【解説・採点基準付き】2012年九州大学理系数学の解答・解説

円 $x^2+(y-1)^2=4$ で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ。

配点 50点

$x^2+(y-1)^2=4$ を $y$ について解くと $y=1\pm\sqrt{4-x^2}$ （ $-2\leqq x\leqq2$ ）。上の弧を $y_1=1+\sqrt{4-x^2}$、下の弧を $y_2=1-\sqrt{4-x^2}$ とする。

［8/50点］

円は $x$ 軸をまたいでいる。 $x$ 軸より下の部分（ $y_2<0$ となる $|x|<\sqrt3$ の部分）を $x$ 軸に関して折り返すと、下の弧は $y=-y_2=\sqrt{4-x^2}-1$ に移る。 $0<\sqrt{4-x^2}-1<\sqrt{4-x^2}+1=y_1$ なので、折り返した部分は $x$ 軸より上の部分に含まれる。よって、求める立体は円の $x$ 軸より上の部分（下の図の塗った部分）を回したものである。

$y_2\geqq0\iff\sqrt{4-x^2}\leqq1\iff x^2\geqq3$ なので、この部分は、 $|x|\leqq\sqrt3$ では $0\leqq y\leqq y_1$、 $\sqrt3\leqq|x|\leqq2$ では $y_2\leqq y\leqq y_1$ である。

［20/50点］

$x$ 軸に垂直な平面で切った断面は、 $|x|\leqq\sqrt3$ では半径 $y_1$ の円、 $\sqrt3\leqq|x|\leqq2$ では外側の半径 $y_1$、内側の半径 $y_2$ の輪なので、断面積 $S(x)$ は

$$S(x)=\begin{cases}\pi y_1^2&(|x|\leqq\sqrt3)\\\pi\left(y_1^2-y_2^2\right)&(\sqrt3\leqq|x|\leqq2)\end{cases}$$

図形は $y$ 軸に関して対称なので、 $x\geqq0$ の側を求めて2倍する。 $\pi$ と2を左辺に寄せて

$$\frac{V}{2\pi}=\int_0^2y_1^2\,dx-\int_{\sqrt3}^2y_2^2\,dx$$

［28/50点］

$y_1^2=5-x^2+2\sqrt{4-x^2}$、 $y_2^2=5-x^2-2\sqrt{4-x^2}$ なので

$$\frac{V}{2\pi}=\int_0^2(5-x^2)\,dx-\int_{\sqrt3}^2(5-x^2)\,dx+2\int_0^2\sqrt{4-x^2}\,dx+2\int_{\sqrt3}^2\sqrt{4-x^2}\,dx$$

はじめの2つは積分区間を統合して

$$\int_0^2(5-x^2)\,dx-\int_{\sqrt3}^2(5-x^2)\,dx=\int_0^{\sqrt3}(5-x^2)\,dx=5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3$$

［36/50点］

$y=\sqrt{4-x^2}$ は半径2の円 $x^2+y^2=4$ の上半分を表す。 $\displaystyle\int_0^2\sqrt{4-x^2}\,dx$ は半径2の四分円の面積で $\pi$。 $\displaystyle\int_{\sqrt3}^2\sqrt{4-x^2}\,dx$ は下の図の濃い部分の面積である。原点と点 $(\sqrt3,\,1)$ を結ぶ線分は、辺の比が $1:2:\sqrt3$ の直角三角形の斜辺なので、 $x$ 軸となす角は $30^\circ$。よって、中心角 $30^\circ$ の扇形から、直角をはさむ2辺が $\sqrt3$、 $1$ の直角三角形を引いて

$$\int_{\sqrt3}^2\sqrt{4-x^2}\,dx=\pi\cdot2^2\cdot\frac{1}{12}-\frac12\cdot\sqrt3\cdot1=\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}$$

［44/50点］

よって

$$\frac{V}{2\pi}=4\sqrt3+2\pi+2\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}\right)=3\sqrt3+\frac{8}{3}\pi$$

左辺の $2\pi$ を戻して

$$V=2\pi\left(3\sqrt3+\frac{8}{3}\pi\right)=6\sqrt3\,\pi+\frac{16}{3}\pi^2$$

答　$6\sqrt3\,\pi+\dfrac{16}{3}\pi^2$

［50/50点］

別解（ $\displaystyle\int_{\sqrt3}^2\sqrt{4-x^2}\,dx$ を置換積分で求める）　 $x=2\sin\theta$ とおくと、 $x$ が $\sqrt3$ から2まで動くとき $\theta$ は $\dfrac{\pi}{3}$ から $\dfrac{\pi}{2}$ まで動き、 $dx=2\cos\theta\,d\theta$。この範囲で $\cos\theta\geqq0$ なので $\sqrt{4-x^2}=2\cos\theta$ となり

$$\int_{\sqrt3}^2\sqrt{4-x^2}\,dx=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}4\cos^2\theta\,d\theta=\Big[2\theta+\sin2\theta\Big]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}=\pi-\left(\frac{2}{3}\pi+\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}$$

実数 $a$ と自然数 $n$ に対して、 $x$ の方程式

$$a(x^2+|x+1|+n-1)=\sqrt n\,(x+1)$$

を考える。以下の問いに答えよ。

(1) この方程式が実数解を持つような $a$ の範囲を、 $n$ を用いて表せ。

(2) この方程式が、すべての自然数 $n$ に対して実数解を持つような $a$ の範囲を求めよ。

(1)　配点 35点

$x^2\geqq0$、 $|x+1|\geqq0$、 $n-1\geqq0$ で、等号が同時に成り立つには $x=0$ と $x=-1$ が同時に必要なので、これはありえない。よって $x^2+|x+1|+n-1>0$ で、両辺をこれで割ると、方程式は

$$a=\frac{\sqrt n\,(x+1)}{x^2+|x+1|+n-1}$$

と同値である。右辺を $g(x)$ とおく。方程式の実数解は、 $y=g(x)$ のグラフと直線 $y=a$ の交点の $x$ 座標である。よって、求める $a$ の範囲は $g(x)$ のとりうる値の範囲である。

$x\geqq-1$ のとき　$u=x+1$ とおくと $u\geqq0$ で、分母は $x^2+x+n=u^2-u+n$ なので

$$g(x)=\frac{\sqrt n\,u}{u^2-u+n}$$

$u=0$ （ $x=-1$）のとき $g=0$。 $u>0$ のときは、分母・分子を $u$ で割って

$$g(x)=\frac{\sqrt n}{u+\dfrac nu-1}$$

$u>0$、 $\dfrac nu>0$ なので、相加平均・相乗平均の関係より

$$u+\frac nu\geqq2\sqrt{u\cdot\dfrac nu}=2\sqrt n$$

等号は $u=\dfrac nu$、すなわち $u=\sqrt n$ （ $x=\sqrt n-1$）のときに成り立ち、 $u=\sqrt n$ は $u>0$ を満たす。よって分母は $u+\dfrac nu-1\geqq2\sqrt n-1>0$ で、

$$0<g(x)\leqq\frac{\sqrt n}{2\sqrt n-1}$$

となり、等号は $x=\sqrt n-1$ のとき。 $x\geqq-1$ での $g(x)$ の最大値は $\dfrac{\sqrt n}{2\sqrt n-1}$ である。

$x<-1$ のとき　$v=-(x+1)$ とおくと $v>0$ で、分母は $x^2-(x+1)+n-1=x^2-x+n-2=v^2+3v+n$ なので、分母・分子を $v$ で割って

$$g(x)=\frac{-\sqrt n\,v}{v^2+3v+n}=-\frac{\sqrt n}{v+\dfrac nv+3}$$

相加平均・相乗平均の関係より $v+\dfrac nv\geqq2\sqrt n$ で、等号は $v=\sqrt n$ （ $x=-\sqrt n-1$）のときに成り立つ。よって

$$-\frac{\sqrt n}{2\sqrt n+3}\leqq g(x)<0$$

となり、等号は $x=-\sqrt n-1$ のとき。 $x<-1$ での $g(x)$ の最小値は $-\dfrac{\sqrt n}{2\sqrt n+3}$ である。

以上より、すべての実数 $x$ で $-\dfrac{\sqrt n}{2\sqrt n+3}\leqq g(x)\leqq\dfrac{\sqrt n}{2\sqrt n-1}$ で、左の等号は $x=-\sqrt n-1$、右の等号は $x=\sqrt n-1$ のときに成り立つ。分母はいつも正なので $g(x)$ はすべての実数で連続であり、最小値と最大値の間の値をすべてとる。

したがって、方程式が実数解をもつ $a$ の範囲は

答　$-\dfrac{\sqrt n}{2\sqrt n+3}\leqq a\leqq\dfrac{\sqrt n}{2\sqrt n-1}$

別解1（ $x$ で微分して増減を調べる）　$a=g(x)$ と分離するところまでは同じ。 $x\geqq-1$ では $g(x)=\dfrac{\sqrt n\,(x+1)}{x^2+x+n}$、 $x<-1$ では $g(x)=\dfrac{\sqrt n\,(x+1)}{x^2-x+n-2}$ で、どちらの式も微分すると

$$g'(x)=-\frac{\sqrt n\,\{(x+1)^2-n\}}{(x^2+|x+1|+n-1)^2}$$

となる。 $x>-1$ では $x=\sqrt n-1$ の前後で $g'(x)$ が正から負に変わり、 $x<-1$ では $x=-\sqrt n-1$ の前後で負から正に変わる。また $g(-1)=0$ で、 $x\to\pm\infty$ のとき $g(x)\to0$。よって最大値は $g(\sqrt n-1)=\dfrac{\sqrt n}{2\sqrt n-1}$、最小値は $g(-\sqrt n-1)=-\dfrac{\sqrt n}{2\sqrt n+3}$ で、同じ答えになる。

別解2（定点 $(-1,\ 0)$ を通る直線で見る）　$a=0$ のとき、方程式は $\sqrt n\,(x+1)=0$ で $x=-1$ が解。 $a\neq0$ のとき、 $k=\dfrac{\sqrt n}{a}$ とおくと方程式は $x^2+|x+1|+n-1=k(x+1)$。右辺は定点 $(-1,\ 0)$ を通る傾き $k$ の直線で、左辺のグラフ（ $x=-1$ で高さ $n$ の、2つの放物線をつないだ形）との共有点を考える。 $x\geqq-1$ の部分 $y=x^2+x+n$ に接するのは $(k+1)^2-4n=0$ から $k=2\sqrt n-1$ （接点 $x=\sqrt n-1$）、 $x<-1$ の部分 $y=x^2-x+n-2$ に接するのは $(k+3)^2-4n=0$ から $k=-2\sqrt n-3$ （接点 $x=-\sqrt n-1$）。直線が共有点をもつのは、この2本より急なとき、すなわち $k\geqq2\sqrt n-1$ または $k\leqq-2\sqrt n-3$。 $a=\dfrac{\sqrt n}{k}$ に戻すと $0<a\leqq\dfrac{\sqrt n}{2\sqrt n-1}$ または $-\dfrac{\sqrt n}{2\sqrt n+3}\leqq a<0$ で、 $a=0$ と合わせて同じ答えになる。

(2)　配点 15点

(1) の範囲の下の端を $p_n=-\dfrac{\sqrt n}{2\sqrt n+3}$、上の端を $q_n=\dfrac{\sqrt n}{2\sqrt n-1}$ とおく。方程式がすべての自然数 $n$ に対して実数解をもつのは、すべての $n$ で $p_n\leqq a\leqq q_n$ が成り立つとき、すなわち

「 $a$ が $p_n$ の最大値以上」かつ「すべての $n$ で $a\leqq q_n$ 」

のときである。よって、 $n$ を動かしたときの $p_n$ の最大値と、 $q_n$ の最小値にあたる値を求めればよい。

両端は次のように表せる。

$$p_n=-\frac12+\frac{3}{2(2\sqrt n+3)},\qquad q_n=\frac12+\frac{1}{2(2\sqrt n-1)}$$

どちらも右側の分数の分母が $n$ について増加するので、 $p_n$ も $q_n$ も $n$ について減少する。

$p_n$ の最大値は $p_1=-\dfrac12+\dfrac{3}{10}=-\dfrac15$。よって、1つ目の条件は $a\geqq-\dfrac15$。

$q_n$ は減少し続けるので最小値をとらないが、いつも $\dfrac12$ より大きく、 $n\to\infty$ で $\dfrac12$ に近づく。よって $a\leqq\dfrac12$ なら、すべての $n$ で $a\leqq\dfrac12<q_n$ が成り立つ。逆に $a>\dfrac12$ なら、 $n$ を十分大きくとると $q_n<a$ となるので成り立たない。したがって、2つ目の条件は $a\leqq\dfrac12$ （ $a=\dfrac12$ も含む）。

以上より、求める範囲は

答　$-\dfrac15\leqq a\leqq\dfrac12$

$p$ と $q$ はともに整数であるとする。2次方程式 $x^2+px+q=0$ が実数解 $\alpha,\beta$ を持ち、条件 $(|\alpha|-1)(|\beta|-1)\neq0$ をみたしているとする。このとき、数列 $\{a_n\}$ を

$$a_n=(\alpha^n-1)(\beta^n-1)\qquad(n=1,2,\cdots)$$

によって定義する。以下の問いに答えよ。

(1) $a_1,a_2,a_3$ は整数であることを示せ。

(2) $(|\alpha|-1)(|\beta|-1)>0$ のとき、極限値 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ は整数であることを示せ。

(3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$ となるとき、 $p$ と $q$ の値をすべて求めよ。ただし、 $\sqrt5$ が無理数であることは証明なしに用いてよい。

解と係数の関係より $\alpha+\beta=-p$、 $\alpha\beta=q$ で、どちらも整数である。また、 $|\alpha|\neq1$、 $|\beta|\neq1$ より $|\alpha^n|\neq1$、 $|\beta^n|\neq1$ なので $\alpha^n\neq1$、 $\beta^n\neq1$ となり、 $a_n\neq0$ である。

(1)　配点 10点

$a_n$ を展開すると

$$a_n=(\alpha\beta)^n-(\alpha^n+\beta^n)+1=q^n-(\alpha^n+\beta^n)+1$$

$\alpha^n+\beta^n$ を基本対称式で表すと

$$\alpha+\beta=-p$$

$$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=p^2-2q$$

$$\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)=-p^3+3pq$$

よって

$$a_1=q+p+1,\qquad a_2=q^2-p^2+2q+1,\qquad a_3=q^3+p^3-3pq+1$$

$p,q$ は整数なので、 $a_1,a_2,a_3$ は整数である。

別解（ $a_1$ でくくる）　 $a_1=(\alpha-1)(\beta-1)=q+p+1$ を使うと

$$a_2=(\alpha-1)(\beta-1)(\alpha+1)(\beta+1)=(q-p+1)a_1$$

$$a_3=(\alpha-1)(\beta-1)(\alpha^2+\alpha+1)(\beta^2+\beta+1)=(q^2-pq+p^2-q-p+1)a_1$$

となり、整数の積なので整数である。

(2)　配点 15点

$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\alpha^{n+1}-1}{\alpha^n-1}\right|\cdot\left|\frac{\beta^{n+1}-1}{\beta^n-1}\right|$$

条件 $(|\alpha|-1)(|\beta|-1)>0$ より、「 $|\alpha|>1$ かつ $|\beta|>1$」または「 $|\alpha|<1$ かつ $|\beta|<1$」である（下の図の1段目・2段目）。

$|\alpha|>1$、 $|\beta|>1$ のとき　 $|\alpha^n|\to\infty$ で $\dfrac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、分母・分子を $\alpha^n$ で割る。 $\left|\dfrac1\alpha\right|<1$ より $\left(\dfrac1\alpha\right)^n\to0$ なので

$$\left|\frac{\alpha^{n+1}-1}{\alpha^n-1}\right|=\left|\frac{\alpha-\left(\dfrac1\alpha\right)^n}{1-\left(\dfrac1\alpha\right)^n}\right|\longrightarrow|\alpha|\quad(n\to\infty)$$

$\beta$ の部分も同様に $|\beta|$ に収束する。よって

$$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|\alpha|\,|\beta|=|\alpha\beta|=|q|$$

$|\alpha|<1$、 $|\beta|<1$ のとき　 $\alpha^n\to0$、 $\beta^n\to0$ なので不定形ではなく

$$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{0-1}{0-1}\right|\cdot\left|\frac{0-1}{0-1}\right|=1$$

$|q|$ も1も整数なので、極限値は整数である。

(3)　配点 25点

$\dfrac{1+\sqrt5}{2}$ は無理数なので、(2) より $(|\alpha|-1)(|\beta|-1)>0$ ではない。条件 $(|\alpha|-1)(|\beta|-1)\neq0$ とあわせて $(|\alpha|-1)(|\beta|-1)<0$ であり、 $|\alpha|$ と $|\beta|$ は1をはさむ（上の図の3段目）。 $a_n=(\alpha^n-1)(\beta^n-1)$ は $\alpha$ と $\beta$ を入れかえても変わらないので、対称性より $|\alpha|>1>|\beta|$ としてよい。

このとき、 $\beta$ の部分は $\beta^n\to0$ で不定形ではなく、 $\left|\dfrac{\beta^{n+1}-1}{\beta^n-1}\right|\to\left|\dfrac{0-1}{0-1}\right|=1$。 $\alpha$ の部分は $\dfrac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、(2) と同じく分母・分子を $\alpha^n$ で割って $\left|\dfrac{\alpha^{n+1}-1}{\alpha^n-1}\right|\to|\alpha|$。よって極限は $|\alpha|$ であり、 $|\alpha|=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$ より

$$\alpha=\pm\frac{1+\sqrt5}{2}$$

$p,q$ は整数なので、解の公式より $x^2+px+q=0$ の2つの解は $\dfrac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$ と表され、有理数の部分 $-\dfrac p2$ は共通で、 $\sqrt{p^2-4q}$ の前の符号だけが違う。 $\alpha$ は無理数なので $\sqrt{p^2-4q}$ は無理数であり、もう1つの解 $\beta$ は、 $\alpha$ の無理数の部分の符号を変えた共役な無理数である。

$\alpha=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$ のとき　 $\beta=\dfrac{1-\sqrt5}{2}$ なので、解と係数の関係より

$$-p=\alpha+\beta=1,\qquad q=\alpha\beta=\frac{1-5}{4}=-1$$

よって $p=-1$、 $q=-1$。

$\alpha=-\dfrac{1+\sqrt5}{2}$ のとき　 $\beta=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}$ なので、解と係数の関係より

$$-p=\alpha+\beta=-1,\qquad q=\alpha\beta=-\frac{5-1}{4}=-1$$

よって $p=1$、 $q=-1$。

最後に条件を確かめる。どちらの場合も $\beta$ は $|\beta|=\dfrac{\sqrt5-1}{2}<1$ をみたす（下の図）。 $(p,q)=(-1,-1)$ のとき $x^2-x-1=0$ の解は $\dfrac{1\pm\sqrt5}{2}$、 $(p,q)=(1,-1)$ のとき $x^2+x-1=0$ の解は $\dfrac{-1\pm\sqrt5}{2}$ で、どちらも実数解をもち、極限は $|\alpha|=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$ となり、条件をみたす。

答　$(p,q)=(-1,-1),\ (1,-1)$

別解（次数下げ）　 $\alpha$ の値をそのまま代入せず、解が満たす式で次数を下げる。 $\alpha=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$ のとき、 $2\alpha-1=\sqrt5$ の両辺を2乗して $\alpha^2=\alpha+1$。これを $\alpha^2+p\alpha+q=0$ に代入して

$$(p+1)\alpha+(q+1)=0$$

$p+1\neq0$ とすると $\alpha=-\dfrac{q+1}{p+1}$ となり、右辺は有理数、左辺は無理数で矛盾する。よって $p+1=0$ で、このとき $q+1=0$。したがって $p=-1$、 $q=-1$。 $\alpha=-\dfrac{1+\sqrt5}{2}$ のときも同様に、 $\alpha^2=-\alpha+1$ から $(p-1)\alpha+(q+1)=0$ となり、 $p=1$、 $q=-1$。

いくつかの玉が入った箱Aと箱Bがあるとき、次の試行Tを考える。

（試行T）箱Aから2個の玉を取り出して箱Bに入れ、その後、箱Bから2個の玉を取り出して箱Aに入れる。

最初に箱Aに黒玉が3個、箱Bに白玉が2個入っているとき、以下の問いに答えよ。

(1) 試行Tを1回行ったときに、箱Aに黒玉が $n$ 個入っている確率 $p_n\ (n=1,2,3)$ を求めて既約分数で表せ。

(2) 試行Tを2回行ったときに、箱Aに黒玉が $n$ 個入っている確率 $q_n\ (n=1,2,3)$ を求めて既約分数で表せ。

(3) 試行Tを3回行ったときに、箱Aの中がすべて黒玉になっている確率を求めて既約分数で表せ。

試行の前後で、箱Aには常に3個、箱Bには常に2個の玉が入っていて、黒玉は全部で3個、白玉は2個である。箱Bには2個しか入らないので、試行の後の箱Aには黒玉が少なくとも1個ある。箱Aの黒玉の数を $n$ とすると、2つの箱の中身は $n\ (n=1,2,3)$ で決まる。

また、箱Aから2個を箱Bに移したあとの状態は、箱Aに残る1個の色で次の2通りに分かれる。

・X：箱Aに黒玉1個が残る（箱Bは黒玉2個・白玉2個）

・Y：箱Aに白玉1個が残る（箱Bは黒玉3個・白玉1個）

以下、玉はすべて区別して数える。推移をまとめると次の図のようになる（矢印の確率は (1)(2) で求める）。

(1)　配点 15点

最初は箱Aの3個がすべて黒玉なので、箱Bに移るのは黒玉2個であり、途中の状態はXである。

Xから、箱B（黒玉2個・白玉2個）の4個のうち2個を箱Aに戻す。選び方は ${}_4\mathrm{C}_2=6$ 通りで、戻す黒玉が $k$ 個のとき箱Aの黒玉は $1+k$ 個になる。

・$k=0$（白玉2個）：1通り

・$k=1$（黒玉1個・白玉1個）： ${}_2\mathrm{C}_1\cdot{}_2\mathrm{C}_1=4$ 通り

・$k=2$（黒玉2個）：1通り

よって、Xから $n=1,2,3$ へ移る確率はそれぞれ $\dfrac16$、 $\dfrac23$、 $\dfrac16$ である。

答　$p_1=\dfrac16$、 $p_2=\dfrac23$、 $p_3=\dfrac16$

(2)　配点 20点

$n$ → 途中の状態　箱Aの3個から2個を選ぶ選び方は ${}_3\mathrm{C}_2=3$ 通り。

・$n=1$（箱A：黒玉1個・白玉2個）：白玉2個を移すと（1通り）黒玉が残ってX、黒玉1個・白玉1個を移すと（2通り）白玉が残ってY。Xへ $\dfrac13$、Yへ $\dfrac23$

・$n=2$（箱A：黒玉2個・白玉1個）：黒玉1個・白玉1個を移すと（2通り）X、黒玉2個を移すと（1通り）Y。Xへ $\dfrac23$、Yへ $\dfrac13$

・$n=3$：必ずX

Y → 次の $n$　箱B（黒玉3個・白玉1個）の4個から2個を戻す ${}_4\mathrm{C}_2=6$ 通りのうち、黒玉1個・白玉1個は ${}_3\mathrm{C}_1\cdot1=3$ 通り、黒玉2個は ${}_3\mathrm{C}_2=3$ 通り。箱Aには白玉1個が残っているので、次の $n$ は戻した黒玉の数に等しい。Yから $n=1$、 $n=2$ へそれぞれ $\dfrac12$ である。

1回目のあと箱Aの黒玉が $n$ 個である確率は $p_n$ なので、2回目の途中の状態がXである確率は

$$\dfrac16\cdot\dfrac13+\dfrac23\cdot\dfrac23+\dfrac16\cdot1=\dfrac{1+8+3}{18}=\dfrac23$$

Yである確率は $1-\dfrac23=\dfrac13$ である。

2回目の途中の状態がXのときとYのときに分けて

$$q_1=\dfrac23\cdot\dfrac16+\dfrac13\cdot\dfrac12=\dfrac19+\dfrac16=\dfrac{5}{18}$$

$$q_2=\dfrac23\cdot\dfrac23+\dfrac13\cdot\dfrac12=\dfrac49+\dfrac16=\dfrac{11}{18}$$

$$q_3=\dfrac23\cdot\dfrac16=\dfrac19$$

（ $q_1+q_2+q_3=1$ で検算できる。）

答　$q_1=\dfrac{5}{18}$、 $q_2=\dfrac{11}{18}$、 $q_3=\dfrac19$

(3)　配点 15点

箱Aがすべて黒玉になるのは、途中の状態がXで、箱Bから黒玉2個を戻すとき（確率 $\dfrac16$ ）だけである。Yでは箱Aに白玉が残るので、すべて黒玉にはならない。

2回目のあと箱Aの黒玉が $n$ 個である確率は $q_n$ なので、3回目の途中の状態がXである確率は

$$\dfrac{5}{18}\cdot\dfrac13+\dfrac{11}{18}\cdot\dfrac23+\dfrac19\cdot1=\dfrac{5+22+6}{54}=\dfrac{11}{18}$$

よって、求める確率は

$$\dfrac{11}{18}\cdot\dfrac16=\dfrac{11}{108}$$

答　$\dfrac{11}{108}$

別解（途中の状態だけを追う）　途中の状態がXのとき、次の試行の途中の状態がXになる確率は、(1)(2) の推移の確率から

$$\dfrac16\cdot\dfrac13+\dfrac23\cdot\dfrac23+\dfrac16\cdot1=\dfrac23$$

途中の状態がYのとき、次の試行の途中の状態がXになる確率は $\dfrac12\cdot\dfrac13+\dfrac12\cdot\dfrac23=\dfrac12$ である。1回目の途中の状態は必ずXなので、3回目の途中の状態がXになるのは「X → X → X」「X → Y → X」の2通りで（下の図）、求める確率は

$$\left(\dfrac23\cdot\dfrac23+\dfrac13\cdot\dfrac12\right)\cdot\dfrac16=\dfrac{11}{18}\cdot\dfrac16=\dfrac{11}{108}$$