【解説・採点基準付き】2021年九州大学理系数学の解答・解説

座標空間内の4点 $\mathrm{O}(0,0,0)$、 $\mathrm{A}(1,0,0)$、 $\mathrm{B}(0,1,0)$、 $\mathrm{C}(0,0,2)$ を考える。以下の問いに答えよ。

(1) 四面体OABCに内接する球の中心の座標を求めよ。

(2) 中心の $x$ 座標、 $y$ 座標、 $z$ 座標がすべて正の実数であり、 $xy$ 平面、 $yz$ 平面、 $zx$ 平面のすべてと接する球を考える。この球が平面ABCと交わるとき、その交わりとしてできる円の面積の最大値を求めよ。

(1)　配点 20点

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-1,1,0)$、 $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-1,0,2)$。 $\vec n=(a,b,c)$ がこの2つに垂直な条件 $-a+b=0$、 $-a+2c=0$ から、 $\vec n=(2,2,1)$ がとれる（ $|\vec n|=3$）。

内接球は $xy$ 平面、 $yz$ 平面、 $zx$ 平面に接し、中心は四面体の内部にあるので、半径を $r$ とすると中心は $\mathrm{I}(r,r,r)$。Iから平面ABCに下ろした垂線の足をHとすると $\overrightarrow{\mathrm{IH}}=k\vec n$ とおけて、 $\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\overrightarrow{\mathrm{AI}}+k\vec n=(r-1+2k,\ r+2k,\ r+k)$。 $\overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot\vec n=0$ より

$$2(r-1+2k)+2(r+2k)+(r+k)=0\iff k=\frac{2-5r}{9}$$

中心は四面体の内部なので $2-5r>0$ で、 $\mathrm{IH}=|k||\vec n|=\dfrac{2-5r}{3}$。 $\mathrm{IH}=r$ より

$$\frac{2-5r}{3}=r\iff r=\frac14$$

答　$\left(\dfrac14,\ \dfrac14,\ \dfrac14\right)$

別解（点と平面の距離の公式）　平面ABCは $x+y+\dfrac z2=1$、すなわち $2x+2y+z-2=0$。中心 $(r,r,r)$ との距離は $\dfrac{|2r+2r+r-2|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\dfrac{|5r-2|}{3}$ で、同じ式になる。

(2)　配点 30点

中心の座標がすべて正で3つの座標平面に接する球は、中心 $\mathrm{I}(r,r,r)$、半径 $r$（ $r>0$）。(1) と同様にして、中心Iと平面ABCの距離は

$$d=\frac{|5r-2|}{3}$$

交わりの円の半径を $R$ とすると、三平方の定理より

$$R^2=r^2-d^2=r^2-\frac{(5r-2)^2}{9}=\frac{-16r^2+20r-4}{9}$$

球が平面と交わる（円ができる）条件は $R^2>0$、すなわち $4r^2-5r+1<0$、 $\dfrac14<r<1$。

$$-16r^2+20r-4=-16\left(r-\frac58\right)^2+\frac94$$

より $r=\dfrac58$ のとき $R^2$ は最大値 $\dfrac14$ をとる（ $\dfrac58$ は範囲内）。

答　$\dfrac{\pi}{4}$（ $r=\dfrac58$ のとき）

$\theta$ を $0<\theta<\dfrac{\pi}{4}$ をみたす定数とし、 $x$ の2次方程式

$$x^2-(4\cos\theta)x+\dfrac{1}{\tan\theta}=0\quad\cdots\cdots(*)$$

を考える。以下の問いに答えよ。

(1) 2次方程式 $(*)$ が実数解をもたないような $\theta$ の値の範囲を求めよ。

(2) $\theta$ が(1)で求めた範囲にあるとし、 $(*)$ の2つの虚数解を $\alpha,\beta$ とする。ただし、 $\alpha$ の虚部は $\beta$ の虚部より大きいとする。複素数平面上の3点 $\mathrm{A}(\alpha)$、 $\mathrm{B}(\beta)$、 $\mathrm{O}(0)$ を通る円の中心を $\mathrm{C}(\gamma)$ とするとき、 $\theta$ を用いて $\gamma$ を表せ。

(3) 点O、A、Cを(2)のように定めるとき、三角形OACが直角三角形になるような $\theta$ に対する $\tan\theta$ の値を求めよ。

(1)　配点 15点

係数はすべて実数なので、実数解をもたない条件は

$$\frac D4=4\cos^2\theta-\frac{1}{\tan\theta}<0$$

$\tan\theta>0$ をかけて $4\sin\theta\cos\theta<1$、すなわち $\sin2\theta<\dfrac12$。 $0<2\theta<\dfrac{\pi}{2}$ より $0<2\theta<\dfrac{\pi}{6}$。

答　$0<\theta<\dfrac{\pi}{12}$

(2)　配点 20点

$(*)$ は実数係数なので、虚数解 $\alpha,\beta$ は互いに共役（ $\overline{\alpha}=\beta$）。よってA、Bは実軸に関して対称で、弦ABの垂直二等分線は実軸。円の中心Cはこの上にあるので、 $\gamma$ は実数。

$\mathrm{CO}=\mathrm{CA}$ より $|\gamma|^2=|\gamma-\alpha|^2$。 $\gamma$ は実数なので

$$\gamma^2=(\gamma-\alpha)(\gamma-\overline{\alpha})=\gamma^2-\gamma(\alpha+\beta)+\alpha\beta\iff\gamma(\alpha+\beta)=\alpha\beta$$

解と係数の関係より $\alpha+\beta=4\cos\theta$、 $\alpha\beta=\dfrac{1}{\tan\theta}=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$ なので

答　$\gamma=\dfrac{1}{4\sin\theta}$

(3)　配点 15点

$\mathrm{CO}=\mathrm{CA}$ なので $\angle\mathrm{COA}=\angle\mathrm{CAO}$ で、これらは $90^\circ$ にはなれない。よって直角になるのは $\angle\mathrm{OCA}$ だけ。Cは実軸上にあるので、 $\angle\mathrm{OCA}=90^\circ$ となるのは、AがCの真上にある（ $\alpha$ の実部が $\gamma$ に等しい）ときである。

$\alpha$ の実部は $\dfrac{\alpha+\beta}{2}=2\cos\theta$ なので

$$2\cos\theta=\frac{1}{4\sin\theta}\iff8\sin\theta\cos\theta=1\iff\sin2\theta=\frac14$$

$t=\tan\theta$ とおくと $\sin2\theta=\dfrac{2t}{1+t^2}=\dfrac14$ より $t^2-8t+1=0$、 $t=4\pm\sqrt{15}$。(1) より $0<\theta<\dfrac{\pi}{12}$ で $\tan\theta<\tan\dfrac{\pi}{12}=2-\sqrt3<1$ なので $t=4-\sqrt{15}$（ $\sin2\theta=\dfrac14<\dfrac12$ なので (1) の範囲に入る）。

答　$\tan\theta=4-\sqrt{15}$

座標平面上の点 $(x,y)$ について、次の条件を考える。

条件：すべての実数 $t$ に対して $y\leqq e^t-xt$ が成立する。 $\cdots\cdots(*)$

以下の問いに答えよ。必要ならば $\displaystyle\lim_{x\to+0}x\log x=0$ を使ってよい。

(1) 条件 $(*)$ をみたす点 $(x,y)$ 全体の集合を座標平面上に図示せよ。

(2) 条件 $(*)$ をみたす点 $(x,y)$ のうち、 $x\geqq1$ かつ $y\geqq0$ をみたすもの全体の集合を $S$ とする。 $S$ を $x$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

(1)　配点 25点

$g(t)=e^t-xt$ とおく。条件は「すべての $t$ で $y\leqq g(t)$」。

$x<0$ のとき　$t\to-\infty$ で $e^t\to0$、 $-xt\to-\infty$ なので $g(t)\to-\infty$。条件をみたす $y$ はない。

$x=0$ のとき　$g(t)=e^t$ は正の値すべてをとるので、条件は $y\leqq0$。

$x>0$ のとき　$g'(t)=e^t-x$ で、 $t<\log x$ で減少、 $t>\log x$ で増加。最小値は $g(\log x)=x-x\log x$ なので、条件は $y\leqq x-x\log x$。

$h(x)=x-x\log x$（ $x>0$）とすると $h'(x)=-\log x$。 $x\to+0$ で $h(x)\to0$（ $x\log x\to0$）、 $x\to\infty$ で $h(x)\to-\infty$。

| $x$ | $(0)$ | $\cdots$ | $1$ | $\cdots$ | $e$ | $\cdots$ |

|—|—|—|—|—|—|—|

| $h'(x)$ | | $+$ | $0$ | $-$ | $-$ | $-$ |

| $h(x)$ | $(0)$ | $\nearrow$ | $1$ | $\searrow$ | $0$ | $\searrow$ |

よって条件をみたす点の集合は、図の色をつけた部分（境界を含む）と、 $y$ 軸の $y\leqq0$ の部分である。

答　上の図（曲線 $y=x-x\log x$（ $x>0$）とその下側、 $y$ 軸の $y\leqq0$ の部分。境界を含む）

(2)　配点 25点

$S$ は $1\leqq x\leqq e$ で $0\leqq y\leqq x-x\log x$ の部分（ $h(x)\geqq0\iff x\leqq e$）。

$$V=\pi\int_1^e(x-x\log x)^2dx=\pi\int_1^ex^2\left(1-2\log x+\log^2x\right)dx$$

$$\int_1^ex^2dx=\frac{e^3-1}{3},\qquad\int_1^ex^2\log x\,dx=\Big[\frac{x^3}{3}\log x-\frac{x^3}{9}\Big]_1^e=\frac{2e^3+1}{9}$$

$$\int_1^ex^2\log^2x\,dx=\Big[\frac{x^3}{3}\log^2x\Big]_1^e-\frac23\int_1^ex^2\log x\,dx=\frac{e^3}{3}-\frac{2(2e^3+1)}{27}=\frac{5e^3-2}{27}$$

$$V=\pi\left\{\frac{e^3-1}{3}-\frac{2(2e^3+1)}{9}+\frac{5e^3-2}{27}\right\}$$

答　$V=\dfrac{(2e^3-17)\pi}{27}$

自然数 $n$ と実数 $a_0,a_1,a_2,\cdots\cdots,a_n\ (a_n\neq0)$ に対して、2つの整式

$$f(x)=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots\cdots+a_1x+a_0$$

$$f'(x)=\sum_{k=1}^{n}ka_kx^{k-1}=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots\cdots+a_1$$

を考える。 $\alpha,\beta$ を異なる複素数とする。複素数平面上の2点 $\alpha,\beta$ を結ぶ線分上にある点 $\gamma$ で、

$$\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=f'(\gamma)$$

をみたすものが存在するとき、 $\alpha,\beta,f(x)$ は平均値の性質をもつということにする。以下の問いに答えよ。ただし、 $i$ は虚数単位とする。

(1) $n=2$ のとき、どのような $\alpha,\beta,f(x)$ も平均値の性質をもつことを示せ。

(2) $\alpha=1-i$、 $\beta=1+i$、 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ が平均値の性質をもつための、実数 $a,b,c$ に関する必要十分条件を求めよ。

(3) $\alpha=\dfrac{1-i}{\sqrt2}$、 $\beta=\dfrac{1+i}{\sqrt2}$、 $f(x)=x^7$ は、平均値の性質をもたないことを示せ。

(1)　配点 15点

$f(x)=a_2x^2+a_1x+a_0$（ $a_2\neq0$）とすると

$$\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=\frac{a_2(\beta^2-\alpha^2)+a_1(\beta-\alpha)}{\beta-\alpha}=a_2(\alpha+\beta)+a_1$$

$f'(x)=2a_2x+a_1$ なので、 $\gamma=\dfrac{\alpha+\beta}{2}$ とすると $f'(\gamma)=a_2(\alpha+\beta)+a_1$ で等しい。 $\gamma$ は線分の中点なので線分上にある。よってどのような $\alpha,\beta,f(x)$ も平均値の性質をもつ。

(2)　配点 15点

$\alpha+\beta=2$、 $\alpha\beta=2$、 $\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=0$ より

$$\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=(\beta^2+\alpha\beta+\alpha^2)+a(\alpha+\beta)+b=2+2a+b$$

線分上の点は $\gamma=1+ti$（ $-1\leqq t\leqq1$）と書けて

$$f'(\gamma)=3(1+ti)^2+2a(1+ti)+b=(3-3t^2+2a+b)+(6+2a)t\,i$$

$f'(\gamma)=2+2a+b$ となる条件は、 $3-3t^2=2$ かつ $(6+2a)t=0$。

第1式より $t=\pm\dfrac{1}{\sqrt3}$（ $-1\leqq t\leqq1$ をみたす）で $t\neq0$ なので、第2式より $a=-3$。逆に $a=-3$ なら $t=\dfrac{1}{\sqrt3}$ でみたす。

答　$a=-3$（ $b,c$ は任意の実数）

(3)　配点 20点

$\alpha=\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$、 $\beta=\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}$ で、ド・モアブルの定理より $\beta^7=\cos\dfrac{7\pi}{4}+i\sin\dfrac{7\pi}{4}=\alpha$、同様に $\alpha^7=\beta$。よって

$$\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=\frac{\alpha-\beta}{\beta-\alpha}=-1$$

平均値の性質をもつと仮定すると、 $7\gamma^6=-1$ をみたす $\gamma$ が線分上にある。線分上の点は $\gamma=\dfrac{1+si}{\sqrt2}$（ $-1\leqq s\leqq1$）で、その偏角 $\varphi$ は $-\dfrac{\pi}{4}\leqq\varphi\leqq\dfrac{\pi}{4}$。

$\gamma^6=-\dfrac17$ より $6\varphi$ は $\pi$ の奇数倍で、 $-\dfrac{3\pi}{2}\leqq6\varphi\leqq\dfrac{3\pi}{2}$ から $6\varphi=\pm\pi$、 $\varphi=\pm\dfrac{\pi}{6}$。

このとき $\gamma$ は実部 $\dfrac{1}{\sqrt2}$、偏角 $\pm\dfrac{\pi}{6}$ の点なので $|\gamma|=\dfrac{1}{\sqrt2\cos\dfrac{\pi}{6}}=\sqrt{\dfrac23}$、

$$|\gamma|^6=\frac{8}{27}\neq\frac17$$

となり、 $|7\gamma^6|=1$ に反する。よって平均値の性質をもたない。

以下の問いに答えよ。

(1) 自然数 $n,k$ が $2\leqq k\leqq n-2$ をみたすとき、 ${}_n\mathrm{C}_k>n$ であることを示せ。

(2) $p$ を素数とする。 $k\leqq n$ をみたす自然数の組 $(n,k)$ で ${}_n\mathrm{C}_k=p$ となるものをすべて求めよ。

(1)　配点 20点

$2\leqq k\leqq n-2$ のとき

$$\frac{{}_n\mathrm{C}_k}{n}=\frac{(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k(k-1)\cdots2}=\frac{n-1}{k}\cdot\frac{n-2}{k-1}\cdots\frac{n-k+1}{2}$$

右辺は $k-1$ 個（ $k\geqq2$ より1個以上）の分数の積で、分子の大きい順と分母の大きい順を組にしている。

どの分数も、分子は分母より $n-k-1$ だけ大きい。たとえば一番左は $(n-1)-k=n-k-1$、一番右は $(n-k+1)-2=n-k-1$。 $k\leqq n-2$ より $n-k-1\geqq1>0$ なので、どの分数も1より大きい。

よって $\dfrac{{}_n\mathrm{C}_k}{n}>1$、すなわち ${}_n\mathrm{C}_k>n$。

(2)　配点 30点

– $k=n$ のとき　${}_n\mathrm{C}_n=1$ は素数でない

– $k=1$ または $k=n-1$ のとき　${}_n\mathrm{C}_k=n$ なので $n=p$。 $(n,k)=(p,1),\ (p,p-1)$

– $2\leqq k\leqq n-2$ のとき　${}_n\mathrm{C}_k\cdot k!\,(n-k)!=n!$ なので、 ${}_n\mathrm{C}_k=p$ なら $p$ は $n!=1\cdot2\cdots n$ を割り切る。 $p$ は素数なので $1,2,\cdots,n$ のどれかを割り切り、 $p\leqq n$。一方 (1) より ${}_n\mathrm{C}_k>n\geqq p$ となり矛盾。

答　$(n,k)=(p,1),\ (p,\ p-1)$（ $p=2$ のときは $(2,1)$ の1組）