【解説付き・赤本不要】2024年九州大学理系数学の解答・解説

$a$ を実数とし、座標空間内の3点 $\mathrm{P}(-1,1,-1)$、$\mathrm{Q}(1,1,1)$、$\mathrm{R}(a,a^2,a^3)$ を考える。以下の問いに答えよ。

(1) $a\neq-1$、$a\neq1$ のとき、3点P、Q、Rは一直線上にないことを示せ。

(2) $a$ が $-1<a<1$ の範囲を動くとき、三角形PQRの面積の最大値を求めよ。

(1)　配点 15点

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(2,0,2)$、$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=(a+1,\ a^2-1,\ a^3+1)$

P、Q、R が一直線上にあるとすると、実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{\mathrm{PR}}=k\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ と表せる。

$y$ 成分を比べると $a^2-1=0$、すなわち $a=\pm1$

これは $a\neq\pm1$ に反する。よって、$a\neq\pm1$ のとき3点P、Q、Rは一直線上にない。

(2)　配点 35点

$$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2=8,\qquad \overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PR}}=2(a+1)+2(a^3+1)=2(a^3+a+2)$$

$$|\overrightarrow{\mathrm{PR}}|^2=(a+1)^2+(a^2-1)^2+(a^3+1)^2=a^6+a^4+2a^3-a^2+2a+3$$

三角形PQRの面積を $S$ とすると

$$\begin{aligned}(2S)^2&=|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2|\overrightarrow{\mathrm{PR}}|^2-(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PR}})^2\\&=8(a^6+a^4+2a^3-a^2+2a+3)-4(a^3+a+2)^2\\&=4(a^6-3a^2+2)\end{aligned}$$

よって $S=\sqrt{a^6-3a^2+2}$

$t=a^2$ とおくと、$-1<a<1$ より $0\leqq t<1$。$g(t)=t^3-3t+2$ とすると

$$g'(t)=3t^2-3=3(t+1)(t-1)<0\quad(0\leqq t<1)$$

なので、$g(t)$ は $0\leqq t<1$ で減少する。

よって $g(t)$ は $t=0$（$a=0$）で最大値 $g(0)=2$ をとり、$S$ の最大値は $\sqrt2$

答　$\sqrt2$（$a=0$ のとき）

整式

$$f(z)=z^6+z^4+z^2+1$$

について、以下の問いに答えよ。

(1) $f(z)=0$ をみたすすべての複素数 $z$ に対して、$|z|=1$ が成り立つことを示せ。

(2) 次の条件をみたす複素数 $w$ をすべて求めよ。

条件：$f(z)=0$ をみたすすべての複素数 $z$ に対して $f(wz)=0$ が成り立つ。

(1)　配点 20点

$$(z^2-1)f(z)=(z^2-1)(z^6+z^4+z^2+1)=z^8-1$$

$f(z)=0$ ならば $z^8-1=0$、すなわち $z^8=1$。両辺の絶対値をとると $|z|^8=1$、$|z|>0$ より $|z|=1$

(2)　配点 30点

$f(z)=0$ ならば $z^8=1$ かつ $z^2\neq1$（$f(\pm1)=4\neq0$）。逆に $z^8=1$、$z^2\neq1$ ならば $(z^2-1)f(z)=0$ より $f(z)=0$。よって、$f(z)=0$ の解は

$$z_k=\cos\frac{k\pi}{4}+i\sin\frac{k\pi}{4}\quad(k=1,2,3,5,6,7)$$

の6個（単位円を8等分した点のうち $\pm1$ を除いたもの）。

条件をみたす $w$ について、$|wz_1|=1$、$|z_1|=1$ より $|w|=1$。$w=\cos\theta+i\sin\theta$（$0\leqq\theta<2\pi$）とおくと、$wz$ は点 $z$ を原点のまわりに $\theta$ だけ回転した点。

$wz_1$ も解なので、偏角を比べて $\dfrac{\pi}{4}+\theta$ は $\dfrac{\pi}{4}$ の倍数。よって $\theta=\dfrac{m\pi}{4}$（$m=0,1,\dots,7$）

– $m=0,4$（$w=1,-1$）のとき　$w=1$ なら $wz=z$。$w=-1$ なら $f$ は偶関数（$f(-z)=f(z)$）なので $f(wz)=f(z)=0$。どちらも条件をみたす

– $m\neq0,4$ のとき　$z_{4-m}$（添字は8で割った余りで考える）は $\pm1$ ではないので解の1つ。ところが $wz_{4-m}=\cos\pi+i\sin\pi=-1$ で、$f(-1)=4\neq0$。条件をみたさない

答　$w=1,\ -1$

以下の問いに答えよ。

(1) 自然数 $a,b$ が $a<b$ をみたすとき、$\dfrac{b!}{a!}\geqq b$ が成り立つことを示せ。

(2) $2\cdot a!=b!$ をみたす自然数の組 $(a,b)$ をすべて求めよ。

(3) $a!+b!=2\cdot c!$ をみたす自然数の組 $(a,b,c)$ をすべて求めよ。

(1)　配点 10点

$a<b$ より

$$\frac{b!}{a!}=b\cdot(b-1)\cdots(a+1)$$

これは $b$ と、1以上の整数 $(b-1),\dots,(a+1)$ の積（$b=a+1$ のときは $b$ だけ）なので、$\dfrac{b!}{a!}\geqq b$

(2)　配点 20点

$a\geqq b$ のとき　$b!\leqq a!<2\cdot a!$ となり、$2\cdot a!=b!$ をみたさない。

$a<b$ のとき　$\dfrac{b!}{a!}=2$ なので、(1) より $2\geqq b$。$a<b$ で $a\geqq1$ だから $b=2$、$a=1$。実際 $2\cdot1!=2=2!$ をみたす。

答　$(a,b)=(1,2)$

(3)　配点 20点

式は $a,b$ について対称なので、$a\leqq b$ の場合を考え、最後に入れかえを加える。

$a=b$ のとき　$2\cdot a!=2\cdot c!$ より $a!=c!$。$a,c$ は自然数なので $c=a$。

$a<b$ のとき　$a!<b!$ なので

$$2\cdot a!<a!+b!=2\cdot c!<2\cdot b!$$

よって $a!<c!<b!$ となり、$a<c<b$

両辺を $c!$ で割ると

$$\frac{a!}{c!}+\frac{b!}{c!}=2$$

$c<b$ と (1) より $\dfrac{b!}{c!}\geqq b$、また $\dfrac{a!}{c!}>0$ なので

$$b<\frac{a!}{c!}+\frac{b!}{c!}=2$$

よって $b=1$ となるが、$a<c<b=1$ をみたす自然数 $a,c$ は存在しない。したがって $a<b$ のときは解なし。$b<a$ のときも同様に解なし。

以上より、解は $a=b=c$ のときだけ。

答　$(a,b,c)=(k,k,k)$（$k$ は自然数）

$n$ を3以上の整数とする。座標平面上の点のうち、$x$ 座標と $y$ 座標がともに1以上 $n$ 以下の整数であるものを考える。これら $n^2$ 個の点のうち3点以上を通る直線の個数を $L(n)$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) $L(3)$ を求めよ。

(2) $L(4)$ を求めよ。

(3) $L(5)$ を求めよ。

直線は、$x$ 軸に平行なもの、$y$ 軸に平行なもの、傾きが正のもの、傾きが負のものに分けられる。直線 $y=x$ に関する対称移動で「$x$ 軸に平行」と「$y$ 軸に平行」が、直線 $x=\dfrac{n+1}{2}$ に関する対称移動で「傾きが正」と「傾きが負」が1対1に対応するので

$$L(n)=2\times\{(x\text{ 軸に平行な直線の数})+(\text{傾きが正の直線の数})\}$$

$x$ 軸に平行な直線 $y=k$（$k=1,\dots,n$）は、どれも $n\geqq3$ 個の点を通るので $n$ 本。

傾きが正の直線が3点以上を通るとき、となり合う2点の差を $(p,q)$（$p,q$ は互いに素な自然数）とすると、両端の点の差は $(2p,2q)$ 以上なので $2p\leqq n-1$、$2q\leqq n-1$ が必要。

(1)　配点 10点

$n=3$ のとき、$2p\leqq2$、$2q\leqq2$ より $(p,q)=(1,1)$ だけ。傾き1で3点以上を通る直線は $y=x$ の1本。

$$L(3)=2(3+1)=8$$

答　$L(3)=8$

(2)　配点 15点

$n=4$ のとき、$2p\leqq3$、$2q\leqq3$ より $(p,q)=(1,1)$ だけ。傾き1の直線 $y=x+k$ が3点以上を通るのは $k=-1,0,1$ の3本（通る点の数は3、4、3）。

$$L(4)=2(4+3)=14$$

答　$L(4)=14$

(3)　配点 25点

$n=5$ のとき、$2p\leqq4$、$2q\leqq4$ より $(p,q)=(1,1),(1,2),(2,1)$。

– 傾き1：$y=x+k$ が3点以上を通るのは $k=-2,-1,0,1,2$ の5本

– 傾き2：3点 $(x,y),(x+1,y+2),(x+2,y+4)$ が範囲に入るのは $y=1$、$x=1,2,3$ のときで、直線は3本（どれも3点だけを通る）

– 傾き $\dfrac12$：傾き2と直線 $y=x$ について対称なので3本

傾きが正の直線は $5+3+3=11$ 本なので

$$L(5)=2(5+11)=32$$

答　$L(5)=32$

(1)〜(3)の別解（すべて書き出して数える）

傾きで場合分けし、対称性も使って、3点以上を通る直線をすべて書き出す。

– $n=3$　$x=k$（$k=1,2,3$）、$y=l$（$l=1,2,3$）、$y=x$、$y=-x+4$ の8本

– $n=4$　$x=k$（$k=1,\dots,4$）、$y=l$（$l=1,\dots,4$）、$y=x+k$（$k=-1,0,1$）、$y=-x+l$（$l=4,5,6$）の14本

– $n=5$　$x=k$（5本）、$y=l$（5本）、$y=x+k$（$k=-2,\dots,2$ の5本）、$y=-x+l$（$l=4,\dots,8$ の5本）で20本。さらに傾きが $\pm2$、$\pm\dfrac12$ の直線を、3点の真ん中の点で数えると、真ん中が $(2,3)$、$(3,2)$、$(3,4)$、$(4,3)$ のときそれぞれ2本、$(3,3)$ のとき4本で、$4\times2+4=12$ 本。どれも同じ直線にはならないので $20+12=32$ 本

自然数 $m,n$ に対して

$$I(m,n)=\int_1^e x^me^x(\log x)^n\,dx$$

とする。以下の問いに答えよ。

(1) $I(m+1,n+1)$ を $I(m,n+1)$、$I(m,n)$、$m$、$n$ を用いて表せ。

(2) すべての自然数 $m$ に対して、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}I(m,n)=0$ が成り立つことを示せ。

(1)　配点 20点

$e^x$ を積分する側にして部分積分すると

$$\begin{aligned}I(m+1,n+1)&=\int_1^e x^{m+1}(\log x)^{n+1}e^x\,dx\\&=\Big[\,x^{m+1}(\log x)^{n+1}e^x\,\Big]_1^e-\int_1^e\left\{(m+1)x^m(\log x)^{n+1}+(n+1)x^m(\log x)^n\right\}e^x\,dx\end{aligned}$$

$x=e$ のとき $\log e=1$、$x=1$ のとき $\log1=0$ なので、一番左の項は $e^{m+1}\cdot e^e=e^{m+e+1}$

答　$I(m+1,n+1)=e^{m+e+1}-(m+1)I(m,n+1)-(n+1)I(m,n)$

(2)　配点 30点

$1\leqq x\leqq e$ では $x^me^x>0$、$\log x\geqq0$ なので、すべての自然数 $m,n$ について $I(m,n)\geqq0$

(1) より

$$(n+1)I(m,n)=e^{m+e+1}-(m+1)I(m,n+1)-I(m+1,n+1)$$

右辺の $I(m,n+1)$、$I(m+1,n+1)$ は0以上なので

$$(n+1)I(m,n)\leqq e^{m+e+1}$$

よって

$$0\leqq I(m,n)\leqq\frac{e^{m+e+1}}{n+1}$$

$m$ を固定して $n\to\infty$ とすると右辺は0に近づくので、はさみうちの原理より

$$\lim_{n\to\infty}I(m,n)=0$$