すこと。

(1) 反射壁の位置 $x=D_0$ を求めよ。また、小物体Bが初めて反射壁に衝突した時刻 $t=t_1$ を求めよ。

(2) 反射壁が位置 $x=D_0$ に固定されている場合の周期運動について、小物体Aの位置を表す関数 $x_{\mathrm{A}}(t)$ と小物体Bの位置を表す関数 $x_{\mathrm{B}}(t)$ の概形を、時刻 $t=0$ から始まる1周期についてそれぞれ図示せよ。

このような、1周期内に反射壁と1回衝突する周期運動をもれなく探したところ、反射壁を固定する位置が、 $x=D_0$、 $x=D_1$、 $x=D_2$、…、 $x=D_p$、…のときにだけ生ずることがわかった（ただし、 $D_0<D_1<D_2<\cdots<D_p<\cdots$）。以下の問いに答えよ。解答は、 $M_{\mathrm{A}}$、 $M_{\mathrm{B}}$、 $k$、 $x_0$、 $t_0$ の中から必要なものを使って表すこと。

(3) 小物体AとBが上に述べたような周期運動をするために、反射壁の位置 $x=D_p$ が満たすべき条件を $p$ を含む式で示せ。ただし、 $p=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$ である。

問3. 最後に、図3に示すように、質量が等しい2つの小物体 $(M_{\mathrm{A}}=M_{\mathrm{B}}=M)$ を用いて運動を観測した。その他の条件は、問2と同一である。この条件では、問2に記した周期運動に加えて、以下のような周期運動も観測されることがわかった。

小物体AとBは時刻 $t=0$ で運動を開始し、時刻 $t=t_0$ で小物体Aと離れた小物体Bは、 $x=L_p$ の位置に固定した反射壁と1回目の衝突をした。次に、小物体Bは $x=0$ の位置で小物体Aと衝突した。その後、小物体Bは $x=L_p$ の位置に固定した反射壁と2回目の衝突をして、再び小物体Aと接触し、一体となった。2つの小物体が一体となるとき、小物体Aに対する小物体Bの相対速度は0であった。この後、小物体Bは小物体Aと一体となって運動し、再び発射されるという周期運動をした。

このような、1周期内に反射壁と2回衝突する周期運動をもれなく探したところ、反射壁を $x=L_0$、 $x=L_1$、 $x=L_2$、…、 $x=L_p$、…に固定したときにだけ生ずることがわかった（ただし、 $L_0<L_1<L_2<\cdots<L_p<\cdots$）。以下の問いに答えよ。解答は、 $M$、 $k$、 $x_0$、 $t_0$ の中から必要なものを使って表すこと。

(1) 小物体AとBが上に述べた周期運動をするために、反射壁の位置 $x=L_p$ が満たすべき条件を $p$ を含む式で示せ。ただし、 $p=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$ である。

(2) 反射壁が $x=L_0$ の位置に固定されている場合の周期運動における小物体Aの位置を表す関数 $x_{\mathrm{A}}(t)$ の概形を図示せよ。時刻 $t=0$ から始まる1周期を描き、 $x_{\mathrm{A}}(t)$ の最大値を与える時刻 $t$ とそのときの最大値を図中に記入せよ。

問1 (1)

A と B が一体の間、水平方向にはたらく力はばねの力と A が B を押す力だけで、A が B を押す力は、A と B にそれぞれ大きさが同じで符号が逆の仕事をするので、仕事の和は 0。だから、ばねと A、B をまとめた力学的エネルギーが保存する。 $x=-x_0$ （速さ 0）と $x=0$ （ばねの力 0、速さ $v_0$ ）で

$$\frac12kx_0^{\,2}=\frac12(M_{\mathrm{A}}+M_{\mathrm{B}})v_0^{\,2}$$

（離れる理由：一体の加速度は $a=-\dfrac{kx}{M_{\mathrm{A}}+M_{\mathrm{B}}}$ で、B にはたらく力は A からの抗力 $N$ だけ。 $N=M_{\mathrm{B}}a=-\dfrac{M_{\mathrm{B}}k}{M_{\mathrm{A}}+M_{\mathrm{B}}}x$ は $x=0$ で 0 になり、 $x>0$ では負になれない。押すだけの力なので $x=0$ で離れる。問題文は「原点で抗力が 0 になる」と最初から与えている）

答　$v_0=x_0\sqrt{\dfrac{k}{M_{\mathrm{A}}+M_{\mathrm{B}}}}$（4点）

問1 (2)

一体の間は質量 $M_{\mathrm{A}}+M_{\mathrm{B}}$ 、ばね定数 $k$ の単振動で、周期は $T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{M_{\mathrm{A}}+M_{\mathrm{B}}}{k}}$ 。時刻 0 に端 $x=-x_0$ （速さ 0）から出発し、はじめて中心 $x=0$ を通るのは、端から中心までなので周期の $\dfrac14$ 。

答　$t_0=\dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{M_{\mathrm{A}}+M_{\mathrm{B}}}{k}}$（4点）

問1 (3)

$x=0$ を過ぎると B は離れるので、A は質量 $M_{\mathrm{A}}$ 、ばね定数 $k$ のばねだけの単振動になる。中心は自然長の $x=0$ 、角振動数は $\omega_1=\sqrt{\dfrac{k}{M_{\mathrm{A}}}}$ （周期 $T_1=2\pi\sqrt{\dfrac{M_{\mathrm{A}}}{k}}$ ）。時刻 $t_0$ に中心を正の向きに速さ $v_0$ で通るので、 $x_{\mathrm{A}}=A_1\sin\omega_1(t-t_0)$ の形。中心の速さが最大なので、振幅 $A_1$ は A だけのエネルギー保存から

$$\frac12M_{\mathrm{A}}v_0^{\,2}=\frac12kA_1^{\,2}\qquad\therefore\ A_1=v_0\sqrt{\frac{M_{\mathrm{A}}}{k}}=x_0\sqrt{\frac{M_{\mathrm{A}}}{M_{\mathrm{A}}+M_{\mathrm{B}}}}$$

A は質量が小さくなったぶん振幅が $x_0$ より小さくなる（下の図）。

答　$x_{\mathrm{A}}(t)=x_0\sqrt{\dfrac{M_{\mathrm{A}}}{M_{\mathrm{A}}+M_{\mathrm{B}}}}\,\sin\left\{\sqrt{\dfrac{k}{M_{\mathrm{A}}}}\,(t-t_0)\right\}$（5点）

問1 (4)

$x>0$ の B にはたらく力は 0 なので、B は時刻 $t_0$ に $x=0$ を速さ $v_0$ で通ったまま等速。位置は $t_0$ からの時間 $t-t_0$ に比例する。

答　$x_{\mathrm{B}}(t)=x_0\sqrt{\dfrac{k}{M_{\mathrm{A}}+M_{\mathrm{B}}}}\,(t-t_0)$（5点）

（ $=v_0(t-t_0)$ 。 $t_0$ では、B の直線の傾き $v_0$ と A の曲線の傾き $A_1\omega_1=v_0$ が同じ。そのあとは A が減速するので、B が前に出ていく）

問2 (1)

時間を $s=t-t_0$ とする。B は壁（ $x=D$ ）で弾性衝突して速さ $v_0$ のまま折り返し、 $s=\dfrac{2D}{v_0}$ に $x=0$ へもどってくる（速度は負の向きに $v_0$ ）。一体になる条件は相対速度 0 で、A も負の向きに速さ $v_0$ でなければならない。A の単振動のエネルギー保存 $\dfrac12M_{\mathrm{A}}v^2+\dfrac12kx^2=\dfrac12M_{\mathrm{A}}v_0^{\,2}$ より、A の速さが $v_0$ になれるのは $x=0$ を通るときだけ。A が $x=0$ を負の向きに通るのは $s=\dfrac{T_1}{2},\ \dfrac{3T_1}{2},\ \cdots$ で、いちばん近い壁は1回目に合わせたとき。

$$\frac{2D_0}{v_0}=\frac{T_1}{2}\qquad\therefore\ D_0=\frac{v_0T_1}{4}=x_0\sqrt{\frac{k}{M_{\mathrm{A}}+M_{\mathrm{B}}}}\cdot\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{M_{\mathrm{A}}}{k}}$$

B が壁に着く時刻は $t_1=t_0+\dfrac{D_0}{v_0}=t_0+\dfrac{T_1}{4}$ 。このとき A は振幅の端（ $x=A_1$ ）にいる（下の図）。

答（ $D_0$ ）　$D_0=\dfrac{\pi x_0}{2}\sqrt{\dfrac{M_{\mathrm{A}}}{M_{\mathrm{A}}+M_{\mathrm{B}}}}$（4点）

答（ $t_1$ ）　$t_1=t_0+\dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{M_{\mathrm{A}}}{k}}$（3点）

（ $t_0$ だけで書けば $t_1=t_0\left(1+\sqrt{\dfrac{M_{\mathrm{A}}}{M_{\mathrm{A}}+M_{\mathrm{B}}}}\right)$ 。 $t_0=\dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{M_{\mathrm{A}}+M_{\mathrm{B}}}{k}}$ を使うと同じ）

問2 (2)

運動を3つの区間に分けて、下の図の順に書く。 $\omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{M_{\mathrm{A}}+M_{\mathrm{B}}}}=\dfrac{\pi}{2t_0}$ 、 $\omega_1=\sqrt{\dfrac{k}{M_{\mathrm{A}}}}$ とおく。

・$0\leqq t\leqq t_0$ （A、B が一体）： $x_{\mathrm{A}}=x_{\mathrm{B}}=-x_0\cos\omega_0t$ 。 $-x_0$ から出発して、 $t_0$ に $0$ を通る

・$t_0\leqq t\leqq 2t_1-t_0$ （離れている間）： $x_{\mathrm{A}}=A_1\sin\omega_1(t-t_0)$ で、 $t_1$ に最大値 $A_1=x_0\sqrt{\dfrac{M_{\mathrm{A}}}{M_{\mathrm{A}}+M_{\mathrm{B}}}}$ 、 $2t_1-t_0$ に $0$ にもどる。 $x_{\mathrm{B}}$ は $t_0$ から $t_1$ まで傾き $v_0$ の直線で $D_0$ まで上がり、 $t_1$ から $2t_1-t_0$ まで傾き $-v_0$ の直線で $0$ までもどる

・$2t_1-t_0\leqq t\leqq 2t_1$ （A、B が一体）： $x=0$ を速さ $v_0$ で負の向きに通り、 $-x_0$ まで進んで止まる（最初と同じ状態。 $x_{\mathrm{A}}=x_{\mathrm{B}}=-x_0\sin\omega_0(t-2t_1+t_0)$ ）

どちらのグラフも $t=t_1$ について左右対称で、1周期は $2t_1=2t_0+\pi\sqrt{\dfrac{M_{\mathrm{A}}}{k}}$ 。B の直線は $t_0$ で A の曲線と同じ傾き $v_0$ で（なめらかに）つながり、 $2t_1-t_0$ で A と同じ傾き $-v_0$ で $0$ に着く。B は $D_0>A_1$ まで進むので、離れている間は B の方がいつも上にある。

（図は $M_{\mathrm{B}}=3M_{\mathrm{A}}$ の場合の形。 $t_1$ の位置などは質量の比で変わる）

答　上の図（ $x_{\mathrm{A}}$ ： $-x_0$ → $0$ （ $t_0$ ）→ 最大 $A_1$ （ $t_1$ ）→ $0$ （ $2t_1-t_0$ ）→ $-x_0$ （ $2t_1$ ）、 $x_{\mathrm{B}}$ ： $t_0$ から $t_1$ で $D_0$ まで上がり $2t_1-t_0$ で $0$ にもどる折れ線）（5点）

問2 (3)

$D_p$ は、B の往復の時間 $\dfrac{2D_p}{v_0}$ を、A が $x=0$ を負の向きに通る $(p+1)$ 回目の時刻 $s=\left(p+\dfrac12\right)T_1$ に合わせたもの（ $p=0$ が (1)）。

$$\frac{2D_p}{v_0}=\left(p+\frac12\right)T_1\qquad\therefore\ D_p=\left(p+\frac12\right)\frac{v_0T_1}{2}=(2p+1)D_0$$

（確かめ：帰り道で B が $x=0$ の手前で A にぶつからないこと。B が $x=0$ に着く $u$ 秒前の B の位置は $v_0u$ 、A の位置は $A_1\sin\omega_1u$ 。 $\sin\theta\leqq\theta$ と $v_0=A_1\omega_1$ より $A_1\sin\omega_1u\leqq v_0u$ で、B はいつも A より右にいる。行きも同じ理由で B が A より右）

答　$D_p=\dfrac{(2p+1)\pi x_0}{2}\sqrt{\dfrac{M_{\mathrm{A}}}{M_{\mathrm{A}}+M_{\mathrm{B}}}}$（5点）

問3 (1)

質量を $M$ にそろえると、 $A_1=\dfrac{x_0}{\sqrt2}$ 、 $T_1=2\pi\sqrt{\dfrac{M}{k}}$ 、 $t_0=\dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{2M}{k}}$ 。B が壁を往復して $x=0$ にもどる時間は $\dfrac{2L}{v_0}$ 。

・1回目：もどった B（負の向きに $v_0$ ）が A と向かい合って衝突するには、A が $x=0$ を正の向きに通っていること。A が $t_0$ に $x=0$ を正の向きに出たあと、もう一度 $x=0$ を正の向きに通るのは $s=T_1,\ 2T_1,\ \cdots$ 。弾性衝突で質量が等しいので速度が入れかわり（運動量保存と反発係数の式を連立しても同じ）、A は負の向き、B は正の向きに速さ $v_0$ で $x=0$ から出る

・2回目：A は $x=0$ から負の向きに出発する新しい単振動で、B は同じ $\dfrac{2L}{v_0}$ で往復する。A が $x=0$ を負の向きに通るのは出発から $T_1$ の整数倍なので、1回目の条件 $\dfrac{2L}{v_0}=(\text{整数})T_1$ のままで、B と A はともに負の向きに $v_0$ で $x=0$ に着き、相対速度 0 で一体になる

以上より、条件は1本。

$$\frac{2L_p}{v_0}=(p+1)T_1\qquad\therefore\ L_p=(p+1)\frac{v_0T_1}{2}$$

$v_0\cdot\dfrac{T_1}{2}=x_0\sqrt{\dfrac{k}{2M}}\cdot\pi\sqrt{\dfrac{M}{k}}=\dfrac{\pi x_0}{\sqrt2}$ なので

答　$L_p=\dfrac{(p+1)\pi x_0}{\sqrt2}$（5点）

（ $D_p$ と並べると、質量が等しいとき $D_p=\dfrac{(2p+1)\pi x_0}{2\sqrt2}$ と $L_p=\dfrac{(2p+2)\pi x_0}{2\sqrt2}$ が交互に並ぶ。下のコラム）

問3 (2)

$L_0$ の場合は $\dfrac{2L_0}{v_0}=T_1$ 。 $T_1=2\sqrt2\,t_0$ 、 $A_1=\dfrac{x_0}{\sqrt2}$ を使い、4つの区間に分ける。

・$0\leqq t\leqq t_0$ ： $-x_0$ から出発して $t_0$ に $0$ （一体）

・$t_0\leqq t\leqq t_0+T_1$ ： $x_{\mathrm{A}}=A_1\sin\omega_1(t-t_0)$ 。山（最大 $\dfrac{x_0}{\sqrt2}$ 、時刻 $t_0+\dfrac{T_1}{4}=\left(1+\dfrac{\sqrt2}{2}\right)t_0$ ）→ 谷 → $t_0+T_1$ に $0$ にもどる

・$t_0+T_1$ に衝突して速度が $+v_0$ から $-v_0$ に急に変わるので、グラフはとがる。 $t_0+T_1\leqq t\leqq t_0+2T_1$ ： $x_{\mathrm{A}}=-A_1\sin\omega_1(t-t_0-T_1)$ 。谷 → 山（最大 $\dfrac{x_0}{\sqrt2}$ 、時刻 $t_0+\dfrac{7T_1}{4}=\left(1+\dfrac{7\sqrt2}{2}\right)t_0$ ）→ $t_0+2T_1$ に $0$

・$t_0+2T_1\leqq t\leqq 2t_0+2T_1$ （一体）： $0$ から $-x_0$ まで。1周期は $2t_0+2T_1=(2+4\sqrt2)\,t_0$

全体が真ん中の時刻 $t_0+T_1$ について左右対称（山が2つ、谷が2つ）。

答　上の図（ 最大値 $\dfrac{x_0}{\sqrt2}$ を与える時刻は $\left(1+\dfrac{\sqrt2}{2}\right)t_0$ と $\left(1+\dfrac{7\sqrt2}{2}\right)t_0$ の2つ）（5点）

別解

問1 (1)　（単振動の最大の速さで）　一体の単振動の振幅は $x_0$ 、角振動数は $\omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{M_{\mathrm{A}}+M_{\mathrm{B}}}}$ 。中心の速さが最大で、その値は $v_0=x_0\omega_0$ 。

$$v_0=x_0\sqrt{\frac{k}{M_{\mathrm{A}}+M_{\mathrm{B}}}}$$

中心の速さだけを聞かれたときの速い道。本解は、 $x=0$ 以外の位置の速さにも使える形（エネルギー保存）にした。

問1 (3)　（振幅を $v_0=A_1\omega_1$ から）　A の単振動は、中心の速さ $v_0$ と角振動数 $\omega_1$ から $A_1=\dfrac{v_0}{\omega_1}$ 。これを (1) の $v_0$ に入れても同じ $A_1=x_0\sqrt{\dfrac{M_{\mathrm{A}}}{M_{\mathrm{A}}+M_{\mathrm{B}}}}$ 。

以下の問いに答えよ。

図1に示すように、辺 $a$、 $b\,[\mathrm{m}]$ の長方形の断面をもった長さ $l\,[\mathrm{m}]$ の一様な導体中に電気量 $-e\,[\mathrm{C}]\ (e>0)$ をもつ自由電子が、数密度 $n\,[\text{個}/\mathrm{m}^3]$ で分布しているとする。 $l$ は $a$、 $b$ に比べ十分に大きいとする。導体の両端に電圧 $V\,[\mathrm{V}]$ を印加すると自由電子は導体内の電場から力を受け、加速されて進む。自由電子は金属イオン等との衝突により抵抗力を受け、やがて抵抗力が電場から受ける力とつりあって、一定の速さで移動するようになる。この抵抗力の大きさが自由電子の速さ $v\,[\mathrm{m/s}]$ に比例し、 $kv$（ $k$ は比例定数）で表されるものとする。 $v$ が一定になった時点で流れる電流の大きさを $I\,[\mathrm{A}]$ とする。

問1. 導体に流れる電流の大きさ $I\,[\mathrm{A}]$ を $e$、 $n$、 $a$、 $b$、 $l$、 $v$、 $V$、 $k$ の中から必要な記号を用いて表せ。

問2. 自由電子が電場から受ける力と抵抗力とがつりあうときの電子の速さ $v\,[\mathrm{m/s}]$ を $e$、 $n$、 $a$、 $b$、 $l$、 $V$、 $k$ の中から必要なものを用いて表せ。

問3. 電気抵抗 $R\,[\Omega]$ と抵抗率 $\rho\,[\Omega\cdot\mathrm{m}]$ を $e$、 $n$、 $a$、 $b$、 $l$、 $k$ の中から必要なものを用いて表せ。

問4. 長さ $l=10.0\ \mathrm{m}$、辺の長さ $a=b=4.00\times10^{-4}\ \mathrm{m}$ の導体があり、その抵抗率が温度 $20.0\ ℃$ で $1.60\times10^{-8}\ \Omega\cdot\mathrm{m}$ である。抵抗率の温度係数 $\beta$ を $4.30\times10^{-3}\,[1/℃]$ とする。なお温度 $0.00\ ℃$ における抵抗率を $\rho_0$ とすると、温度 $t\,[℃]$ における抵抗率は $\rho_0(1+\beta t)\,[\Omega\cdot\mathrm{m}]$ と与えられる。

(1) 温度 $20.0\ ℃$ におけるこの導体の抵抗値を求めよ。

(2) この導体の両端に電圧 $3.00\ \mathrm{V}$ を印加した。このときに流れる電流の大きさと $1.00$ 時間あたりに発生するジュール熱を求めよ。このとき導体の温度は $20.0\ ℃$ に保たれているものとする。

(3) この導体の温度 $100\ ℃$ における抵抗値を求めよ。

(4) 導体の温度を上げると、その抵抗値が増加する理由を60字以内で説明せよ。

次にホール効果について考察する。電流の担い手（キャリア）が自由電子である場合を考える。図2のように辺の長さが各々 $a$、 $b$、 $c\,[\mathrm{m}]$ であるような直方体の試料に、 $y$ 軸の正方向に大きさが $I\,[\mathrm{A}]$ の一定の電流を流し、磁束密度の大きさが $B\,[\mathrm{T}]$ の一様な磁場を $z$ 軸の正の向きに加える。試料の自由電子の数密度は $n\,[\text{個}/\mathrm{m}^3]$ であるとする。

問5. 試料中を速さ $v\,[\mathrm{m/s}]$ で $y$ 軸に平行に動く電子1個にはたらくローレンツ力の大きさ $f_M\,[\mathrm{N}]$ と向きを求めよ。大きさは $e$、 $n$、 $a$、 $b$、 $c$、 $I$、 $B$、 $v$ の中から必要なものを用いて表せ。

問6. ローレンツ力によって自由電子の分布に偏りが生じ、これによって試料の平行な2面の間に大きさ $E\,[\mathrm{V/m}]$ の電場が発生する。このローレンツ力によって発生する電場から電子1個が受ける力の大きさ $f_E\,[\mathrm{N}]$ と向きを求めよ。大きさは $e$、 $n$、 $a$、 $b$、 $c$、 $I$、 $B$、 $v$、 $E$ の中から必要なものを用いて表せ。

問7. 一定時間ののち問5の大きさが $f_M\,[\mathrm{N}]$ のローレンツ力と問6の電場による大きさ $f_E\,[\mathrm{N}]$ の力とがつりあう。このとき、磁束密度の大きさ $B\,[\mathrm{T}]$ とローレンツ力により発生した電場の大きさ $E\,[\mathrm{V/m}]$ との間に成り立つ関係式を記せ。

問8. 試料に加えられた磁場の磁束密度の大きさ $B\,[\mathrm{T}]$、流れている電流の大きさ $I\,[\mathrm{A}]$、およびローレンツ力により発生した電場に垂直な試料の2面の間の電位差 $V_H\,[\mathrm{V}]$ を測定することによって、試料中の自由電子の数密度 $n\,[\text{個}/\mathrm{m}^3]$ を求めることができる。数密度 $n$ を $e$、 $a$、 $b$、 $c$、 $I$、 $B$、 $V_H$ の中から必要なものを用いて表せ。

問1

電子は1秒間に $v$ だけ進む。よって、断面を1秒間に通る電子は、断面（面積 $ab$）を底面とする長さ $v$ の柱（体積 $abv$）の中の電子。電子の数は $nabv$ 個で、1個の電気量の大きさは $e$。電流は「1秒間に断面を通る電気量」なので

$$I=e\times nabv$$

答　$I=enabv$（4点）

問2

導体の両端の電圧が $V$、長さが $l$ なので、導体の中の電場の強さは $E=\dfrac Vl$。電子は負の電荷なので、電場と逆向き（動く向き）に大きさ $eE=\dfrac{eV}{l}$ の力を受ける。抵抗力 $kv$ は動く向きと逆。電子が一定の速さで動くとき、2つの力はつりあうので

$$\frac{eV}{l}=kv$$

答　$v=\dfrac{eV}{kl}$（3点）

問3

問1の $I$ に問2の $v$ を入れて、 $V=(\cdots)I$ の形にする。

$$I=enab\cdot\frac{eV}{kl}=\frac{e^2nab}{kl}V\qquad\therefore\ V=\frac{kl}{e^2nab}\,I$$

$V=RI$ と比べて

答（$R$）　$R=\dfrac{kl}{e^2nab}$（3点）

$R=\rho\dfrac{l}{ab}$ と比べると、 $\dfrac{kl}{e^2nab}=\rho\dfrac{l}{ab}$ より

答（$\rho$）　$\rho=\dfrac{k}{e^2n}$（3点）

（$\rho$ は、 $l$ や $ab$ によらず、導体の材質（$k$・$n$）だけで決まる）

問4 (1)

$$R=\rho\frac{l}{ab}=1.60\times10^{-8}\times\frac{10.0}{(4.00\times10^{-4})^2}=1.60\times10^{-8}\times\frac{10.0}{1.60\times10^{-7}}$$

答　$1.00\ \Omega$（2点）

問4 (2)

電流は、オームの法則より

$$I=\frac{V}{R}=\frac{3.00}{1.00}=3.00\ \mathrm{A}$$

答（電流の大きさ）　$3.00\ \mathrm{A}$（2点）

電力は $VI=3.00\times3.00=9.00\ \mathrm{W}$。 $1.00$ 時間は $3600\ \mathrm{s}$ なので、ジュール熱は

$$9.00\times3600=3.24\times10^{4}\ \mathrm{J}$$

答（ジュール熱）　$3.24\times10^{4}\ \mathrm{J}$（2点）

問4 (3)

同じ導体なので、長さ $l$ と断面積 $ab$ は変わらず、抵抗は抵抗率に比例する。問題文の式 $\rho_0(1+\beta t)$ は基準が $0\ ℃$ で、 $20.0\ ℃$ の値は $\rho_0(1+\beta\times20.0)$、 $100\ ℃$ の値は $\rho_0(1+\beta\times100)$。 $\rho_0$ が共通なので、 $20.0\ ℃$ の抵抗 $1.00\ \Omega$（問4 (1)）に比をかけて

$$R_{100}=1.00\times\frac{1+4.30\times10^{-3}\times100}{1+4.30\times10^{-3}\times20.0}=1.00\times\frac{1.430}{1.086}=1.316\cdots$$

答　$1.32\ \Omega$（5点）

（$1.00\times(1+4.30\times10^{-3}\times80.0)=1.34\ \Omega$ は誤り。 $20.0\ ℃$ の値は基準 $\rho_0$ ではないので、そこから $80.0\ ℃$ 分を足してはいけない）

問4 (4)

抵抗は、自由電子が受ける抵抗力の大きさで決まる（問3：$R=\dfrac{kl}{e^2nab}$ で $k$ が大きいほど $R$ が大きい）。温度が上がると、陽イオンの熱振動が激しくなり、動く自由電子が陽イオンにぶつかる回数が増える。つまり電子の動きが妨げられ、 $k$ が大きくなるので、抵抗が増える（下の図）。

答　温度が上がると陽イオンの熱振動が激しくなり、自由電子が陽イオンと衝突する回数が増えて動きが妨げられるため。（53字）（5点）

問5

電子は電流（$y$ 軸の正の向き）と逆の、$y$ 軸の負の向きに速さ $v$ で動く。磁場は $z$ 軸の正の向きで、電子の速度と垂直なので、ローレンツ力の大きさは電気量の大きさ×速さ×磁束密度。

$$f_M=evB$$

向きは、正の電荷なら速度 $-y$ 向き、磁場 $+z$ 向きのとき、フレミングの左手の法則で $x$ 軸の負の向きに力を受ける。電子は負なので、その逆の $x$ 軸の正の向き（下の図）。

答（大きさ）　$f_M=evB$（2点）

答（向き）　$x$ 軸の正の向き（1点）

問6

電子は $x$ 軸の正の向きに力を受けるので、 $x$ 軸の正の側の面に電子がたまって負に帯電し、反対側（$x$ 軸の負の側）の面は電子が減って正に帯電する。電場は正から負へ向かうので、$x$ 軸の正の向き（上から見た図の下向き）。電子は負の電荷なので、電場から受ける力は電場と逆の $x$ 軸の負の向きで、ローレンツ力と逆向き。

$$f_E=eE$$

答（大きさ）　$f_E=eE$（2点）

答（向き）　$x$ 軸の負の向き（1点）

問7

電子が $x$ 方向に動かなくなる（定常状態）のは、 $f_M$ と $f_E$ がつりあうとき。

$$evB=eE$$

答　$E=vB$（2点）

問8

ホール電圧 $V_H$ は電場の向き（$x$ 方向）に向かい合う2面の間の電位差。その距離は図2の $b$（$c$ ではない）なので

$$V_H=Eb=vBb$$

電流 $I$ は、電流に垂直な断面（$x$ 方向の辺 $b$ と $z$ 方向の辺 $a$ の長方形、面積 $ab$）を通る。問1と同じ数え方で $I=enabv$ なので $v=\dfrac{I}{enab}$。これを入れると、 $b$ が約分されて消える。

$$V_H=\frac{I}{enab}\cdot Bb=\frac{IB}{ena}$$

$n$ について解いて

答　$n=\dfrac{IB}{eaV_H}$（3点）

（電流・磁場・ホール電圧を測れば、自由電子の数密度が求まる。 $c$ は答えに入らない）

別解

問4 (3)　（$0\ ℃$ の抵抗率を先に求める解き方）　$20.0\ ℃$ の抵抗率 $1.60\times10^{-8}\ \Omega\cdot\mathrm m$ は $\rho_0(1+\beta\times20.0)$ に等しいので

$$\rho_0=\frac{1.60\times10^{-8}}{1+4.30\times10^{-3}\times20.0}=1.473\cdots\times10^{-8}\ \Omega\cdot\mathrm m$$

$100\ ℃$ の抵抗率は $\rho_{100}=\rho_0\times(1+4.30\times10^{-3}\times100)=2.106\cdots\times10^{-8}\ \Omega\cdot\mathrm m$。抵抗は $R_{100}=\rho_{100}\dfrac{l}{ab}=2.106\times10^{-8}\times\dfrac{10.0}{1.60\times10^{-7}}=1.316\cdots\ \Omega$。同じ $1.32\ \Omega$。途中の数値が増えるので、本解は比で解いた。

問5　（電流の向きで決める）　電子が $-y$ 向きに動くことは、電流が $+y$ 向きに流れていることと同じ。電流 $+y$ 向き、磁場 $+z$ 向きでフレミングの左手の法則を使うと、力は $x$ 軸の正の向き。負の電荷が逆向きに動くので、ローレンツ力の向きは「正の電荷が電流の向きに動くとき」と同じになる。

以下の問いに答えよ。

図1のように、凸レンズLの光軸上に物体AA′がある。点FとF′はレンズLの焦点であり、 $f$ は焦点距離である。点OはレンズLの中心であり、点PはA′Pが光軸に平行となるレンズL中の点である。物体AA′の位置は、レンズLの前方（左側）であり、焦点Fの外側である。

図1は、点A′から出た光の一部が進む経路を破線で示している。レンズLを通過した光は、レンズの後方（右側）で集まり、実像BB′を形成している。物体AA′とレンズLの距離を $a$、実像BB′とレンズLの距離を $b$ とする。なお、レンズの厚さは無視できるものとする。

問1. （　①　）から（　⑤　）に適する記号または数式を $a$、 $b$、 $f$ の中から必要なものを用いて答えよ。

図1より、△AA′Oは△BB′Oに相似であるため、 $\dfrac{\mathrm{AA’}}{\mathrm{BB’}}=\dfrac{(\quad\text{①}\quad)}{(\quad\text{②}\quad)}$ となる。また、△OPF′は△BB′F′に相似であるため、 $\dfrac{\mathrm{OP}}{\mathrm{BB’}}=\dfrac{(\quad\text{③}\quad)}{(\quad\text{④}\quad)}$ である。以上より $a$、 $b$、 $f$ の間にはレンズの式（　⑤　）が成立することがわかる。

$f=16\ \mathrm{cm}$、 $a=20\ \mathrm{cm}$ の場合を考える。このとき、レンズLの後方（右側）に形成される実像の位置にスクリーンを設置し、これを固定した。物体AA′を動かさずに、レンズLを光軸に沿って後方（右側）へ移動させると、ある位置でスクリーン上に再び鮮明な像が現れた。

問2. スクリーン上に再び鮮明な像が現れたときの物体AA′とレンズLの距離を求めよ。また、このときのスクリーン上での像の倍率を求めよ。

次に、虫眼鏡による物体の観察方法を考える。この方法では、物体AA′の位置は、図2のようにレンズLの前方（左側）、焦点Fの内側である。AA′から出た光は、レンズLを通過した後に広がってしまうが、レンズLの後方（右側）から観察すると、観測者はAA′の方向に拡大された虚像（CC′）を肉眼で見ることができる。

問3. 点A′から出て、①点Pへ向かう光が進む経路と②点Oへ向かう光が進む経路をそれぞれ解答図に示せ。さらに、③虚像CC′の位置と大きさを作図により示せ。解答図には①、②、③を明記すること。

問4. $f=16\ \mathrm{cm}$、AA′とLの距離を $12\ \mathrm{cm}$ とするとき、レンズLと虚像CC′の距離を求めよ。

今度は、2枚の凸レンズを組み合わせて、顕微鏡の仕組みを利用して物体の拡大像を得る。図3のように、光軸上に物体AA′、凸レンズ $\mathrm{L_1}$、凸レンズ $\mathrm{L_2}$ を設置した。レンズ $\mathrm{L_1}$ の焦点は点 $\mathrm{F_1}$ と $\mathrm{F_1′}$ であり、焦点距離は $f_1$ である。また、レンズ $\mathrm{L_2}$ の焦点は点 $\mathrm{F_2}$ と $\mathrm{F_2′}$ であり、焦点距離は $f_2$ である。

物体AA′の位置はレンズ $\mathrm{L_1}$ の焦点 $\mathrm{F_1}$ の外側であり、 $\mathrm{L_1}$ によってAA′の実像DD′が形成されている。このとき、点 $\mathrm{F_1′}$ とDD′の距離は $g$ である。また、DD′の位置は、レンズ $\mathrm{L_2}$ の焦点 $\mathrm{F_2}$ の内側である。この条件では、虫眼鏡による観察と同じように、レンズ $\mathrm{L_2}$ の後方（右側）に実像は形成されない。顕微鏡では、観測者はレンズ $\mathrm{L_2}$ の後方（右側）から実像DD′の方向を眺め、拡大された虚像を肉眼で観察する。この虚像をEE′とする。 $\mathrm{L_2}$ からEE′までの距離は $h$ である。

問5. 倍率 $\dfrac{\mathrm{DD’}}{\mathrm{AA’}}$ を $f_1$、 $f_2$、 $g$、 $h$ の中から必要なものを用いて表せ。

問6. 倍率 $\dfrac{\mathrm{EE’}}{\mathrm{AA’}}$ は、レンズ $\mathrm{L_1}$ の倍率と $\mathrm{L_2}$ の倍率の積で表される。 $\dfrac{\mathrm{EE’}}{\mathrm{AA’}}$ を $f_1$、 $f_2$、 $g$、 $h$ の中から必要なものを用いて表せ。

次に、レンズ $\mathrm{L_1}$ を焦点距離が $f_3$ の凸レンズ $\mathrm{L_3}$ に交換した。レンズ $\mathrm{L_3}$ の位置は $\mathrm{L_1}$ と同じであり、また $f_3<f_1$ である。物体AA′を光軸に沿って適切な位置に移動させると、虚像JJ′が虚像EE′と同じ位置に形成された。

問7. 物体AA′はどの方向に移動させたか。また、倍率 $\dfrac{\mathrm{JJ’}}{\mathrm{AA’}}$ と $\dfrac{\mathrm{EE’}}{\mathrm{AA’}}$ はどちらが大きいか。正しい組み合わせを番号で答えよ。

問8. 倍率 $\dfrac{\mathrm{JJ’}}{\mathrm{AA’}}$ を $f_1$、 $f_2$、 $f_3$、 $g$、 $h$ の中から必要なものを用いて表せ。

問1 空欄①〜⑤

物体AA′とレンズの中心Oを通る光線は直進する。AA′ ∥ BB′ なので △AA′O ∽ △BB′O で、対応する辺の比は

$$\frac{\mathrm{AA’}}{\mathrm{BB’}}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac ab$$

答（①）　$a$（1点）

答（②）　$b$（1点）

次に、A′から光軸に平行に進んだ光は点Pでレンズを出て、焦点F′を通る。OP ∥ BB′ なので △OPF′ ∽ △BB′F′ で、 $\mathrm{OF’}=f$、 $\mathrm{BF’}=b-f$ より

$$\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{BB’}}=\frac{\mathrm{OF’}}{\mathrm{BF’}}=\frac f{b-f}$$

答（③）　$f$（1点）

答（④）　$b-f$（1点）

A′P は光軸に平行なので AA′＝OP。2つの比は等しいので

$$\frac ab=\frac f{b-f}\qquad\therefore\ a(b-f)=bf\qquad\therefore\ ab=af+bf$$

両辺を $abf$ で割ると

$$\frac1f=\frac1b+\frac1a$$

答（⑤）　$\dfrac1a+\dfrac1b=\dfrac1f$（3点）

問2

最初の像の位置は、レンズの式に $f=16\ \mathrm{cm}$、 $a=20\ \mathrm{cm}$ を入れて

$$\frac1b=\frac1{16}-\frac1{20}=\frac{5-4}{80}=\frac1{80}\qquad\therefore\ b=80\ \mathrm{cm}$$

物体とスクリーンの距離は $a+b=100\ \mathrm{cm}$。レンズの式は $a$ と $b$ を入れかえても同じ式なので、 $a=80\ \mathrm{cm}$、 $b=20\ \mathrm{cm}$ になる位置にレンズを動かせば（物体とスクリーンの距離は $100\ \mathrm{cm}$ のまま）、もう一度スクリーン上にはっきりした像ができる。レンズを後方へ $60\ \mathrm{cm}$ 動かした位置にあたる。

倍率は

$$\frac ba=\frac{20}{80}=\frac14$$

（最初は $\dfrac{80}{20}=4$ 倍。 $a$ と $b$ が入れかわるので、倍率は逆数になる）

答（距離）　$80\ \mathrm{cm}$（3点）

答（倍率）　$\dfrac14$（2点）

問3

解答図は図2と同じ方眼。方眼から読むと、 $f$ は太い線で1.6マス分。問4の $f=16\ \mathrm{cm}$ と合わせて、太い1マスが $10\ \mathrm{cm}$。物体はOの前方1.2マス（ $12\ \mathrm{cm}$ ）、高さ0.6マス（ $6\ \mathrm{cm}$ ）で、点Pも同じ高さ。

①　A′から光軸に平行に点Pへ進み、レンズを出て F′ を通る。

②　A′から点Oへ進み、そのまま直進する。

レンズを出た①②は広がっていくので、後方では交わらない。そこで2本を前方へ延ばす（破線）。②の線は、Oから前方へ1マス進むごとに0.5マス高くなる直線なので、Oの前方4.8マスで高さ2.4マス。①の線は、PからF′へ向かう線の傾きが $0.6\div1.6$ なので、Pから前方へ4.8マス延ばすと $0.6+\dfrac{0.6}{1.6}\times4.8=2.4$ マスの高さ。2本は、Oの前方4.8マス・高さ2.4マスの点C′で交わる。C′から光軸に下ろした足がCで、CC′が虚像③（下の図）。

答　①②③は上の図。虚像CC′はOの前方4.8マス（ $48\ \mathrm{cm}$ ）にある、高さ2.4マス（物体の4倍）の正立の虚像（6点）

問4

虚像は物体と同じ側にできるので $b<0$。レンズの式に $f=16\ \mathrm{cm}$、 $a=12\ \mathrm{cm}$ を入れて

$$\frac1b=\frac1{16}-\frac1{12}=\frac{3-4}{48}=-\frac1{48}\qquad\therefore\ b=-48\ \mathrm{cm}$$

$b<0$ は虚像で、レンズからの距離は $|b|=48\ \mathrm{cm}$。問3の図の4.8マス（ $48\ \mathrm{cm}$ ）と一致する（倍率も $\dfrac{48}{12}=4$ で、図の4倍と一致）。

答　$48\ \mathrm{cm}$（4点）

問5

A′から光軸に平行に出た光線は $\mathrm{L_1}$ の点Pを通り、焦点 $\mathrm{F_1′}$ を通って D′ に達する。 $\mathrm{O_1P}$ ∥ DD′ なので △$\mathrm{O_1PF_1′}$ ∽ △$\mathrm{DD’F_1′}$ で、 $\mathrm{O_1F_1′}=f_1$、 $\mathrm{F_1’D}=g$ より

$$\frac{\mathrm{DD’}}{\mathrm{O_1P}}=\frac{\mathrm{F_1’D}}{\mathrm{O_1F_1′}}=\frac g{f_1}$$

$\mathrm{O_1P}=\mathrm{AA’}$ なので

答　$\dfrac{\mathrm{DD’}}{\mathrm{AA’}}=\dfrac g{f_1}$（3点）

問6

DD′ は $\mathrm{L_2}$ の焦点の内側にあるので、 $\mathrm{L_2}$ から見ると虫眼鏡と同じ。DD′ と $\mathrm{L_2}$ の距離を $d$ とおく。虚像EE′は $\mathrm{L_2}$ の前方 $h$ の所にできるので、像の距離は $-h$。 $\mathrm{L_2}$ のレンズの式は

$$\frac1d-\frac1h=\frac1{f_2}\qquad\therefore\ \frac1d=\frac1{f_2}+\frac1h$$

$\mathrm{L_2}$ の倍率は

$$\frac{\mathrm{EE’}}{\mathrm{DD’}}=\frac hd=h\left(\frac1{f_2}+\frac1h\right)=\frac h{f_2}+1=\frac{f_2+h}{f_2}$$

全体の倍率は、 $\mathrm{L_1}$ の倍率（問5）と $\mathrm{L_2}$ の倍率の積

$$\frac{\mathrm{EE’}}{\mathrm{AA’}}=\frac{\mathrm{DD’}}{\mathrm{AA’}}\times\frac{\mathrm{EE’}}{\mathrm{DD’}}=\frac g{f_1}\times\frac{f_2+h}{f_2}$$

答　$\dfrac{\mathrm{EE’}}{\mathrm{AA’}}=\dfrac{g(f_2+h)}{f_1f_2}$（5点）

問7

$\mathrm{L_2}$ は動かさず、虚像も同じ位置にできるので、 $\mathrm{L_2}$ にとっての物体DD′も同じ位置にできる。 $\mathrm{L_1}$ と $\mathrm{L_3}$ は同じ位置にあるので、レンズからDD′までの距離は $b=f_1+g$ のまま変わらない（下の図）。

物体の位置：レンズの式 $\dfrac1a=\dfrac1f-\dfrac1b$ で、 $b$ は一定。 $f_3<f_1$ だと $\dfrac1f$ が大きくなるので $\dfrac1a$ も大きくなり、 $a$ は小さくなる。物体はレンズに近づくので、右へ移動させた。

倍率：1段目の倍率は

$$\frac ba=b\left(\frac1f-\frac1b\right)=\frac bf-1$$

$b$ が一定で $f$ が小さいほど大きい。2段目の倍率は（DD′と虚像の位置が同じなので）変わらない。よって $\dfrac{\mathrm{JJ’}}{\mathrm{AA’}}>\dfrac{\mathrm{EE’}}{\mathrm{AA’}}$。

答　②（5点）

問8

$\mathrm{L_3}$ の焦点 $\mathrm{F_3′}$ から DD′ までの距離は、 $\mathrm{L_3}$ からDD′までが $f_1+g$ なので $f_1+g-f_3$。問5と同じ相似で、1段目の倍率は

$$\frac{f_1+g-f_3}{f_3}$$

2段目の倍率は問6と同じ $\dfrac{f_2+h}{f_2}$。掛け合わせて

$$\frac{\mathrm{JJ’}}{\mathrm{AA’}}=\frac{f_1+g-f_3}{f_3}\times\frac{f_2+h}{f_2}$$

（問6の式の $f_1$ を $f_3$ に、 $g$ を $f_1+g-f_3$ に置きかえた形。問7の確認：$\dfrac{f_1+g-f_3}{f_3}=\dfrac{f_1+g}{f_3}-1$ は、 $f_3<f_1$ なら $\dfrac{f_1+g}{f_1}-1=\dfrac g{f_1}$ より大きい）

答　$\dfrac{\mathrm{JJ’}}{\mathrm{AA’}}=\dfrac{(f_1+g-f_3)(f_2+h)}{f_3f_2}$（5点）

別解

問2　（レンズを動かした距離を方程式で）　レンズを後方へ $x$ だけ動かすと、物体とレンズの距離は $20+x$、レンズとスクリーンの距離は $80-x$。

$$\frac1{20+x}+\frac1{80-x}=\frac1{16}$$

$a’=20+x$ とおくと $\dfrac{100}{a'(100-a’)}=\dfrac1{16}$ なので $a’^2-100a’+1600=0$、 $(a’-20)(a’-80)=0$。 $a’=20$ は最初の位置で、 $a’=80$ が答え（ $x=60$ ）。倍率は $\dfrac{20}{80}=\dfrac14$。本解の「 $a$ と $b$ の入れかえ」なら、この方程式を解かずに答えが求まる。

問5　（レンズの式から）　$\mathrm{L_1}$ からDD′までの距離を $b$ とおくと、 $b=f_1+g$。倍率は $\dfrac ba$ で、レンズの式 $\dfrac1a=\dfrac1{f_1}-\dfrac1b$ を使うと

$$\frac ba=b\left(\frac1{f_1}-\frac1b\right)=\frac b{f_1}-1=\frac{f_1+g}{f_1}-1=\frac g{f_1}$$

本解と同じ。この形は問7の「倍率を $b$ と $f$ だけで書く」と同じ式変形。