【解説・採点基準付き】2020年九州大学理系数学の解答・解説

点 $(a,0)$ を通り、曲線 $y=e^{-x}-e^{-2x}$ に接する直線が存在するような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

配点 50点

$f(x)=e^{-x}-e^{-2x}$ とおくと $f'(x)=-e^{-x}+2e^{-2x}$。曲線上の点 $(t,f(t))$ における接線は

$$y=f'(t)(x-t)+f(t)$$

これが点 $(a,0)$ を通る条件は

$$f'(t)(a-t)+f(t)=0\quad\cdots\cdots①$$

よって、求める条件は「①をみたす実数 $t$ が存在する」ことである。

$f'(t)=0\iff e^{-t}=\dfrac12\iff t=\log2$ であり、このとき $f(\log2)=\dfrac12-\dfrac14=\dfrac14\neq0$ なので①をみたさない。

$t\neq\log2$ のとき、 $\dfrac{f(t)}{f'(t)}=\dfrac{e^{-t}-e^{-2t}}{-e^{-t}+2e^{-2t}}=\dfrac{e^t-1}{2-e^t}$（分母・分子に $e^{2t}$ をかけた）なので、①は

$$a=t+\frac{e^t-1}{e^t-2}$$

と同値。右辺を $g(t)$ とおく（ $t\neq\log2$）。求める $a$ の範囲は $g(t)$ がとる値の範囲である。

$$g'(t)=1+\frac{e^t(e^t-2)-(e^t-1)e^t}{(e^t-2)^2}=1-\frac{e^t}{(e^t-2)^2}=\frac{e^{2t}-5e^t+4}{(e^t-2)^2}=\frac{(e^t-1)(e^t-4)}{(e^t-2)^2}$$

$g(0)=0$、 $g(\log4)=2\log2+\dfrac32$ より、増減は次のようになる。

| $t$ | $\cdots$ | $0$ | $\cdots$ | $\log2$ | $\cdots$ | $\log4$ | $\cdots$ |

|—|—|—|—|—|—|—|—|

| $g'(t)$ | $+$ | $0$ | $-$ | | $-$ | $0$ | $+$ |

| $g(t)$ | $\nearrow$ | $0$ | $\searrow$ | | $\searrow$ | $2\log2+\dfrac32$ | $\nearrow$ |

極限は

– $t\to-\infty$ のとき $\dfrac{e^t-1}{e^t-2}\to\dfrac12$ なので $g(t)\to-\infty$

– $t\to\log2-0$ のとき $e^t-1\to1$、 $e^t-2\to-0$ なので $g(t)\to-\infty$

– $t\to\log2+0$ のとき $e^t-2\to+0$ なので $g(t)\to\infty$

– $t\to\infty$ のとき $\dfrac{e^t-1}{e^t-2}\to1$ なので $g(t)\to\infty$

よって $g(t)$ がとる値の範囲は、 $t<\log2$ では $g(t)\leqq0$ のすべての値、 $t>\log2$ では $g(t)\geqq2\log2+\dfrac32$ のすべての値。

答　$a\leqq0,\quad a\geqq\dfrac32+2\log2$

$a,b,c,d$ を整数とし、 $i$ を虚数単位とする。整式 $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ が $f\left(\dfrac{1+\sqrt3 i}{2}\right)=0$ をみたすとき、以下の問いに答えよ。

(1) $c,d$ を $a,b$ を用いて表せ。

(2) $f(1)$ を7で割ると1余り、11で割ると10余るとする。また、 $f(-1)$ を7で割ると3余り、11で割ると10余るとする。 $a$ の絶対値と $b$ の絶対値がともに40以下であるとき、方程式 $f(x)=0$ の解をすべて求めよ。

(1)　配点 15点

$\alpha=\dfrac{1+\sqrt3i}{2}$ とおくと $\alpha^2-\alpha+1=0$。両辺に $\alpha+1$ をかけて $\alpha^3+1=0$。よって

$$\alpha^2=\alpha-1,\qquad\alpha^3=-1,\qquad\alpha^4=-\alpha$$

$$f(\alpha)=-\alpha-a+b(\alpha-1)+c\alpha+d=(b+c-1)\alpha+(d-a-b)$$

$f(\alpha)=0$ で、 $b+c-1$、 $d-a-b$ は実数、 $\alpha$ は虚数なので

$$b+c-1=0,\qquad d-a-b=0$$

答　$c=1-b,\quad d=a+b$

別解（割り算を使う）　係数が実数なので $\overline{\alpha}=\dfrac{1-\sqrt3i}{2}$ も $f(x)=0$ の解。 $\alpha$、 $\overline{\alpha}$ を解とする2次式は $x^2-x+1$ なので、 $f(x)$ は $x^2-x+1$ で割り切れる。実際に割ると

$$f(x)=(x^2-x+1)\{x^2+(a+1)x+a+b\}+(b+c-1)x+(d-a-b)$$

余りが0なので $c=1-b$、 $d=a+b$。

(2)　配点 35点

(1) より

$$f(x)=x^4+ax^3+bx^2+(1-b)x+a+b=(x^2-x+1)\{x^2+(a+1)x+a+b\}$$

よって

$$f(1)=1\cdot(2a+b+2)=2a+b+2,\qquad f(-1)=3\cdot(1-a-1+a+b)=3b$$

$f(-1)=3b$ の条件から

$$3b\equiv3\pmod7,\qquad3b\equiv10\pmod{11}$$

3と7は互いに素なので $b\equiv1\pmod7$。 $3b\equiv10\equiv21\pmod{11}$ で、3と11は互いに素なので $b\equiv7\pmod{11}$。

$b=11k+7$（ $k$ は整数）とおくと、 $11k+7\equiv4k\equiv1\pmod7$ より $k\equiv2\pmod7$。よって $b\equiv29\pmod{77}$。 $|b|\leqq40$ をみたすのは $b=29$ だけ。

$f(1)=2a+31$ の条件から

$$2a+31\equiv1\pmod7,\qquad2a+31\equiv10\pmod{11}$$

1つ目は $2a\equiv-30\equiv12\pmod7$ で、2と7は互いに素なので $a\equiv6\pmod7$。2つ目は $2a\equiv-21\equiv12\pmod{11}$ で、 $a\equiv6\pmod{11}$。

よって $a-6$ は7の倍数かつ11の倍数、すなわち77の倍数。 $|a|\leqq40$ より $-46\leqq a-6\leqq34$ なので $a-6=0$、 $a=6$。

このとき $c=-28$、 $d=35$ で

$$f(x)=(x^2-x+1)(x^2+7x+35)$$

$x^2-x+1=0$ より $x=\dfrac{1\pm\sqrt3i}{2}$、 $x^2+7x+35=0$ より $x=\dfrac{-7\pm\sqrt{91}i}{2}$。

答　$x=\dfrac{1\pm\sqrt3i}{2},\quad\dfrac{-7\pm\sqrt{91}i}{2}$

（確認： $f(1)=43=7\cdot6+1=11\cdot3+10$、 $f(-1)=87=7\cdot12+3=11\cdot7+10$）

四面体OABCにおいて、辺OAの中点と辺BCの中点を通る直線を $\ell$、辺OBの中点と辺CAの中点を通る直線を $m$、辺OCの中点と辺ABの中点を通る直線を $n$ とする。 $\ell\perp m$、 $m\perp n$、 $n\perp\ell$ であり、 $\mathrm{AB}=\sqrt5$、 $\mathrm{BC}=\sqrt3$、 $\mathrm{CA}=2$ のとき、以下の問いに答えよ。

(1) 直線OBと直線CAのなす角 $\theta\ \left(0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}\right)$ を求めよ。

(2) 四面体OABCの4つの頂点をすべて通る球の半径を求めよ。

(1)　配点 25点

$\vec a=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$、 $\vec b=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$、 $\vec c=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ とおく。辺OAの中点は $\dfrac12\vec a$、辺BCの中点は $\dfrac12(\vec b+\vec c)$ なので、 $\ell$ の方向ベクトルは $\vec b+\vec c-\vec a$。同じように $m$、 $n$ の方向ベクトルは $\vec c+\vec a-\vec b$、 $\vec a+\vec b-\vec c$。

$\ell\perp m$ より

$$(\vec b+\vec c-\vec a)\cdot(\vec c+\vec a-\vec b)=\{\vec c+(\vec b-\vec a)\}\cdot\{\vec c-(\vec b-\vec a)\}=|\vec c|^2-|\vec b-\vec a|^2=0$$

よって $\mathrm{OC}=\mathrm{AB}$。同じように $m\perp n$ から $|\vec a|^2-|\vec c-\vec b|^2=0$ で $\mathrm{OA}=\mathrm{BC}$、 $n\perp\ell$ から $|\vec b|^2-|\vec a-\vec c|^2=0$ で $\mathrm{OB}=\mathrm{CA}$。

したがって

$$\mathrm{OA}=\mathrm{BC}=\sqrt3,\qquad\mathrm{OB}=\mathrm{CA}=2,\qquad\mathrm{OC}=\mathrm{AB}=\sqrt5$$

$|\vec b-\vec a|^2=5$ より $4-2\vec a\cdot\vec b+3=5$、 $\vec a\cdot\vec b=1$。

$|\vec c-\vec b|^2=3$ より $5-2\vec b\cdot\vec c+4=3$、 $\vec b\cdot\vec c=3$。

$|\vec a-\vec c|^2=4$ より $3-2\vec c\cdot\vec a+5=4$、 $\vec c\cdot\vec a=2$。

$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\vec b\cdot(\vec a-\vec c)=1-3=-2$、 $|\overrightarrow{\mathrm{OB}}||\overrightarrow{\mathrm{CA}}|=2\cdot2=4$。直線のなす角は $0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ なので

$$\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CA}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OB}}||\overrightarrow{\mathrm{CA}}|}=\frac24=\frac12$$

答　$\theta=\dfrac{\pi}{3}$

(2)　配点 25点

$p^2+q^2=3$、 $p^2+r^2=4$、 $q^2+r^2=5$ をみたす正の数 $p,q,r$ を考える。3式を足して $p^2+q^2+r^2=6$ なので $p^2=1$、 $q^2=2$、 $r^2=3$、すなわち $p=1$、 $q=\sqrt2$、 $r=\sqrt3$。

座標空間の4点 $(0,0,0)$、 $(p,q,0)$、 $(p,0,r)$、 $(0,q,r)$ を頂点とする四面体を考えると、6辺は長さ $\sqrt{p^2+q^2}=\sqrt3$、 $\sqrt{p^2+r^2}=2$、 $\sqrt{q^2+r^2}=\sqrt5$ の辺が2本ずつで、向かい合う辺どうしが等しい。6辺の長さが対応してすべて等しい四面体は合同なので、O $(0,0,0)$、A $(p,q,0)$、B $(p,0,r)$、C $(0,q,r)$ としてよい（ $\mathrm{OA}=\mathrm{BC}=\sqrt3$、 $\mathrm{OB}=\mathrm{CA}=2$、 $\mathrm{OC}=\mathrm{AB}=\sqrt5$ を確かめられる）。

O、A、B、Cは3辺が $p,q,r$ の直方体（ $0\leqq x\leqq p$、 $0\leqq y\leqq q$、 $0\leqq z\leqq r$）の頂点である。直方体の8つの頂点は、中心 $\left(\dfrac p2,\dfrac q2,\dfrac r2\right)$、半径 $\dfrac{\sqrt{p^2+q^2+r^2}}{2}$ の球の上にあるので、これが四面体の4つの頂点をすべて通る球である。

$$\frac{\sqrt{p^2+q^2+r^2}}{2}=\frac{\sqrt6}{2}$$

答　$\dfrac{\sqrt6}{2}$

別解（ベクトルで中心を求める）　球の中心をPとし、 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\vec p=x\vec a+y\vec b+z\vec c$ とおく。 $|\vec p|=|\vec p-\vec a|$ は $2\vec p\cdot\vec a=|\vec a|^2$ と同じなので、(1) の内積を使うと

$$2(3x+y+2z)=3,\qquad2(x+4y+3z)=4,\qquad2(2x+3y+5z)=5$$

これを解いて $x=y=z=\dfrac14$。中心は $\dfrac{\vec a+\vec b+\vec c}{4}$（四面体の重心）で

$$|\vec p|^2=\frac{|\vec a+\vec b+\vec c|^2}{16}=\frac{3+4+5+2(1+3+2)}{16}=\frac32,\qquad|\vec p|=\frac{\sqrt6}{2}$$

4個のサイコロを同時に投げるとき、出る目すべての積を $X$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) $X$ が25の倍数になる確率を求めよ。

(2) $X$ が4の倍数になる確率を求めよ。

(3) $X$ が100の倍数になる確率を求めよ。

(1)　配点 15点

$25=5^2$ で、5を素因数にもつ目は5だけなので、 $X$ が25の倍数 ⟺ 5の目が2個以上。

余事象は「5の目が0個または1個」で、その確率は

$$\left(\frac56\right)^4+{}_4\mathrm{C}_1\cdot\frac16\left(\frac56\right)^3=\frac{625+500}{1296}=\frac{1125}{1296}$$

よって求める確率は $1-\dfrac{1125}{1296}=\dfrac{171}{1296}$

答　$\dfrac{19}{144}$

(2)　配点 15点

目に含まれる素因数2の個数は、1、3、5が0個、2、6が1個、4が2個。 $X$ が4の倍数でない ⟺ 2の個数の合計が1個以下 ⟺ 「4個とも奇数」または「2か6がちょうど1個で、残り3個は奇数」。

その確率は

$$\left(\frac12\right)^4+{}_4\mathrm{C}_1\cdot\frac26\left(\frac12\right)^3=\frac{81+216}{1296}=\frac{297}{1296}$$

よって求める確率は $1-\dfrac{297}{1296}=\dfrac{999}{1296}$

答　$\dfrac{37}{48}$

(3)　配点 20点

$100=2^2\cdot5^2$ なので、 $X$ が100の倍数 ⟺ 「5の目が2個以上」かつ「2の個数の合計が2個以上」。5の目の個数で場合分けする。目の出方は全部で $6^4=1296$ 通り。

5の目がちょうど2個のとき　5の目の位置が ${}_4\mathrm{C}_2=6$ 通り。残り2個の目は1、2、3、4、6から選ぶ $5^2=25$ 通りで、このうち積が4の倍数でないのは「2個とも奇数（1、3）」の $2^2=4$ 通りと「一方が2か6で、他方が1か3」の $2\cdot2\cdot2=8$ 通り。よって積が4の倍数になるのは $25-12=13$ 通りで、この場合は $6\cdot13=78$ 通り。

5の目がちょうど3個のとき　残り1個の目で2の個数が2個以上になるのは4だけ。5でない目の位置が4通りで、 $4$ 通り。

5の目が4個のとき　2の因数がないので0通り。

合計 $78+4=82$ 通りなので、求める確率は $\dfrac{82}{1296}$

答　$\dfrac{41}{648}$

座標空間において、中心 $(0,2,0)$、半径1で $xy$ 平面内にある円を $D$ とする。 $D$ を底面とし、 $z\geqq0$ の部分にある高さ3の直円柱（内部を含む）を $E$ とする。点 $(0,2,2)$ と $x$ 軸を含む平面で $E$ を2つの立体に分け、 $D$ を含む方を $T$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) $-1\leqq t\leqq1$ とする。平面 $x=t$ で $T$ を切ったときの断面積 $S(t)$ を求めよ。また、 $T$ の体積を求めよ。

(2) $T$ を $x$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

(1)　配点 25点

点 $(0,2,2)$ と $x$ 軸を含む平面は $z=y$。 $E$ は $x^2+(y-2)^2\leqq1$、 $0\leqq z\leqq3$ で、 $D$ の点は $z=0<y$ をみたすので、 $T$ は $E$ のうち $z\leqq y$ の部分。 $E$ の中では $y\leqq3$ なので

$$T:\ x^2+(y-2)^2\leqq1,\quad0\leqq z\leqq y$$

$w=\sqrt{1-t^2}$ とおく。平面 $x=t$ と $x$ 軸の交点をHとする。平面 $x=t$ での断面は

$$2-w\leqq y\leqq2+w,\qquad0\leqq z\leqq y$$

で、平行な2辺の長さが $2-w$、 $2+w$、その間の距離が $2w$ の台形（下の図のPQRS）。よって

$$S(t)=\frac{(2-w)+(2+w)}{2}\cdot2w=4w$$

答　$S(t)=4\sqrt{1-t^2}$

$$\int_{-1}^1S(t)\,dt=4\int_{-1}^1\sqrt{1-t^2}\,dt=4\cdot\frac{\pi}{2}=2\pi$$

（ $\displaystyle\int_{-1}^1\sqrt{1-t^2}\,dt$ は半径1の半円の面積）

答　$T$ の体積 $2\pi$

(2)　配点 25点

回転体を平面 $x=t$ で切った断面は、(1) の断面の台形を、平面 $x=t$ と $x$ 軸の交点H $(t,0,0)$ のまわりに1回転させた図形である。台形の頂点をP $(t,2-w,0)$、Q $(t,2+w,0)$、R $(t,2+w,2+w)$、S $(t,2-w,2-w)$ とおく。

台形上の点 $(t,y,z)$ とHの距離は $\sqrt{y^2+z^2}$ で、 $0\leqq z\leqq y$、 $2-w\leqq y\leqq2+w$ より

$$2-w\leqq y\leqq\sqrt{y^2+z^2}\leqq\sqrt{2y^2}\leqq\sqrt2(2+w)$$

左の等号はP、右の等号はRでなりたつ。台形はつながった図形なので、Hからの距離は $\mathrm{HP}=2-w$ から $\mathrm{HR}=\sqrt2(2+w)$ までのすべての値をとる。よって断面は、外側の半径 $\mathrm{HR}$、内側の半径 $\mathrm{HP}$ の円環。

断面積は

$$\pi\left\{2(2+w)^2-(2-w)^2\right\}=\pi(4+12w+w^2)=\pi\left(5-t^2+12\sqrt{1-t^2}\right)$$

求める体積は

$$\pi\int_{-1}^1\left(5-t^2+12\sqrt{1-t^2}\right)dt=\pi\left(10-\frac23+12\cdot\frac{\pi}{2}\right)=\frac{28}{3}\pi+6\pi^2$$

答　$\dfrac{28}{3}\pi+6\pi^2$